1.3直线的一般式和点法式-【高效备课精讲精研】高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3直线的方程理解直线方程的一般式的形式特点，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。能正确进行直线方程的一般式与直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种方程的互化，达到数学运算和逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次。名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1

（x1≠x2）和直线y=y1

（y1≠y2）截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线复习回顾

环节一直线的一般式思考1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式吗?1、直线的一般式直线的一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)1、直线的一般式思考2：A，B为什么要不同时为0?同时为0会是什么？A，B同时为0不是直线方程，是常函数。思考3：当A=0时，直线的一般式会是什么？

平行于x轴的一条直线，直线倾斜角为0°。1、直线的一般式思考4：当B=0时，直线的一般式Ax+By+C=0会是什么？

思考5：当C=0，A≠0，B≠0时，直线的一般式Ax+By+C=0会是什么？垂直于x轴的一条直线，直线倾斜角为90°。过原点的直线。总结：当A=0，平行x轴；当B=0，垂直x轴；当C=0，过原点1、直线的一般式思考6：当B≠0时，直线的一般式Ax+By+C=0会是什么？

思考7：从上面的式子中，你能看出斜率吗？

思考8：结合前面直线方向向量的概念，直线方向向量还可以怎么表示？（B，-A）1、直线的一般式思考9：与前面所学的四个直线方程表达式相比，你发现直线的一般式有什么优点？可以表示斜率不存在的情况任何一条直线都可以用直线的一般式进行表达！思考10：直线的一般式Ax+By+C=0是什么类型的方程？二元一次方程1、直线的一般式注意事项：（1）方程中等号左侧从左往右，一般按x,y,常数的先后顺序排列.（2）字母x前的系数一般不为负数，且方程中一般不出现分数.

下面式子要变形：例1

例2已知A·C＜0,且B·C＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过第

象限。

例2若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.(1)求实数m的范围.(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.【解析】(1)由

解得m=2,若方程表示直线，则m2-3m+2与m-2不能同时为0，故m≠2.(2)由解得m=0.

环节二直线的点法式2、直线的点法式回顾：直线的方向向量有哪几种表示方法（1,k）(B,-A)（x-x0,y-y0）思考1：如何表示与直线垂直的向量呢？思考2：直线的法向量与直线的方向向量有什么关系？互相垂直

法向量，用

2、直线的点法式思考3：若已知P为（1,2），法向量

为（5,6）,请问经过P点的直线的方程怎么表示？5（x-1）+6(y-2)=0

2、直线的点法式

思考5：点法式能表示所有的直线吗？能，因为所有直线上的点（x,y）都能用这个式子表示。

例1

例2

环节三直线的定点3、直线的定点思考1：若已知直线mx-y+2m+1=0经过一个定点，那么该定点的坐标是什么呢追问1：定点定的谁的值？追问2：定点和哪个值无关？（x,y）m追问3：这是什么意思？无论m取何值时，x和y都有一个定值。3、直线的定点思考1：若已知直线mx-y+2m+1=0经过一个定点，那么该定点的坐标是什么呢思考2：上述问题等价于，若已知直线mx-y+2m+1=0，无论m取何值，x和y都有一个定值。提取m，利用0+0=0解决（-2,1）定点解决办法：提取参数，利用0+0=0解决。不论a取何值时，直线（a-3）x+2ay+6=0恒过第几象限例1

已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．(1)若的△AOB面积为4，求直线l的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求|PA|·|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．例2

已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．(1)若的△AOB面积为4，求直线l的方程；例2

已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l的方程；例2

已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．(3)求|PA|·|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．例2点斜式

斜截式

两点式截距式

特别地l⊥x轴时，l⊥y轴时，l：x=x0l：y=y0关于x