用空间向量研究距离夹角问题6题型分类（原卷版）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类一、空间向量研究距离问题1．点P到直线l的距离:已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)(如图)．2．点P到平面α的距离:设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．二、空间向量研究夹角问题两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．2．空间角的向量法解法角的分类向量求法范围线线角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))线面角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))面面角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))（一）点到直线的距离1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤：(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.题型1：利用空间向量求点到直线的距离1-1．（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（

）．A． B．1 C． D．1-2．（2023秋·天津·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．1-3．（2023春·高二课时练习）已知向量和直线l垂直，且在由直线l与点确定的平面内，点在直线l上，则点到直线l的距离为.1-4．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．1-5．（2023秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.

(1)求证:平面ABCD;(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.（二）点到平面的距离与直线到平面的距离1、用向量法求点面距的步骤：(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(eq\o(AP,\s\up6(→))，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．(4)求距离d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).2、求点到平面的距离的主要方法：(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.(3)向量法:d=|n·MA||n|(n题型2：利用空间向量求点到平面的距离2-1．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：

(1)直线的一个方向向量；(2)点到平面的距离．2-2．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图，在三棱柱中，平面，，点为中点.

(1)求证：平面；(2)求点到直线的距离.2-3．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离．2-4．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为.2-5．（2023春·江西·高二赣州市第四中学校考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．2-6．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（

）A．5 B．8 C． D．2-7．（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．(1)求点到平面的距离为；(2)求到平面的距离．2-8．（2023·全国·高三专题练习）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是．2-9．（2023春·高二课时练习）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.2-10．（2023秋·江苏·高二专题练习）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点．（1）求平面和平面夹角的余弦值；（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由．（三）两条异面直线所成的角1、求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))可分别为a，b的方向向量，则cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|).注：用空间向量求两条直线l1，l2夹角(1)化为向量问题：转化为求两直线l1，l2的方向向量u,(2)进行向量运算：计算cos(3)回到图形问题：两条直线l1,l2夹角题型3：利用空间向量求异面直线的夹角3-1．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

(1)求证：平面；(2)若，求与所成角的余弦值.3-2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点．

(1)求与所成角的余弦值；(2)求证：平面.3-3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知直三棱柱，各棱长均为，为的中点，为的中点．(1)求直三棱柱的体积；(2)求证：平面；(3)求异面直线与所成角的余弦值．3-4．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面，，.

(1)证明：平面平面；(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.3-5．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．（四）直线与平面所成的角利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量u；(3)求平面的法向量n；(4)设线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).题型4：利用空间向量求直线与平面所成的角4-1．（2024·江西·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

(1)证明：；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.4-2．（2023·四川·校联考一模）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，，

(1)证明：；(2)求与平面所成的角的正弦值．4-3．（2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面，，，，、分别为棱、的中点，，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.4-4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．4-5．（2023春·江西九江·高二校考期末）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.4-6．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.

(1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.4-7．（2023·江苏·高二专题练习）如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.

(1)若,求证:平面;(2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.4-8．（江西省新余市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.（五）两个平面的夹角求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时.))注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.题型5：利用空间向量求二面角5-1．（2023春·北京海淀·高二清华附中校考期末）四棱锥中，平面，，，，．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．5-2．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.5-3．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，.

(1)证明：.(2)求二面角的余弦值.5-4．（2023秋·湖南·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥中，，，，E为PC的中点.

(1)求证：平面PAD；(2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.5-5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．5-6．（2023秋·天津河西·高二天津实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面,点为棱的中点．

(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．5-7．（2023秋·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.

(1)取的中点N，求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值.(3)在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由.题型6：利用空间向量求两个平面的夹角6-1．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.6-2．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点.

(1)求证：平面平面；(2)若平面，，求平面与平面夹角的余弦值.6-3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，.

(1)证明：平面BCD.(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.6-4．（2023秋·云南保山·高三统考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点，平面.

(1)求证：平面；(2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为；若___________，求平面与平面夹角的余弦值.6-5．（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）如图，在长方体中，点，分别在棱上，且，．

(1)证明：；(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．6-6．（2023春·云南昆明·高二统考期末）如图，三棱柱中，是的中点，平面.

(1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.6-7．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．

(1)求证：平面；(2)若平面与平面的夹角为，求点F到平面的距离．6-8．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图，在四棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；(2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.一、单选题1．（2023秋·北京·高三统考开学考试）棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（

）

A． B．1 C． D．2．（2023秋·甘肃武威·高二校联考期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量是，则平面与所成的角等于（）A． B． C． D．3．（2023秋·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，则平面与平面所成的角为（）

A． B． C． D．4．（2023秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（

）

A．1 B． C． D．25．（2023秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．6．（2023秋·新疆·高二校联考期末）如图，在直三棱柱中，，，，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．7．（2023春·高二单元测试）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（

）A．30° B．45°C．60° D．75°8．（2023春·广东深圳·高二校考期中）若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．9．（2023秋·浙江温州·高二校联考期中）已知，则点O到平面ABC的距离是（

）A． B． C． D．二、多选题10．（2023秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则（

）

A．直线与平面所成角的正弦值为B．直线与夹角的余弦值C．直线与夹角的余弦值D．直线与夹角的余弦值为11．（2023秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，正方体的棱长为2，为线段中点，为线段中点，则（

）

A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为2C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为12．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则（

）

A．//平面B．C．直线与平面所成角的正弦值为D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题13．（2023秋·浙江·高二校联考期中）已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为．14．（2023·全国·高二专题练习）已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则平面与平