数列通项公式的求法

数列通项公式的求法之不动点法一、 内容分析本节课是高三年级针对数列求通项公式的复习课，主要讲解运用不动点法灵活求解数列的通项公式，纵观每年高考试题，无论在选择题还是大题中数列求通项公式都是必考内容，所占的分值也很高，所以熟练掌握求数列通项公式的方法是非常重要的。二、 学情分析上一节课学生已经系统的学习数列求通项公式的七种方式（公式法、叠加法、叠乘法、待定系数法、迭代法、对数变换法、数学归纳法、换元法）通过学习这些方法，大部分学生能够求解常规数列的通项公式，但是对于复杂一点的数列的求解还是存在一定困难，所以本节课更深入地讲解运用不定点法求解数列通项公式，让学生更加深入、系统地掌握求解数列通项公式的方法和技巧。三、 教学目标1、 知识与技能（1） 知道什么是不动点；（2） 掌握运用不动点求解数列的通项公式的方法；（3） 明白运用不动点法求解数列通项公式的条件。2、 过程和方法（1） 通过分析类比，引入不动点的概念及运用不动点法如何构造数列;（2） 通过教师的演算分析，运用不动点法构造数列的一般步骤；（3） 通过使学生合作思考，以不断尝试错误的方式自己归纳总结运用不动点法求解的限制条件。3、 情感态度和价值观通过本节课的学生使学生感受运用不动点法求解数列通项公式的便捷性和灵活性，同时在归纳分析的过程中使学生形成化归、类比的数学意识，养成严谨的逻辑思维习惯。四、 教学重难点1、 教学重点（1） 明白什么是不动点；（2） 熟练掌握不动点法求解数列的通项公式及使用条件。2、 教学难点（1） 灵活运用不动点法快速求解数列的通项公式；（2） 针对不同的数列灵活选择其求解方法。五、 教学策略与方法分析类比法、尝试错误法、归纳总结法、合作探究法、讲解演算法六、 教学过程教学时间教师活动学生活动设计意图（一）分析类比，讲授新课大家首先回顾一下上节课我们学习了求解数列通项公式的七种方法，分别是哪些？回答：公式法、叠加法、叠乘法、待定系数法、迭代学生思考在之前已学知识的基础上，通过类比

法、对数变换法、数学归纳法、换兀法。然而这些方法并不能求解所有的数列，有的数列上述7种方法便无能为力了。大家首先来看看这个思考题：%思考题：求下列递推式的通项公式｛a」，其中a1=31、L=3aniT2、a=%”1—4a-2a-2 n2a-13、上=二+24、a=7a二a-1a-15 n2a+3观察第1题，我们可以看出是数列|官11以3为[a—2Jn公比的等比数列。运用上节课所学知识我们可以快速算出该数列的通项公式：土^1=2•3n-1从而得出：a—2a=]23(n=1,2,3, )，大豕尝试做做第2题。事实上匕z!=3%^1中，把a看作已知数，a—2a—2 n—1把an当作未知数将a从上式中解出/曰 5a—4^|^得 a n—1n—1恰好与第2题的递推公式相同。教师总结：第1、2题其实是同式子的不同变形。再看看第3、4题。、，，一一， •一.一•2 ,，、， 1 ,观察第3题，我们可以看出是以为公差， 为5 a-1首项的等差数列。然而，第3题通过变换也可以得出第4题的式子。回答：公式法、叠加法、叠乘法、待定系数法、迭代法、对数变换法、数学归纳法、换元法师生共同求解。学生计算练习。学生回答分析让学生明白要解决这样的问题无法用以前学习的知识，必须寻求新的方法，从而激发学生的求知欲，同时为引入新课作铺垫。(二)什么是不动点那么我们如何才能将第2题的式子变成第1题的形式，也就是对于形如a=aan1+b的递推公式求通nca+d项公式需要我们先构造成等比数列或等差数列，再利用等比数列或等差数列的相关定义及公式进行求解。现在我们将介绍一种构造等比数列和等差数列学生认真听课在前面的铺垫下，以定义的形式直接说明，并以具体的实例辅助练习，让

的新方法----不动点法不动点定义：被函数y=f(x)映射到其自身的一个点；即函数上x=y的点，可由x=f(x)解出。例如：求广(x)=竺二4的不动点。2x-1教师讲解求解过程。学生认真听课、积极演算学生更清晰的掌握不动点的算法。(三)巧用不动点求解数列的通项公式那么如何利用不动点法来求数列的通项公式呢？讲解运用不动点法求解形如a=籍1+"的nca+d通项公式的步骤。令f(x)=竺兰=x，并解出方程的根cx+d即为不动点X1=p，x2=p2；构造数列a、当p丰p时，a-—I——可以构造为如下1 2 nca+dn-1形式：aa+ba-p ca+d 1a—p aa,,]+bn ca+d 2n—1化解后得一个等比数列|n♦|的递推公Ia—pJn 2式：a-pk。-pa—p a—pn2 n—1 2由此可求出a—pa—p—n1=1kn—1a—pa—pn 2 1 2最后解出a”即求得a”的通项公式。认真听讲学生独立练习题目考虑到课堂时间紧凑，这里对于该算法的证明省略，直接深入浅出的简单介绍运用不动点求解数列通项公式的步骤。掌握在不同情况下的求解方法。通过练习题目既锻炼学生举

…一- 5a—4例1、已知：a=2n1——i,a=3,求数列｛。｝的通项公式。nb、当p=p=p时，a=―n-i可以构造为如12 nca+d下形式：a-p=a"b-pn ca+d求倒数化解后得一个等差数列| 1的递推〔a-pJn公式：117 = +ha-pa-p由此可求出-^―=—^+(n-1)ha-pa-p最后解出a.即求得a.的通项公式。例2、已知：a= ，a=3，n2a+3 1求｛a｝通项公式。n^认真听讲学生练习，并学会举一反三一反三的能力，又及时巩固所学知识。(四)尝试练习，分析限制条件思考题：求下列递推式的通项公式｛a｝n1、 a=2n-1——1(a=1或a=2)n-12、a= ———(a=1)n2a+31n-1教师总结：当a1=f(a1)时，数列为常数列，此时不宜使用该方法。学生尝试用所学的知识小组合作的方式完成题目。并讨论总结不动点法求解的条件。层层递进，通过让学生思考课后练习，发现不动点法使用的条件，并通过讨论练习，更能加深学生的记忆，培养学生独立解决问题的能

力。（五）课堂小结运用不动点法求数列的通项公式的限制条件是：a1。f（a1）步骤：（1） 求不动点（2） 构造数列3、当p。p时a=―I可以构造为：1 2 nca+daa+ba