2021中考数学：知识点26 等腰三角形与等边三角形

12.（2021烟台）如图所示，AB是。。的直径，直线。E与。。相切于点C,过点A,8分别作ADLOE,

BE±DE,垂足为点D,E,连接4C,BC.若百，CE=3,则AC的长为（）.

第12题答图

【答案解析】D

【解题过程】连接OC,

因为AD±DE,BEA.DE,

所以ZADC=ZCEB=90°

所以ZDAC+ZACD=90°

因为AB是。。的直径，

所以NAC5=90°,

所以NBCE+ZACD=90°,

所以N3CE=NZMC,

在△AOC与△CEO,

因为ZADC=NCEB=90°,NBCE=ZDAC

所以△AOCsaCE。，

由1“BCCE3/T

所以——=——=7=，3

ACADV3

在RtZkACB中，sinABAC=—=V3,

所以4AC=60。,

又因为OA=OC,

所以△AOC是等边三角形，

所以NACO=60。，

因为直线OE与。。相切于点C,

所以OC_LDE,

因为ADLDE、OCLDE,

所以4O〃OC,

所以ADAC=ZACO=60°,

所以ZACD=90°-ADAC=30°,

所以AC=2AO=26,

所以△AOC是等边三角形，

所以O4=AC=2百，ZAOC=60°,

b,,，八，60x7x262G

所以AC的长为——二*?

1803

8.（2021•娄底）如图（2）,边长为的等边AABC的内切圆的半径为（）

A.IB.&C.2D.2#）

【答案解析】A

【试题解答】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中,从而

解得.

如图(2—1),设D为。0与AC的切点，连接0A和OD,

•••等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的

.,.ODXAC,ZOAD=30°,OD即为圆的半径.

又，：AC=2瓜

：.AD=-AC=-X2V3=>/3

22

...在直角三角形OAD中,

ODODy/j

tanNCMD=tan30°=

而一耳一彳

代入解得：OD=1.

故答案为1.

1.(2021•潍坊)如图已知/AO8,按照以下步骤作图：

①以点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交NAOB的两边于C,。两点，连接CZ).

②分别以点C,。为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在240B内交于点E,连接C£DE.

③连接OE交CD于点M.

下列结论中错误的是()

A.ZCEO=ZDEOB.CM=MD

C.OCD—ECDD.S—CD,OE

2

【答案解析】C

【试题解答】由作图可知OC=OD,CE=DE,OE=OE,所以△OCE丝0£>E,:.NCE8NDEO,选项A正确,

根据“三线合一”可知，CM=MD,CDLOE,所以选项B、D正确；选项C错误：故选C.

2.（2021•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分

角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转

动。C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若NBDE=75°,则NCDE的度数是

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案解析】D

【试题解答】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE,所以NO=NCDO,ZDCE=Z

CED,所以NDCE=2NO,NEDB=3NO=75°,所以NO=25°,ZCED=ZECD=50°,所以NCDE=180°-

NCED-NECD=180°-50°-50°=80°,故选D.

3.（2021,重庆A卷）如图所示，在△ABC中，。是AC边上的中点，连结把△BOC'沿8。翻折,

得到△8OC,OC'与AB交于点E,连结AC',若4D=AC'=2,8。=3,则点。到BC'的距离为（）

3石3而

------B.--------C.77D.V13

【答案解析】B

【试题解答】如答图，过点。作。MLBC'丁点过点8作OC于点N,由翻折可知。C=OC=AO

=2,ZBDC=ZBDC."：AI)=AC=2,.*.△ADC'是等边三角形，从而ZAOC'=N8OC=N8DC=

*八।13

60°.在RtABDN中，DN=-BD=—.

力「S隆=gDC・BN=；BC-DM,：.=也患=[^=耳.故选B.

4.（2021•聊城）如图在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重

合，且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角

边与AB,AC分别交于点E,F时，下列结论中错误的是

A.AE+AF=ACB.ZBEO+ZOFC=180°

C.OE+OF=—BCD.S四边形AEOF=—SAABC

2

【答案解析】c

【试题解答】连接AO,易得△AEOg/\CFO,・・・AE+AF=CF+AF=AC,故A正确；ZBEO+ZOFC=ZBEO+

ZAEO=180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化，故C错误；S网边形AEOF=SZ\AEO+SAAFO

=SZSCFO+SAAFO=:—SAABC,故DIE确；故选C.

2

E

BO

6.

7.

10.

二、填空题

14.（2021•绍兴）如图所示，在直线AP上方有一个正方形ABCD,ZPAD=30°,以点B为圆心，AB

为半径作弧，与AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E,连结ED,

则NADE的度数为.

【答案解析】15。或45。

【试题解答】因为NPAD=30。，以点B为圆心,AB为半径作弧，与AP交于点A,M,而NBAM=60。,

所以△BAM是等边三角形；又以点A,M为圆心,AM氏为半径作弧，交点布■两个E或B有两种情况:①由

题意AAME是等边三角形，所以NEAM=60。,所以/DAE=30°+120°=150°,又AD=AM=AE,所以

ZADE=ZAED=-(180°-150°)=15°；②点E与B重合，所以NADB(E)=45°.

2

c

14.（2021常德）如图所示，ZVIBC是等腰三角形，AB=AC,ZBAC=45°,点。在AC边上，将△4BZ）

绕点A逆时针旋转45°得到△AC。'，且点£>'、D、B三点在同一直线上，则/ABO的度数是.

【答案解析】22.5。

【试题解答】根据题意可知△ABO四△AC。'，NBAC=NCAD'=45°,A。'=A£>,/.ZADDZADD=

1800-45°

=67.5°,'：D\D、8三点在同一直线上，AZ.ABD=ZADDZBAC=22.5°.

2

1.（2021•怀化）若等腰三角形的一个底角为72。，则这个等腰三角形的顶角为.

【答案解析】36。.

【试题解答】解：•••等腰三角形的一个底角为72°,

这个等腰三角形的顶角为180o-72°x2=36°.

故答案为36°.

2.

3.

4.

6.

7.

8.

三、解答题

19.（2021浙江省杭州市，19,8分）（本题满分8分）

如图在ZXABC中，AC<AB<BC.

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证：/APC=2NB.

⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q,连接AQ.若NAQC=3NB,求/B的度

数.

【解题过程】（1）证明：•.•线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,

.,.PA=PB,.-.ZB=ZBAP,

VZAPC=ZB+ZBAP,.,.ZAPC=2ZB；

（2）根据题意可知BA=BQ,/.ZBAQ=ZBQA,

VZAQC=3ZB,ZAQC=ZB+ZBAQ,/.ZBQA=2ZB,

VZBAQ+ZBQA+ZB=180°,.•.5/B=180°,/.ZB=36°.

25.（2021江苏盐城卷，25,10）

如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（I）将矩形纸片沿。尸折叠，使点A落在CO边上点E处，如图②；

（II）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点8落在边CD上点及处，如图③，两次折痕

交于点O;

（III）展开纸片，分别连接08、OE、OC、尸。，如图④

【探究】（1）证明：△O8C丝ZXOE。；

（2）若A8=8,设BC为x,OB?为y,求y关于x的关系式.

图①图②图③图④

【解题过程】

解：（1）由折叠可知2C=AD=Af=DE.：CB=CB；

由两次折叠可知N3cO=N0CO=/O£）E=45°,是等腰直角三角形，OC=OD

：.AOBC^AOED

（2）如图所示，过O向8c做ON1BC于N,则ZiOCN是等腰直角三角形，

又/OCD是等腰直角三角形，OC=OD

ACD=8,OC=4&ON=CN=4,在直角三角形BON中，

y-（x—4）+4~=x?—8x+32（4<x<8）

B_N

E

D

25.(2021•株洲)四边形ABCD是。O的圆内接四边形，线段AB是6)0的直径，连结AC、BD.点H

是线段BD上的一点，连结AH、CH,且NACH=/CBD,AD=CH,BA的延长线与CD的延长

线相交于点P.

(1)求证：四边形ADCH是平行四边形；

(2)若AC=BC,PB=J?PD,AB+CD=2(V5+1).①求证：z^DHC为等腰直角三角形；②求CH

的长度.

【解题过程】(1);NCBD=NCAD,NACH=NCBD,

，ZCAD=ZACH,

，CH〃AD,

VAD=CH,

四边形ADCH是平行四边形

(2)①...AB是直径，

.,.NADB=NACB=90°,

VCH>7AD,

AZCHD=ZADB=90°,

VAC=BC,

AZCAB=45°,

AZCDB=ZCAB=45°,

.'.△DHC为等腰直角三角形

②•・•四边形ABCD是。。的圆内接四边形，

:.ZPDA=ZPBC,

VZP=ZP,

AAPDA^APBC,

型=吆=也

*•♦PDAD)

•••△DHC和为等腰直角三角形，

:.应=3BC,cm叵CH=CAD,

AB_41BC_rz

...而一及AD-'

；AB+CD=2(6+1)

[V^CD+CD=2(迅+1)

.*.CD=2,

，CH=0

26.(2021•常德)在等腰三角形△ABC中，AB=AC,作CM_LA8交48于点M,BNLAC交AC于点、N.

(1)在图12中，求证：△BMCgZsCNB；

(2)在图13中的线段CB上取一动点尸，过P作交CM于点瓦作PF〃AC交NB于点尸，求证:

PE+PF=BM；

(3)在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE〃AB交CA/的延长线于点E,作

PF//AC交NB的延长线于点F,求证:AM-PF+OM•BN=AM-PE.

图12图13图14

【解题过程】(1)'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,'：CMLAB,BNLAC,；.NBMC=NCNB=90；又；

BC=BC,.*.△BMC丝△CN8；

(2)连接OP,'：PE//\B,PF//AC,:.NBMC=NPEC=90：NCNB=NPFB=9G°,,:S、1soe=S,p

+S,/.-OC•BM=-OB•PF+-OC•PE.,:/\BMC沿ACNB,：.ZOBC=ZOCB,：.OB=OC,：.

rnp222

PE+PF=BM；

(3)同上连接OP,'：S.BOC=Sqp-S.p，：.-OC-BM=-OC-PE--OB•PF,'：OB=OC,：.PE

-PF

=BM.ZBMC=ZANB=()0o,ZBMO=ZNBA,：.—=—,：.OM,BN=BM・AN

BNAN

=(PE-PF)•AN,"：AB=AC,BM=CN,：.AM=AN,：.OM•BN==(PE—PF)•AM,：.

AM•PF+OM-BN

=AM-PE.

1.（2021•重庆A卷）如图所示，在△ABC中，AB=AC,。是BC边上的中点，连结A£>,BE平分N

ABC交AC于点E,过点E作E/〃8c交AB于点F.

（1）若/C=36°,求NBA。的度数；（2）求证:FB=FE.

解：（1）U：AB=AC,

AZB=ZC=36°.

.,.ZBAC=1800-ZB-ZC=108°.

•：AB=ACy。是3。边上的中点，

：.AD平分NB4c.

ZBAD=-ZBAC=54°.

2

(2)证明：:BE平分NA5C,

NABE=NCBE.

■:EF〃BC,

：.ZFEB=ZCBE.

：.ZABE=ZFEB.

：.FB=FE.

2.（2021•重庆B卷）如图所示，在/ABC中，AB=AC,AO_L3C于点Q.

（1）若NC=42。，求NBA。的度数；

（2）若点E在边AB上，EAC交