小学数学思想方法第6讲枚举法

#小学数学思想方法第六讲枚举法枚举法是将问题所涉及的所有情况全部列举出来，一一加以讨论，从而解决问题的一种方法。当问题出现的情况是有限种，而且这些情况又无法统一处理时，就可以用枚举法来解决。例1有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分，有多少种不同的支付方法？解：要付2角3分即23分，最多可以使用4枚5分硬币，而全部1分和2分硬币一共才1角2分即12分，所以最少要用3枚5分硬币。使用4枚5分硬币时，有：23=4X5+2+1,即4枚5分硬币、1枚2分硬币、1枚1分硬币；23=4X5+3X1,即4枚5分硬币、3枚1分硬币。2种支付方法；使用3枚5分硬币时,有：23=3X5+4X2,即3枚5分硬币、4枚2分硬币；23=3X5+3X2+2X1,即3枚5分硬币、3枚2分硬币、2枚1分硬币；23=3X5+2X2+4X1,即3枚5分硬币、2枚2分硬币、4枚1分硬币。3种支付方法。共有5种支付方法。例2设a与b是两个不相同的自然数,如果它们的最小公倍数是72,那么a与b之和可以有多少种不同的值？解：a与b的最小公倍数72=2X2X2X3X3,有12个约数：1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72。不妨设a>b。当a=72时，b可以取小于72的11种约数，a+b的值为73、74、75、76、78、80、81、84、90、96、108,共11个；当a=36时，b不能是36的约数，只能取8或24,a+b的值为44或60,共2个；当a=24时，b不能是24的约数，只能取9或18,a+b的值为33或42,共2个；当a=18时，b不能是18的约数，也不能取4或12,只能取8,a+

b的值只有1个26；当a=12时，b无解；⑹当a=9时，b只能取8,a+b的值只有1个17。以上a+b的值均不相同，所以a+b可以有11+2+2+1+1=17种不同的值。例3如图，24块边长为10厘米的正方体瓷砖，排成如下黑白相间的长方形。一只蚂蚁沿着瓷砖的边爬行，爬行中它的左边总有一块黑的瓷砖。这只蚂蚁从P到Q,至少爬了多少厘米？Q解：蚂蚁爬行的路线只有下面三种情况，Q解：蚂蚁爬行的路线只有下面三种情况，长度都是120厘米。例4设n=200X209X218X・・・X2000，那么n的末尾有多少个连续的0？解：n的末尾有多少个0,取决于n的质因数中有多少个5和2。观察发现，n的因数是一个首项为200,公差为9,末项为2000的数列，显然质因数2的个数多于质因数5,所以n的末尾有多少个0,就取决于质因数5的个数。观察还发现，n的因数数列的首项200和末项2000都是5的倍数，所以n的因数中,只有与200的差既是5的倍数也是9的倍数的数才含有质因数5。这样的因数有200、245、290、335、……、1910、1955、2000共41个，这就使得n含有41个质因数5。进一步观察又发现，这41个因数中的200、425、650、875、1100、1325、1550、1775、2000这9个数含有因数25，这就使得n所含有的质因数5的个数又增加了9个。再进一步观察又发现，这9个因数中的875、2000两个数含有因数125，这就使得n所含有的质因数5的个数又增加了2个。因此n所含有的质因数5的个数共有41+9+2=52(个)。所以n的末尾有52个连续的0。例5在射击运动中，每射一箭得到的的环数是不超过10的自然数(包括0)。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙的总环数。解：因为每箭射中的环数都是1764的因数，把1784分解质因数，1764=2X2X3X3X7X7,而环数是不超过10的自然数，7不可能与别的质因数相乘，所以必有两箭是7环，其余3箭的环数是2X2X3X3=36的因数。36=1X4X9=1X6X7=2X3X9=2X3X6=3X3X4,因此，两人射箭的环数有5种可能：7,7，1,4，9，和是287,7，1,6，6，和是277,7，2,2，9，和是277,7，2,3，6，和是257,7，3,3，4，和是24。因为甲的环数比乙少4，所以甲的总环数是24，乙的总环数是28。例65张卡片上分别写有数字0、0、1、2、3，可以用它们组成许多不同的五位数。所有这些五位数的平均数是多少？解：首先确定这些五位数的个数。设五位数是abcde：当a=1时，有10023,10032,10203,10230,10302,10320,12003,12030,12300,13002,13020,13200共12个数；当a=2时，有20013,20031,20103,20130，20301,20310,21003,21030,21300，23001,23010,23100共12个数；当a=3时，有30012,30021,30102,30120,30201,30210,31002，31020,31200,32001,32010,32100共12个数。其次求所有这些五位数的平均数。观察发现，数字1、2、3在万位上各出现12次，在千位上、百位上、十位上、个位上各出现6次。所以这36个数的平均数是[(1+2+3)X12X10000+(l+2+3)X6X(1000+100+10+1)]三36=21111。例7有三个如下图这样的长方体，棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米，把它们的某些面染上红色，使得有1个长方体只有一个面是红色的，有1个长方体恰有两个面是红色的，有1个长方体恰有三个面是红色的。染色后把所有的长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，恰有一面是红色的小正方体最少有多少个？解：边观察边思考发现：1、一个面染红的长方体，显然应将3X4的面染成红色，产生12个一面红的小正方体，个数最少。2、两个面染红的长方体：⑴如果将3X4、3X5两个长方形染红，产生3X[(4—1)+(5—1)]=21(个)一面红的小正方体；如果将3X4、4X5两个长方形染红，产生4X[(3—1)+(5—1)]=24(个)一面红的小正方体；如果将3X5、4X5两个长方形染红，产生5X[(3—1)+(4—1)]=25(个)一面红的小正方体。最少产生21个一面红的小正方体。3、三个面染红的长方体：如果将两个3X4和一个3X5的面染红，产生3X[2X(4—1)+(5—2)]=27(个)一面红的小正方体；如果将两个3X4和一个4X5的面染红，产生4X[2X(3—1)+(5—2)]=28(个)一面红的小正方体；如果将两个3X5和一个3X4的面染红，产生3X[2X(5—1)+(4—2)]=30(个)一面红的小正方体；如果将两个3X5和一个4X5的面染红，产生5X[2X(3—1)+(4—2)]=30(个)一面红的小正方体；如果将两个4X5和一个3X4的面染红，产生4X[2X(5—1)+(3—2)]=36(个)一面红的小正方体；

如果将两个4X5和一个3X5的面染红，产生5X[(2X4—1)+(3—2)]=35(个)一面红的小正方体；如果将有一个公共顶点的三个面染红，产生(3—1)X(4—1)+(4—1)X(5—1)+(5—1)X(3—1)=26(个)一面红的小正方体。最少产生21个一面红的小正方体。所以，一面红的小正方体最少有12+21+26=59(个)。例8一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13。求所有满足条件的自然数。解：设这个数为n,n除以8所得的商为q,n除以9所得的余数为r。于是rW8,因为q+r=13，所以5WqW13。当q=5时，r=8，n=5X8+4=44当q=6时，r=7，n=6X8+4=52当q当q=7时，r=6，n=7X8+4=60；当q当q=8时，r=5，n=8X8+4=68；当q当q=9时，r=4，n=9X8+4=76；当q=10时，r=3,n=10X8+4=84；当q=11时，r=2，n=11X8+4=92当q=12当q=12时，r=1，n=12X8+4=100；当q=13当q=13时，r=0，n=13X8+4=108。满足条件的自然数共有9个。练习：连乘积11X12X13X-X54X55X56的末尾共有多少个连续的0?—本书有500页，编上页码1，2，3,…。问数字1在页码中出现多少次?在1,2,3,…，1996,1997这1997个自然数中，含数字1的数共有多少个?用1角、2角和5角三种人民币(每一种的张数没有限制)组成1元钱，有多少种不同的方法?在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有哪些?6．试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：|T||T||T|这是一个三位数nnn这是一个三位数I―|这是一个一位数使得这三个数中任意两个都互质，其中一个已填好，它是714。7．三年级小朋友做投球游戏，把红、黄两种颜色的球投到5米外的小铁筐里，每投进一个红球得7分，投进一个黄球得5分。马小勤一共得了58分，他投进了几个红球？8．有一类小于200的自然数，每一个数的数字和是奇数，而且都是两个两位数的乘积（例如：144=12X12）,那么，在这一类自然数中，第三大的数是多少？9．一个整数乘以13后，乘