圆的基本性质知识点及典型例题

圆的基本性质知识点及典型例题辅导学案：圆的基本性质一、知识点梳理1.圆的定义及有关概念圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。圆的一些相关概念包括弦、直径、弧、等弧、优弧、劣弧、半圆、弦心距、等圆、同圆、同心圆等。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。2.平面内点与圆的位置关系圆的半径为r，同一平面内点到圆心的距离为d，点与圆的位置关系可以分为在圆外、在圆上和在圆内三种情况。二、例题解析例1：如图，在Rt△ABC中，直角边AB=3，BC=4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的内部，点F在圆A的上方。例2：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(-1,-1)，点P(3,-4)。判断点P与圆O的位置关系。例3：下列说法中，正确的是：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是直径；半径相等的两个半圆是等弧；一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。例4：有下列四个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弦是通过圆心的弦；一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是直径相等的两个圆是等圆。三、垂径定理及应用垂径定理指出，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题。例1：下列语句中正确的是：相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的弦相等；平分弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心。例2：过圆内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为9cm。例3：如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于C，若AB=6，BC=1，则与圆环的面积是π(26-3)。例4：在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，另一条弦长为6厘米，则两弦之间的距离为1厘米。例5、矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，已知GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，求EF的长度。解：根据矩形的性质，可以得到AG=CD=BC=8cm，因此，OD=4cm，OE=3cm。根据圆上两点间的距离公式，可以得到EF=2OE=6cm。例6、如图所示，是直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，已知油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。解：根据圆柱体横截面的性质，可以得到油面的形状为一个半径为325mm的半圆。设油面的最大深度为h，则根据勾股定理，可以得到h^2+325^2=600^2，解得h=475mm。例7、如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=8cm，求直径AB的长。解：根据垂径定理，可以得到MC=MD=4cm。由于M是半径OB的中点，因此OB=2MC=2MD=8cm。根据勾股定理，可以得到AB=2OB=16cm。例8、工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，已知钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少毫米。解：根据图中所示的三角形，可以得到AB=2×AC=2×√(10^2-8^2)=12mm。例9、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为8厘米。解：根据图中所示的三角形，可以得到球心到长方体边的距离为8厘米，因此球的半径为8厘米。例1、下图中BOD的度数是150度。例2、已知：如图，AB、DE是⊙O的直径，AC∥DE，交⊙O于点C，证明：BE=CE。解：由于AC∥DE，因此∠CDE=∠CAE。又因为AB、DE是⊙O的直径，因此∠CDE=90度，∠CAE=90度，因此ACDE是一个矩形。根据矩形的性质，可以得到BE=CE。例3、如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，弧AC的度数为60°，弧BD的度数为100°，求∠AEC的度数。解：根据圆周角定理，可以得到∠AOC=2×60°=120度，∠BOD=2×100°=200度。由于AB、CD是弦，因此∠AEB=∠CED=90度。根据角度和为180度的性质，可以得到∠AEC=360度-120度-200度-90度-90度=60度。例4、如图所示，A、B、C、D是圆上的点，已知∠C=30度，∠B=40度，求∠1的度数。解：根据圆周角定理，可以得到∠ACB=2×30度=60度，∠ADB=2×40度=80度。由于AB、CD是弦，因此∠ABC=∠ADC=90度。根据角度和为180度的性质，可以得到∠1=360度-60度-80度-90度-90度=40度。例1、如图，有一块边长为6cm的正三角形ABC木块，点P是边CA延长线上的一点，绳长AP为15cm。握住点P，拉直细绳，把它紧紧缠绕在三角形ABC木块上（缠绕时木块不动），则点P运动的路线长为15cm+6πcm。例2、如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动90度，转动3秒后停止，则顶点经过的路线长为16+12πcm。例3、这是一个供滑板爱好者使用的U型池，其形状类似于一个长方体去掉一个半圆柱。中间可供滑行的部分是一个半径为4米的半圆，其边缘AB和CD的长度均为20米，点E位于CD上，且CE的长度为2米。如果一个滑板爱好者从A点滑到E点，他所滑行的最短距离约为多少米。例4、如图所示，五边形ABCDE的每个顶点都有一个半径为1的圆。将这些圆连接起来，形成了五个扇形。求这些扇形的面积之和（阴影部分）。例5、小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长为30厘米，底面半径为10厘米。她想在