数学微专题27之5-函数视角下数列的单调性与最值

函数视角下数列的单调性与最值铜梁中学张洋摘要：数列是高中数学的重要内容和考点，由于数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。为此，本文将剖析如何利用函数来解决高考及模拟题中数列单调性及最值方面的问题。关键词：数列函数单调性最值例1：（2018年全国II）记为等差数列的前项和，已知，.求数列的通项公式；求，并求的最小值.第一问，数列的通项公式；第二问，数列的前项和.要求的最小值：方法一：我们可以借助一个二次函数函数，很明显这个函数在上单调递减，在上单调递增，那么可以得到最小值，从而的最小值为.方法二：由于数列的通项公式，可以借助函数.在，；在，，所以数列的前4项均为负数，故而的最小值为.变式：（1）如果一个数列的前项和为，那么求取得最小值时序号是多少？很显然，，或.（2）在（1）的前提下，求取得最小值时序号是多少？可以借助函数，求导.在单调递减，在上单调递增，从而.故而取得最小值时序号是例2：已知单调递增数列的通项公式求的取值范围.这一个题我们很容易想到这样题目：设在上是的一个增函数，且求的取值范围.只需要，可以求得的范围是.对于数列就有一点问题，因为数列在直角坐标系所对应的点是不连续的，限制条件应该为，即，求得的范围是.变式：（1）设函数若数列是递减数列，求实数的取值范围.由题意即可，可得的取值范围.（2）已知数列中，.对任意的，都有成立，求的取值范围.由题意，可借助函数，在，单调递减，再结合数列的离散性特点，可得限制条件，得到的范围为.总结：我们在利用函数与数列共性来解题时，还要注意数列的特殊性（离散性），它的图像是一系列孤立的点，而不像我们研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解题中应该充分利用这一特殊性.在研究数列单调性时，只要这些点每个比它的前一个点高（即），则图象呈上升趋势；反之，呈下降趋势.微专题全套27讲见：数学微专题27之1-高考热点之证明数列不等式数学微专题27之2-高考数学微专题立体几何中关于折叠的所有问题数学微专题27之3-关于三角函数最大值问题数学微专题27之4-函数放缩公式集锦数学微专题27之5-函数视角下数列的单调性与最值数学微专题27之6-衡水中学内部数学错题集数学微专题27之7-极化恒等式在向量问题中的应用数学微专题27之8-解析策略-解析几何中的数与形数学微专题27之9-精准培优专练圆锥曲线离心率数学微专题27之10-解析几何中斜率之积为定值的问题探究数学微专题27之11-立体几何求角的三角函数值（非空间向量）数学微专题27之12-平面解析几何：易错点与二级结论数学微专题27之13-求数列通项公式的11种方法数学微专题27之14-三次函数的图像与性质数学微专题27之15-数列求和的8种常用方法(最全)数学微专题27之16-数学手册数学微专题27之17-双变量的“任意性”与“存在性”五种题型的解题方法数学微专题27之18-同构思想在指对型函数中的应用数学微专题27之19-外接球的几种求法数学微专题27之20-阿波罗尼斯圆专题经典讲解数学微专题27之21-二轮复习专题求圆锥曲线的离心率数学微专题27之22-高考立几小题压轴核心模型数学微专题27之23-立体几何空间角的黄金解题技巧数学微专题2