深圳南山文武学校必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(答案解析)

一、选择题1．下列等式成立的是（）A． B．C． D．2．若(为自然对数的底数)，则函数的最大值为（）A．6 B．13 C．22 D．333．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（）A．是偶函数 B．在上是增函数C．的值域是 D．的值域是4．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）(参考数据：)A． B． C． D．5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（）A． B．C． D．6．已知函数的值域是R，那么实数a的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．8．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．9．函数的定义域为（）A． B． C． D．10．已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．11．实数满足，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．12．已知函数的图象关于直线对称，若且，，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数且的图像一定过定点；②函数的定义域是，则函数的定义域为；③若，则的取值范围是；④若(,)，则.14．的单调递增区间为______.15．已知，且，则______.16．函数的单调递增区间为_______.17．已知函数满足，当时，函数，则______.18．有以下结论：①将函数的图象向右平移1个单位得到的图象；②函数与的图象关于直线y=x对称③对于函数(>0,且)，一定有④函数的图象恒在轴上方.其中正确结论的序号为_________.19．给出下列四个命题：（1）函数的图象过定点；（2）函数与函数互为反函数；（3）若，则的取值范围是或；（4）函数在区间，上单调递减，则的范围是；其中所有正确命题的序号是___________.20．设正数满足，则的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数．（1）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．22．已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）用定义法证明在定义域上是增函数；（3）求不等式的解集.23．设函数的定义域为.（1）求的最大值和最小值，并求出最值时对应的x值；（2）解不等式.24．（1）求值:（2）已知.25．已知，则的取值范围是__________.26．已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断．【详解】，A错误；，B错误；，C错误；，D正确．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．，，一般．，．2．B解析：B【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可.【详解】由及知，故定义域为，又令，则，易见y在上单调递增，故当时，即时，.故选：B.【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.3．B解析：B【分析】计算得出判断选项A不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项B正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项CD不正确，即可求得结果.【详解】对于A，根据题意知，.∵，，，∴函数不是偶函数，故A错误；对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，故B正确；对于C，，，，即的值域是，故C错误；对于D，的值域是，则的值域是，故D错误.故选：B.【点睛】本题要注意对函数的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于较难题.4．B解析：B【分析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.5．A解析：A【分析】分析函数的奇偶性，结合可得出合适的选项.【详解】令，该函数的定义域为，，函数为偶函数，排除B、D选项；又，排除C选项.故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．A解析：A【分析】当0＜a＜1时，当时，，则当时，的值域必须要包含，当时，当时，，则当时，的值域必须要包含,从而可得答案.【详解】由题意，的值域为，当0＜a＜1时，当时，，所以当时，的值域必须要包含当时，单调递增，所以不满足的值域为.当时，当时，，所以当时，的值域必须要包含,若时，当时，，不满足的值域为.若时，当时，单调递减，所以不满足的值域为.若时，当时，单调递增，要使得的值域为，则，即所以满足条件的a的取值范围是：，故选：A．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a＜1时，当时，，则当时，的值域必须要包含，当时，当时，，则当时，的值域必须要包含，属于中档题.7．A解析：A【分析】首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系.【详解】是偶函数，并且当时，是增函数，，因为，，即又因为在是增函数，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数的性质，后面的问题迎刃而解.8．D解析：D【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较．【详解】由对数函数性质知，，由指数函数性质知，∴．故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．9．C解析：C【解析】要使函数有意义，需使，即，所以故选C10．C解析：C【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：满足对任意，都有成立，所以分段函数是减函数，所以：，解得．故选C．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．11．B解析：B【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】因为，可得，所以，则.故选：B.【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．C解析：C【分析】根据函数的图象关于直线对称，求得a，进而求得，利用数形结合法求解.【详解】因为，所以函数关于直线对称，因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，所以，其图象如下图所示：因为，，所以，，，所以，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查函数的对称性和对数函数的图象和性质还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令代入判断，②利用函数的定义求出的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数，由它的单调性判断．【详解】①令，则，即图象过点，①正确；②，则，∴的定义域是，②错；③，∴，∴．③正确；④由(,)，得，又是上的增函数，∴由，得，即，④正确．故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数且的图象恒过定点；（2）对数函数且的图象恒过定点，解题时注意整体思想的应用．14．【分析】由复合函数的单调性只需求出的增区间即可【详解】令则由与复合而成因为在上单调递增且在上单调递增所以由复合函数的单调性知在上单调递增故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性对数函数的单调解析：【分析】由复合函数的单调性，只需求出的增区间即可.【详解】令，则由与复合而成，因为在上单调递增，且在上单调递增，所以由复合函数的单调性知，在上单调递增.故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.15．【分析】根据对数和指数的关系将指数式化成对数式再根据对数的运算计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系对数的运算属于基础题解析：【分析】根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得.【详解】解：，，，故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题.16．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数解析：【分析】先由，求得函数的定义域，然后令，由复合函数的单调性求解.【详解】由，解得或，所以函数的定义域为或，因为在上递减，在递减，所以函数的单调递增区间为.故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数y＝f[g(x)]，先求定义域，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．17．【分析】由满足得到函数是以2为周期的周期函数结合对数的运算性质即可求解【详解】由题意函数满足化简可得所以函数是以2为周期的周期函数又由时函数且则故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解解析：【分析】由满足，得到函数是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数满足，化简可得，所以函数是以2为周期的周期函数，又由时，函数，且，则.故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.18．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求的范围，再和0比较大小.【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数与的图象关于直线y=x对称，正确；③如下图，设，对应的是曲线上横坐标为的点的纵坐标，是线段的中点的纵坐标，由图象可知，同理，当时，结论一样，故③正确；④根据函数的单调性可知，所以函数的图象恒在轴上方，故④正确.故答案为：②③④【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解和的意义，再结合图象判断正误.19．（2）（4）【分析】（1）函数的图象过定点所以该命题错误；（2）函数与函数互为反函数所以该命题正确；（3）若所以的取值范围是所以该命题错误；（4）由题得解得的范围是所以该命题正确【详解】（1）当时（解析：（2）（4）【分析】（1）函数的图象过定点，所以该命题错误；（2）函数与函数互为反函数，所以该命题正确；（3）若，所以的取值范围是，所以该命题错误；（4）由题得，解得的范围是，所以该命题正确.【详解】（1）当时，（1）恒成立，故函数的图象过定点，所以该命题错误；（2）函数与函数互为反函数，所以该命题正确；（3）若，所以或，则的取值范围是，所以该命题错误；（4）函数在区间，上单调递减，则，解得的范围是，所以该命题正确.故答案为：（2）（4）【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题和反函数，考查对数函数的单调性和解对数不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应解析：【分析】由题设知，再由，得到，所以，设，由此可求出的取值范围．【详解】解：正数，满足，，，又，所以左右加上得到，所以，由得到，设即，解得或即或．根据定义域，均大于零，所以取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．三、解答题21．（1）；（2）.【分析】（1）根据条件分析出的值域包含，由此根据与的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出的取值范围.【详解】（1）因为的值域为，所以的值域包含，当时，即，此时的值域为，满足；当时，则有，所以，综上可知：；（2）当时，在上单调递增，所以在上递增，所以，所以，当时，在上单调递减，所以在上递减，所以，此时无解，综上可知：.【点睛】思路点睛：形如的函数，若函数的定义域为，则有；若函数的值域为，则有.22．（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）求出函数定义域，求出即可得到奇偶性；（2）任取，则，得出与0的大小关系即可证明；（3）根据奇偶性解，结合单调性和定义域列不等式组即可得解.【详解】（1）由对数函数的定义得，得，即所以函数的定义域为.因为，所以是定义上的奇函数.（2）设，则因为，所以，，于是.则，所以所以，即，即函数是上的增函数.（3）因为在上是增函数且为奇函数.所以不等式可转化为所以，解得.所以不等式的解集为.【点睛】此题考查判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式，关键在于熟练掌握奇偶性和单调性的判断方法，解不等式需要注意考虑定义域.23．（1）当时，取得最小值；当时，取得最大值12；（2）【分析】（1）令，可得，从而，结合二次函数的性质，可求出最大值和最小值，及取得最值时对应的值；（2）由（1）知，，，则不等式可化为，可求出的范围，结合，可求出的范围.【详解】（1）由题意，，