弹性力学习题22

#习题2-1如果某一问题中，b=T=T=0，只存在平面应力分量b，b，T，且它们不沿zzzxxyxyxy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？（是，且它们不沿z2如果某一问题中，£=丫=7=0，只存在平面应变分量£，£，Yzzxzyxyxy方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？（是）近于平面应力的情况。（自由表面薄层中：b□0T近于平面应力的情况。（自由表面薄层中：b□0T=T□0bbT丰0近于平面应力问zyzxzxyxy图2-11图2-12题）2-4试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况（•.•£=0T=T=0丫=丫=0只有££y丰0接近平面应变问题）zyzyzxzyzxyxy5在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件工Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？（T=T）xyyx①二axy，（2）①二bxy2①二axy，（2）①二bxy2，（3）①二cxy2，试求出3-2取满足相容方程的应力函数为：（1）应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。3-3试考察应力函数①二fxy（3h2-4y2）能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），2h3画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

3-4试证①=■q^-1-4止+3卫-1+q^_I2止-卫能满足相容方程，4(h3h丿10(h3h丿并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题(设矩形板的长度为l,深度为h,体力不计)。4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。4-2试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明“p足此基本方程。B_—Ap+—,up申—0可以满4-4试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。4-54-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。4-2试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明“p足此基本方程。B_—Ap+—,up申—0可以满4-4试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。4-5试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式［§4-3中的式(a)，(b),(c)］。1长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理2)(拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设v=bx2+bx3)6试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取t=im,u7-1试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。7-2设某一物体发生如下的位移：u—a+ax+ay+azTOC\o"1-5"\h\z0123v—b+bx+by+bz0123w—c+cx+cy+cz0123试证明：各个形变分量在物体内为常量(即所谓均匀形变)；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。8-5半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q。设圆面积的半径为a,试求圆心下方距边界为h处的位移。3-1考察应力函数①=ay3在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。解①沁=0ax4a4①a4①=0ax2ay2ay4=0满足双调和方程(相容方程)可作应力函数②应力分量(2-24):a2①o==6ayxay2a2①o==0Tyax2xya2①=0axay③力边界条件(2-25):Jlo+mTxmo+Ityxyyx=±1：f=0x左边界l=一1、=-o=一6ayxx=0y右边界l=一1m=0f=o=6ayxx=0y④a>0解决偏心拉伸问题a<0解决偏心压缩问题3.2解：①o==0o=竺聖=2ayxay2T=一2axyax2xylo+mTxmo+Ityxyxy上边界=2axx-o=一2ayy下边界=o=2ayy左边界f=—t=2axyxy右边界=T=—2axxy②o=~~=2bxoxay2a2①=0ax2T=2byxylo+mTxmo+Ityyxxyy上边界yx=一2byf=-o=0yy下边界f=T=2byxyx=0yf=0yh/2*h/2*-*■左边界f=-o=一2bxf=-t=一2byxxyxy右边界=ox=2bxf=T=2byxyxy62①o==6cxyx6y262①二二0y6x2Txy62①二3cy26x6yyxy上边界l=0m二-1下边界l=0m二1左边界l=—1m=0右边界l=1m=0力边界：yxlo+mTxmo+lTf=-t=一3cy2f=-o=0xyxyy=T=3cy2f=0xyxyf=-o=-6cxyf=-t=-3cy2xxyxy、=ox=6cxyf=t=3cy2xyxy3-3、3-4解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后知各自能解决的问题，见表3-12所列。表3-12两种应力函数所对应的应力、因此，可作为应力函数。可求得面力（或合力），从而得面力、合力应力函

数2Fxy33FxyU=h3(1)qy2(2y3y10应力分量xy12Fxy,o=0h3y6Fy23F—+h32h6qx2y4qy33qyo=—+一xh3h35h(込吐」一+一1Ih3h丿oxyqx(12y2、h3边上界边条下件边边界条件力*)

面合解决问

题(o)=0,(T)=0yy--h/2xyy--h/2(o)=-q,(T)=0yy--h/2xyy--h/2(o)=0,(T)=0yy-h/2xyy-h/2(o)=0,(T)=0yy-h/2xyy-h/2Jh/2(o)dy=0,Jh/2(t)dy=F-h/2xx二-1-h/2◎x二-1Jh/2(o)ydy=一Fl-h/2xx=一1Jh/2(o)dy=0,Jh/2(T)dy=ql-h/2xx二-1-h/2卩x二-1Jh/2(o)ydy=—ql2/2-h/2xx二-lxyJh/2(o-h/2Jh/2(o—h/2)dy=0,Jh/2(t)dy=Fx二1-h/2xyxi)ydy=Flx-1悬臂梁一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用Jh/2(o)dy=0,Jh/2(T)dy一ql—h/2xx二l—h/2xyx-lJh/2(o)ydy一ql2/2-h/2xx二l悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用，上边受均布载荷作用3-5解1、半逆解法确定①主要边界q)=0故可设a=0x-0,bx二0QxQ2y2Qd4二0Qy4V4①£即y^g+牛4dx二0QxQ2y2Qd4二0Qy4V4①£即y^g+牛4dx4=0对y的任意值均成立则有:dx4d4fi(x)=0dx4dx4f（x）=Ax3+Bx2+Cx（略去了与应力无关的常数项）f（x）=Ex3+Fx2（略去了与应力无关的常数项及次项）1故①=y(Ax3+Bx2+Cx)+Ex3+Fx22、应力a二沁-fx=0xQy2xQ2①a=-fy=y(6Ax+2B)+6Ex+2F-pgyyQx2ypxy=—(3Ax2+2Bx+C)QxQy3、边界条件定常数：（p）=o...c=ox-0xy上端面fb(p)dx0刃y=0(p)=q.•.-(3Ab2+2Bb)=qxyx=b=0Ab3+Bb2=0即Ab+B=0iA=-B=b2fb(a)dy=00yy=0fb(a)xdx=00yy=03E+2F0iE=F=0E2b+F=即a启-fx启=0xQy2xQy2Q4①df(x)d4f(x)—y+1Qx4dx4dx4qx3xp=(-2)xybb贝I」a=0a=29yqx3xp=(-2)xybbxybb4-1解：①物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。平衡方程多了非微分项，这是由于i）微分体二径向边不平行，使a°对p方向的平衡产生了影响。0ii）二环向边不等长使a在p方向，p在Q方向产生附加影响。pp0几何方程多了非微分项这是由于微分体二径向边平不平行，u微分体二径向边平不平行，u引起周向应变UPppu引起剪应变Q為-為0Qpp2仿照直角坐标系的旋转变换介上式：介上式：fu=ucos0+usin0<piu=-usin0+ucos0l0

fu=ucos0+usin0<p.0iu=usin0+ucos0Ip4-3轴对称位移问题，导出按位移求解的基本方程，并证明u-Ap+Bppu—0满足此方程解：按位移轴对称条件(应力也轴对称)：代入平衡方程％+齢二r—0dpp物理方程o-亠匚(£-应p1-p2p(a)(c)代入(a)得r+p+~(1-p)(£-£)—0dpdppp<P(b)代入(d)得位移轴对称问题按位移求解基本方程:)u—0o—o(p)T—0申ppp0auduu程£—p—p£-Y—0(b)papdppp9(£-p£)T—0(c)申pp申(d)u—upE1-p24-45-1解：d2up1duu+一~—0dp2pdpp2或ddpipdp按应力求解时的相容方程。试导出轴对称位移问题中由几何方程所得应变间的关系即相容方程du£—p

pdp0中第2式微分d£1du1—p一udppdpp2p长1悬臂梁，B端作用集中力P分别用—£-丄£即相容方程P竺T+q-qppp®dp®P1)最小势能原理2)(拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设U—bx2+bx3)121)U-bx2+bx3满足位移边界条件(v)-012x—0'dv、、dx丿x—0应变能u—丄EIf120'd2v'、dx2丿21dx—EIf1(2b+6bx)2dx—2EI(b21+3bb12+3b213)20121122外力势能V—-P(v)—-P(bl2+bl3)x—112总势能n—U+V—2EI(b21+3bb12+3b213)-P(b12+b13)112212由6n-0得：血—06b1an—0

ab2则挠曲线方程为v-Z^x2-—x32EI6EI2EI(2b1+3b12)-Pl2—0解得b—-Pl-12EI122EI(3b12+6b13)-P11P—0b—-26EIvB—(v)x—lPl33EI'dv'dv、、dx丿x—02)v—bx2+bx3满足位移边界条件(v)12x—0应变能U—2El(b21+3bb12+3b213)1122位移变分方程5u=5W5bab1auab25b25b1lab2丿2x-15b22EI(2bl+3b12)=Pl2〕12>2EI(3b12+6b13)=Pl3I12b1b2旦]2EI!I6EII6-6试求图示结构的结点位移和应力，取解：1、离散化如图单元节点编号t=1m|1=0建立坐标系x0y，划分单元①②,节点坐标◎ijk①142②231节点号xy101210311400节点编号1，2，3，42、单元刚度矩阵单元①b=bi1c=ci11A=(b2i-y二0

2x一x=12bj

cj=y-y=-121=x-x=-1121』(或A=2=y—y=114二x-x二041x1x1=—)2「b0b0b0一「00-1010■ijm0c0c0cI=010-100IijmcbcbcbI」10-1-101I」iijjmm10应变矩阵[b]=—2A弹性矩阵[d]=-^1-2应力矩阵[s]=[D][B匚-2-20-10-2-1单元刚度矩阵[K]=[B]t[D][B]tA「1=[B]t[S]tA=410Kf_0_

:-2打142-0—1]

I

I

I

I

I

I

I

」0:Q00；3K14144-2,13100:-20

k2.k24L1210'-12-1K_0_」-1K4-1-2200K221KK0_1K_1；0K321一020_200__1k03k1_2k_1K32K33K31_1_2,13I0_1单元②单刚与①相同「1［B］符号相反，［s］符号也相反［K］=E!40k1201-0：201_1：0K11i3、整体分析整体刚度矩阵一30；I012；0-I—013>1—1_1■1(—-k①+②k①+②K②K①0厂1:31_1:—21112131411[K]=[K]®+[K]®=EK①+②K①+②K②2122K①23I1__0_:1010—：_1—4K②k②K②0I4_2_1;_103!10313233K①K①0K①0二LL_1_2_；_13:一0一0414244iii_10:_2_1:00:31_1i_2'01_1'00i■1312010整体刚度方程4、位移边界条件处理「30「3001_20_1_「u11F、10310_1_10_IIv21I0130_1__2I0u2E10030_2__1IIv1_FII2r=2r4_2_1_10310I0u3I0_1_1_2130II0v3_10_2_1003I1u4L_1_20_10013v5、方程求解，去除u=0u=0u=0u=0u=012334000000u40六个方程得：「3得：「3「u〈1»=VF1L13v2_F26、单元应力，F则，1u=(3F+F)2E221v=(F+3F){b}®=<x

byT[$]{§}①{b}®=<x

byT[$]{§}①0_1_2_100｛。｝电b「00_20210IxIVb|=[$]{5浮=注020_200I0—2F2F00—0y2EEI-T10_1_101I-xyxy十2f>I0iF12「2F0000_2F_T5®=—20F0n-T0lEE_LEE-b「00_20210「〕025①1

o平均应力＜x平均应力＜oyTxy7-1试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。证：取坐标面与三个主平面重合，由题意/=m=n=去由式（7-3），=l2b+m2由式（7-3），=l2b+m2b+n2b121=(o+o+o)331237-2解：1)£貝=axQx1Qw£=zQzQvQuY=—+—=b+xyQxQy2)