数学微专题27之19-外接球的几种求法

高三微专题：外接球一、由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）．二、球体公式1.球表面积S=42.球体积公式V=三、球体几个结论：（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长（2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心（3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）（4）正三棱锥对棱互相垂直四、外接球几个常见模型1.长方体（正方体）模型例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）答案：14练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）答案：122.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理（一边一对角)例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____.【解析】正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，，，，在中，，由勾股定理得．所以，球的表面积.练习2．正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于.解析：外接圆的半径为，三棱锥的直径为，外接球半径，或，，外接球体积侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）侧棱与底面垂直：球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）半径公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理（一边一对角)直棱柱(圆柱)球心位置：上下底面外心连线中点处公式公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理（一边一对角)例3.在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（）解析：在中，，，的外接球直径为，，，选D练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。解析：，，，，已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球面上，则该圆柱的体积为。答案：4.侧面与底面垂直的锥体例4三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为.解析：，，，，；练习4（1）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为。解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，，；法二：，，，，（2）（2017新课标）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________答案：（提示;直径所对的球周角为直角）5.补形法：将不规则几何体外接球问题转化为长方体或正方体模型，实现锥，柱转化适合条件;（1）墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出例5（2019新课标Ⅰ）已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 B． C． D．（2）对棱相等模型（补形为长方体）条件：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，，补充：第三步：根据墙角模型，，，，求出练习5.在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为。解析：设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，，，，，，微专题全套27讲见：数学微专题27之1-高考热点之证明数列不等式数学微专题27之2-高考数学微专题立体几何中关于折叠的所有问题数学微专题27之3-关于三角函数最大值问题数学微专题27之4-函数放缩公式集锦数学微专题27之5-函数视角下数列的单调性与最值数学微专题27之6-衡水中学内部数学错题集数学微专题27之7-极化恒等式在向量问题中的应用数学微专题27之8-解析策略-解析几何中的数与形数学微专题27之9-精准培优专练圆锥曲线离心率数学微专题27之10-解析几何中斜率之积为定值的问题探究数学微专题27之11-立体几何求角的三角函数值（非空间向量）数学微专题27之12-平面解析几何：易错点与二级结论数学微专题27之13-求数列通项公式的11种方法数学微专题27之14-三次函数的图像与性质数学微专题27之15-数列求和的8种常用方法(最全)数学微专题27之16-数学手册数学微专题27之17-双变量的“任意性”与“存在性”五种题型的解题方法数学微专题27之18-同构思想在指对型函数中的应用数学微专题27之19-外接球的几种求法数学微专题27之20-阿波罗尼斯圆专题经典讲解数学微专题27之21-二轮复习专题求圆锥曲线的离心率数学微专题27