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PAGE6几何定值和极值一.本周教学内容:几何定值和极值1.几何定值问题定值问题大致分为两类:一类是定量问题(如定长度、定角、定弧、定比……);一类是定形问题(如定点、定线、定圆或弧、定方向…)解决这类问题要通过题目中元素动静结合,特殊与一般结合,数形结合的特点去分析,把定值找出来,再有的放矢地进行论证。(1)定量问题:解决定量问题的关键在探求定值,一旦定值被找出,就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。(2)定形问题:定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上,定点可对应于有序数对,定向直线可以看作斜率一定的直线,实质上这些问题是轨迹问题。2.几何极值问题:最常见的几何极值问题大体包括:有关线段的最大最小问题;三角形面积的最大最小问题;角的最大最小问题等。二.重点、难点:(一)重点:重点是几何的定值问题和极值问题,证几何定值问题时要运用一定的猜想、联想、推理、计算等手段探求定值。几何中的极值问题大量的是利用几何图形的性质,作各种几何变换及利用几何中的不等量关系来求解。(二)难点:难点是通过题目中元素动静结合,特殊与一般结合,数形结合的特点进行分析,从而提高分析问题和解决问题的能力。【例题分析】例1.已知的两边的中点分别为M、N,P为MN上的任一点,BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E,求证:为定值。分析:用运动法探求定值,先考虑特殊情况,令P在MN上向M运动,此时D点向A运动,P点运动到M时,D点将与A点重合,而AM=MB,于是,于是转入一般证明。证明:连结AP例2.两圆相交于P、Q两点,过点P任作两直线与交一圆于A、B,交另一圆于、,AB与交于点C,求证:为定值。分析:设两圆为⊙O、⊙,现从运动极端分析,因为直线与都是以P为固定点运动的。当与重合时,便成了左图的情况,而AC和分别成了两圆的切线。且,QA、分别为直径。容易求得这就是所求的定值。证明:如右图,连结PQ、BQ、则有例3.在定角XOY的角平分线上,任取一点P,以P为圆心,任作一圆与OX相交,靠近O点的交点为A,与OY相交,远离O点的交点为B,则为定角。点评:本题主要运用了转化的思想,把求转化到了中来解决。考查了相似三角形、弦切角、圆周角、勾股定理等知识。【模拟试题】一.几何定值问题1.求证:正三角形内一点到三边距离之和为定值。2.在正方形ABCD的外接圆的AD上任取一点P,则(PC+PA):PB为定值。3.在正方形ABCD内,以A点为顶点作且,设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于E、F,自E、F分别作正方形对角线AC的垂线,垂足为P、Q。求证:过B、P、Q所作圆的圆心在BC上。4.已知CD是半径为R的⊙O的直径,AB是动弦,AB与CD相交于E,且成角,求证:为定值。二.几何极值问题5.在中,D是AB的中点,E、F分别是AC、BC上的点,试证明的面积不超过的面积之和。6.如图,中,D、E分别是BC、AB上的点,且,如果的周长依次是m、,证明:。7.已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点,DP的延长线与CB的延长线相交于Q,问P点在什么位置时,使得的值最小?8.设AB是⊙O的动切线,与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于A、B,⊙O的半径为r,求OA+OB的最小值。【疑难解答】A.教师自己设计问题:1.本周的模拟试题为什么没有选择题和填空题?2.解答题的8个题各属于几何定值和极值的哪种类型?它们的解题思路是什么?B.对问题的解答:1.本周的几何定值和极值问题综合性较强,而且一般都在解答题中出现,选择题和填空题出现极少,因此本周的模拟试题都是解答题。2.答:解答题的第1题、第2题和第4题是几何定值中的定量问题;第3题是几何定值中的定形问题;第5到第8题是几何极值问题。下面就这8个题的解题思路分别作以下的说明。第1题:已知P为正内任意一点,它到BC、CA、AB的距离分别为PE、PF、PD,求证:PD+PE+PF为定值。分析:点P可以在三角形内任意运动,当P点运动到正三角形的一个顶点时,显然就是正三角形的高,因此,PD+PE+PF必取定值,这个定值,就是的高h。证明:连结PA、PB、PC显然有:第2题:分析:用运动法令P与D重合,则(PC+PA):PB变为(DA+DC):DB,显然其定值为。由于图中直角比较多,所以可做垂线构造相似形证明。证明:由A引第3题:本题属于定形问题,要证B、P、Q三点所确定的圆的圆心在BC上,若命题正确,则B点就是半径的端点,且,AB就是圆的切线,APQ是割线,那么必有,证明即可。证明:如图,得AB是过B、P、Q三点所作圆的切线,BC过切点B垂直于AB,它必通过圆心,也就是过B、P、Q所作圆的圆心在BC边上。第4题:这是定值问题,既然AB是⊙O的动弦,而且与⊙O的定直径CD保持夹角为,则可把这些动弦视为一组平行移动的弦,显然,做一条过圆心且平行于AB的弦,则E点与O点重合,这时,于是探求到定值为,这里的是特殊位置,一般情况就比较好证了。第5题:分析:因为DA=DB,所以就可以拼合成一个四边形,然后再去与比较面积的大小。证明:(1)如图(1),以D为对称中心,把旋转,易知四边形是凸四边形,连结,而且(2)当E运动到与A重合时,如图(2)(3)当F运动到与B重合时,如图(3)综合(1)、(2)、(3)总能成立。第6题:分析:初看本题不好下手,但仔细想来有两条路可走,一是把分别用同一个三角形的边长的代数式表示,将转化为二次函数求极值;另一是将的和,分别求其代数式再求极值。证明:设BC=a,AC=b,AB=c,则m=a+b+c第7题:分析:P是AB边上的一个动点,Q点随P的运动而动,题中涉及两个未知量的和。BQ随AP的变化而变化,所以可用AP的代数式来表示。这样,我们设所求两线段之和为线段AP的函数,即可用代数法求解。解:设AP=x,AB=m,AD=n,AP+BQ=y,易证把(1)式变形为即y的

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