【名师一号】（学习方略）高中数学 1.2.3三角形中的计算问题双基限时练 新人教A版必修5

PAGEPAGE1【名师一号】（学习方略）2023-2023学年高中数学三角形中的计算问题双基限时练新人教A版必修51．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，那么△ABC的面积等于()A．9 B．18C．9eq\r(3) D．18eq\r(3)解析由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，∴AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(6×sin120°,sin30°)＝6eq\r(3).又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×6eq\r(3)×6×eq\f(1,2)＝9eq\r(3).答案C2．在△ABC中，假设a2＋b2＋ab<c2，那么△ABC是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．形状无法判定解析由a2＋b2＋ab<c2，得a2＋b2－c2<－ab.又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<－eq\f(1,2).又cos120°＝－eq\f(1,2)，∴C>120°，故△ABC为钝角三角形．答案A3．在△ABC中，BC＝2，B＝eq\f(π,3)，假设△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，那么tanC为()A.eq\r(3) B．1C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析由S△ABC＝eq\f(1,2)BC·BAsinB＝eq\f(\r(3),2)，得BA＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB.∴AC＝eq\r(3)，∴AC2＋BA2＝BC2.∴△ABC为直角三角形，其中A为直角．∴tanC＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(\r(3),3).答案C4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，那么该三角形的面积是()A．6 B.eq\f(15,2)C．8 D．10解析由5x2－7x－6＝0，得x＝－eq\f(3,5)，或x＝2(舍去)．∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，∴S△＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(4,5)＝6.答案A5．△ABC中，A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220eq\r(3)，那么a的值为()A．7 B．25C．55 D．49解析由S＝220eq\r(3)，得eq\f(1,2)bcsinA＝220eq\r(3).即eq\f(1,2)×16×c×eq\f(\r(3),2)＝220eq\r(3)，∴c＝55.∴a2＝b2＋c2－2bccos60°＝162＋552－2×16×55×eq\f(1,2)＝2401.∴a＝49.答案D6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a＝eq\r(3)，b＝3，C＝30°，那么A＝________.解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋9－2×eq\r(3)×3×eq\f(\r(3),2)＝3，∴c＝eq\r(3).又eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(\r(3)·\f(1,2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∴a<b，∴A<B，∴A＝30°.答案30°7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，那么cosA＝______.解析∵(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，∴由正弦定理，得(eq\r(3)sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.∴eq\r(3)sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)8．在△ABC中，a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝________.解析由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，得bc·cosA＝eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)，同理ac·cosB＝eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)．∴a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝a2－b2＋eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)－eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)＝a2－b2＋b2－a2＝0.答案09．在△ABC中，A＝60°，b＝1，c＝4，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)的值为________．解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)．又a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×1×4×eq\f(1,2)＝13，∴a＝eq\r(13)，∴eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),sin60°)＝eq\f(2\r(39),3).答案eq\f(2\r(39),3)10．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝eq\r(21)，b＝4，且BC边上的高h＝2eq\r(3).(1)求角C；(2)求边a的长．解(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，sinC＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，那么C＝60°.(2)由余弦定理，可知c2＝a2＋b2－2abcosC，那么(eq\r(21))2＝42＋a2－2×4×a×eq\f(1,2)，即a2－4a－5＝0.所以a＝5，或a＝－1(舍)．因此所求角C＝60°，边a长为5.11．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)假设△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b；(2)假设sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC解(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)得ab＝4，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得a＝2，b＝2.(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,6)，∴a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝eq\f(2\r(3),3).∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)·eq\r(a2－b2)·b＝eq\f(2,3)eq\r(3).当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理，知b＝2a联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3),3)，,b＝\f(4\r(3),3).))∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).12．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))；(2)假设c－b＝1，求a的值．解(1)在△ABC中，∵cosA＝eq\f(12,13)，∴sinA＝eq\f(5,13).又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝12×13.∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\