福建省福州市双安中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

福建省福州市双安中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是A．最小正周期为的偶函数

B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的奇函数参考答案：D2.如图，平面四边形ABCD中，，，点E在对角线AC上，AC=4，AE=1，则的值为A．17 B．13C．5 D．1参考答案：D3.定义在上的函数满足，则的值为

A．1

B．2

C．

D．参考答案：D4.若向区域内投点，则该点落在由与围成区域的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】求得交点坐标后，利用定积分的知识可求得两函数围成区域的面积，根据几何概型概率公式可求得结果.【详解】由解得交点坐标为：由与围成区域的面积为：又区域的面积为：所求概率：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率问题的求解，涉及到利用定积分求解曲边图形的面积.5.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知α，β是锐角，且，若，则=

（

）

A．2

B．1

C．

D．参考答案：B7.若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是

(

)A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：B9.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为正偶数时，的值是

（

）A．1

B．2

C．5

D．3或11参考答案：D略10.设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（是自然对数的底数），则的值等于(

)

A.

1

B．

C．3

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜0，x∈R}，则A∩B=．参考答案：?【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由集合A中的不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即A=（﹣∞，0）∪（2，+∞）；由集合B中的不等式，根据绝对值的意义得：x∈?，即B=?，所以A∩B=?．故答案为：?．【点评】本题考查了不等式的解法以及交集的运算问题，熟练掌握交集的定义是解题的关键．12.在三棱锥S-ABC中，，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是．参考答案：解：如图所示，取的中点，连接，．设为的中心，为三棱锥外接球的球心．连接，，．取的中点，连接．则为棱锥外接球的半径．为矩形．．三棱锥外接球的表面积．故答案为：．13.命题“”的否定为

▲

参考答案：，略14.如图①，有一条长度为2的铁丝AB，先将铁丝围成一个圆，使其两端点A、B恰好重合（如图②），再把这个圆放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），圆心为C（0，2），铁丝AB上有一动点M，且图①中线段|AM|=m，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，图③中线段AM所在直线与x轴交点为N（n,0），当，n等于

；当时，则图③中线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是

.参考答案：0

,15.在三棱锥D-ABC中，,，则三棱锥D-ABC外接球的表面积为__________．参考答案：6π.【分析】根据所给数据可得垂直关系，结合模型可求外接球的表面积.【详解】因为，；所以,所以三棱锥的外接球就是以分别为长宽高的长方体的外接球，故其对角线就是外接球的直径，设外接球的半径为，则,即，故外接球的面积为.【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，借助长方体这个模型可以简化求解过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.16.已知函数，．若?x1∈[1，2]，?x2∈[﹣1，1]使f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】函数恒成立问题．

【专题】函数的性质及应用．【分析】对?x1∈[1，2]，?x2∈[﹣1，1]使f（x1）≥g（x2），等价于f（x）min≥g（x）min，于是问题转化为求函数f（x），g（x）的最小值问题．解：当x∈[1，2]时，f（x）==≥3=3，当且仅当即x=1时取等号，所以f（x）min=3．g（x）=﹣m在[﹣1，1]上单调递减，所以，对?x1∈[1，2]，?x2∈[﹣1，1]使f（x1）≥g（x2），等价于f（x）min≥g（x）min，即3≥﹣m，解得m≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，解决的常用方法是转化为函数的最值问题进行处理．17.过点且方向向量为的直线交双曲线于两点，记原点为，的面积为，则____

____．参考答案：

消去整理可得,设,由韦达定理可得.,原点到直线距离.所以.考点：1直线与圆锥曲线的位置关系;2极限.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：略19.（本小题满分16分）设t＞0，已知函数f(x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－恒成立，求t的最大值；（Ⅲ）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．参考答案：解：（Ⅰ）f′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞或x＜0时，f′(x)＞0，所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f(x)的单调增区间；当0＜x＜时，f′(x)＜0，所以(0，)为函数f(x)的单调减区间．

4分（Ⅱ）因为k＝3x02－2tx0≥－恒成立，所以2t≤3x0＋恒成立，

6分因为x0∈（0，1]，所以3x0＋≥2＝，即3x0＋≥，当且仅当x0＝时取等号．所以2t≤，即t的最大值为．

8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，函数f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝处取得极小值－．因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，所以直线l的方程为y＝－．

10分令f(x)＝－，所以x2(x－t)＝－，解得x＝或x＝－．所以C（，－），D（－，－）．

12分因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．AD＝，且AD＝AB＝t，所以＝t，解得：t＝．16分20.如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m2）．（1）用x的代数式表示AM；（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的定义域及其求法．专题：计算题；综合题．分析：（1）在△AMN中利用比例关系即可表示AM；（2）由（1），根据勾股定理用x表示MN，再由MN：NE=16：9，可以用x表示NE，即能表示面积S，结合x为边长求定义域即可；（3）根据（2），求出函数的导函数，利用函数的导数求函数在给定区间上的最小值即可．解答：解：（1）依题意，（10≤x≤30）；（2分）（2）．（4分）∵MN：NE=16：9，∴．∴．（6分）定义域为[10，30]．（8分）（3）=，（11分）令S′=0，得x=0（舍），．（13分）当时，S′＜0，S关于x为减函数；当时，S′＞0，S关于x为增函数；∴当时，S取得最小值．（15分）答：当AN长为m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小．（16分）点评：本题考查用数学知识解决实际应用题的能力，主要考查构建函数模型，函数的定义域，以及用函数的导数研究函数最值，是中档题．21.已知m=（2cos（x+），cosx），n=（cosx，2sin（x+）），且函数f（x）=?+1（1）设方程f（x）﹣1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求f（x1+x2）的值；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）在[﹣，]上的单调增区间．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可得f（x）=cos（2x+）+2，由题意解得cos（2x+）=﹣，结合范围x∈（0，π），解得x1，x2的值，即可得解．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=cos（2x+）+4，由2k≤2x+≤2k即可解得函数g（x）在[﹣，]上的单调增区间．【解答】解：（1）f（x）=?+1=2cos（x+）cosx+cosx2sin（x+）+1=﹣2sinxcosx+2cosxcosx+1=﹣sin2x+1+cos2x+1=cos（2x+）+2，…而f（x）﹣1=0，得：cos（2x+）=﹣，而x∈（0，π），得：或，所以f（x1+x2）=f（）=cos（+）+2=3．…（2）f（x）=cos（2x+）+2左移个单位得f（x）=cos（2x+）+2，再上移2个单位得g（x）=cos（2x+）+4，…则g（x）的单调递增区间：2k≤2x+≤2k，所以﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，而x∈[﹣，]，得：f（x）在x∈[﹣，﹣]和x∈[，]上递增…【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应