高中数学第1章空间向量与立体几何1.1.2空间向量的数量积运算训练提升新人教版选修1

1.1.2空间向量的数量积运算课后·训练提升基础巩固1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:a·b=|a||b|⇒cos<a,b>=1⇒<a,b>=0°,即a与b共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=2,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案:B解析:由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,所以cos<a,b>=a·又0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.3.已知四面体ABCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则EF·AC等于(A.-12 B.1C.-52 D.答案:D解析:由题意知EF=因为AB·AC=|AB|·|AC|cos<AB,AC>=2,BC·AC=|BC|·|AC|cos<BC,AC>=2,CD·AC=|CD|·|AC|cos<CD,AC>=-2,所以EF·AC=14.已知A,B,C,D是空间中不共面的四点,若(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案:B解析:∵(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(DB-DA+DC-DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,关于下列四个结论,正确的是()A.(AA1+AD+B.A1C·(A1C.AD1与D.正方体的体积为|AB·答案:AB解析:如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1DA1C·(A1B1-A1AAD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而D1C与D1A的夹角为60°,故AD1与A16.已知空间向量a,b,|a|=32,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),<a,b>=135°,若m⊥n,则λ的值为.

答案:-3解析:由题意知a·b=|a||b|cos<a,b>=32×5×-22=-15.由m⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-7.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|BC-EF|=,EF与AC答案:3解析:因为EF=12BD,BD·BC=所以|BC-EF|2=BC-12BD2=|BC|2-BC·BD+14|所以|BC-EF|=因为EF=所以AC·EF=12AC·(AD-又<EF,AC>∈[0,π],所以<EF,8.已知空间向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,则a+b在a上的投影向量为.

答案:59解析:∵(a-2b)·(a+b)=5,∴|a|2-a·b-2|b|2=5,∴a·b=-4.∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=|a∴cos<a,a+b>=a·∴a+b在a上的投影向量为|a+b|cos<a,a+b>·a|a|=59.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面ABB1A1的中心,F为A1D1的中点.试计算:(1)BC·(2)BF·(3)EF·解:设AB=a,AD=b,AA1=则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)∵ED1=EA1+A1D1∴BC·ED1=b·12c-(2)∵BF=BB1+B1A1+A1F=∴BF·AB1=c-a+12b(a+c(3)∵EF=EA1+A1FFC1=F∴EF·FC1=12c-12a+10.如图,在四面体OACB中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAB≌△OAC,所以∠AOB=∠AOC.所以OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·OC-OA·OB=|OA||OC|cos∠AOC-|OA||OB|能力提升1.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则这两条异面直线所成的角为(A.30° B.60° C.120° D.150°答案:B2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为()A.5 B.22C.14 D.17答案:A解析:∵A1C=∴|A1C|2=(-AA1+AB+AD)2=|AA1|2+|AB|2+|AD|2-2AA1·AB-2AA1·AD+2AB·AD=9+1+1∴|A1C|=3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=2,则BA1在ACA.-22 B.-2C.-12 D.-答案:D解析:∵BA且BA·BC∴BA1·AC=-又|AC|=2,|BA1|=∴cos<BA1,AC>=∴BA1在AC上的投影向量为|BA1|cos<BA14.如图,直二面角α-AB-β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为.

答案:229解析:由题意可知,CA⊥AB,AB⊥BD,CA⊥BD,|CA则|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2故|CD|=229,即CD的长为229.5.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若CF上有一点N,使MN⊥AE,则CNCF=.答案:1解析:设CNCF=m.∵AE=AB∴AE·MN=(AB+BE)·12BC+mAD=1∴m=1166.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG·(OA+OB+OC)答案:14解析:由已知得OA·OB=如图,取BC的中点D,连接OD,AD,则AD经过点G,且AG=23AD,所以OG=OA+AG=OA所以OG·(OA+OB+OC)=13(OA+OB+OC)2=13(|OA|2+|OB|2+|OC|27.如图,在四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,求证:EF⊥AD,且EF⊥BC.证明:∵F是BC的中点,∴AF=1又E是AD的中点,∴AE=∴EF=AF-AE=∵|AC|=|BD|=|AD-AB∴AC2=AD2同理AB2=AD2∴2AD2-2AD·AB-2即(AB+AC-AD)·∴EF·AD=12∴EF⊥AD.同理∴EF⊥AD,且EF⊥BC.8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=π3,AC1=26(1)求侧棱AA1的长;(2)若M,N分别为D1C1,C1B1的中点,求AC1·M