2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷5详细解析_第1页
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2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷5详细解析1．．解：由题意得：，．故2．．解：由题意得，．故数列是以为首项，为公比的等比数列．从而，．故．3．6．解：令，则．令，，，则．所以为奇函数．故也为奇函数．因此，．4．．解：比较以下三种情形下的线段EF的长度：分别将以下三个二面角展成平面，利用余弦定理计算即可．5．．解：因为，所以．从而，．故原式．6．2016．解：一方面，．另一方面，当时，．所以当时，．又，，从而．故．7．．解：设，（不妨），椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2n，．则，，．故，所以．于是，．所以．当，且，即，时，．8．．解：注意到，一个正整数被11整除当且仅当其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除．记七位数为．则满足题意的七位数共有个．又．而．故只能是，即：．于是，分组只能是：和，和，和，和．和共四种情形．每种情形可以组成个被11整除的七位数．故所求的概率为．9．解法一：易得：，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．（1）当，2时，易知均成立；（2）假设成立，则，且满足 ①当时，由①得因为时，，所以．又，所以．又，所以．故，即时，成立．由（1），（2）知，对任意，．解法二：易得：，，，猜想：..下面用数学归纳法证明（1）当，2时，易知均成立；（2）假设成立，则，且满足 ①当时，由①得 ． ①即 ． ②由②左式，得，即，因为两端为整数，则 于是． ③又由②右式，．则．因为两端为正整数，则，所以．又因时，为正整数，则 ． ④据③④得，，即时，成立．由（1），（2）知，对任意，．10．解法一：（1）在△PAB中，，即，，即（常数），点P的轨迹C是以A、B为焦点，实轴长的双曲线，方程为：．（2）设，①当MN垂直于x轴时，MN的方程为，和在双曲线上．即，因为，所以．②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为．由，得：，由于该方程有两个不同的解，故，所以，．于是，．因为，且M、N在双曲线右支上，所以．由①②知，．解法二：（1）同解法一（2）设，，MN的中点为①当时，，因为．所以；②当时，．又所以；由得，第二定义得所以．于是由得．因为，所以，又，解得：由①②知．11．（1）当时，．则 令，结合，解得．故在单调递增，同理在单调递减．所以时，单调递增区间为，单调递减区间为．（2）对任意给定的，因 ，若令，则． ①则 ． ②先证：因为，，．又由，从而．所以 再证：：由①、②的关于x、a、b的对称性，不妨设，则，1°当，则，从而，，．所以．2°若，由

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