数学人教A版（2023）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共24张ppt）

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1.2空间向量基本定理

第一章空间向量与立体几何

人教A版2023选修第一册

学习目标

1.了解空间向量基本定理及其意义；

2.掌握空间向量的正交分解；

3.能够用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。

01复习回顾

PARTONE

复习回顾

（1）向量共线

对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

（2）向量共面

三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.

思考：这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？

情景导入

02空间向量基本定理

PARTONE

空间向量基本定理

观察右图并回答以下问题，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.

问题1：e1，e2，e3共面吗？

不共面

问题2：试用e1，e2，e3表示

问题3：若，M为A1B1的中点试用e1，e2，e3表示

空间向量基本定理

因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p=xi+。

如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+，

而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+.从而，=+=xi+.

我们称xi,分别为向量p在上的分向量。

空间向量基本定理

如果三个向量,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x+yb+zc.

空间向量基本定理

基底

我们把定理中的叫做空间的一个基底,,b,c都叫做基向量.

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

空间向量基本定理

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,

使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

单位正交基底

空间向量基本定理

思考1：基底中能否有零向量？

不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.

思考2：空间向量的基底唯一吗？

不唯一，只要三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底。

思考3：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？

基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同.

空间向量基本定理

思考4：基底与基向量的概念有什么不同？

一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.

二者是相关联的不同概念.

平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，

在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，

因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．

思考5：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？

03空间向量基本定理的应用

PARTONE

基底的辨析

1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.

(1)空间向量的基底是唯一的.()

(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.()

(3)已知A,B,M,N是空间四点,若,,不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.()

(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.()

×

√

√

√

基底的辨析

2.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()

A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c

解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．

答案：D

基底的辨析

3.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3＝－3e1＋e2＋2e3，

＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底

基底的辨析

判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．

方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．

②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．

方法总结

4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

C

基底的辨析

用基底表示向量

1.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________.

解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.

－a＋b－c

用基底表示向量时，

若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平