历年高中数学联赛真题分类汇编57概率统计

1/5历年高中数学联赛真题分类汇编专题57概率统计第二缉1．【2017年内蒙古预赛】在1,2,3,⋯,9这9个自然数中,任取3个数.记x为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取3个数为1,2,【答案】2【解析】提示：做出如下分布列x012p(x)35427所以Ex=2．【2016年安徽预赛】等可能地随机产生一个正整数x∈{1,2,⋯,2016}.则x在二进制下的各位数字之和不超过8的概率为________.【答案】655【解析】设x∈{1，2，…，2016}的二进制表示为x10x9特别地，2016的二进制表示为111111000002接下来考虑满足i=010p=i=010x如此x的个数为p≤5q≥9−p从而，二进制下的各位数字之和不超过8的x的个数为2016−51=1965．因此，所求概率196520163．【2016年全国】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为________.【答案】9【解析】一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而，a<b≤5+5=10.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为C3又此时b>a=2，即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有C7因此，所求的概率为3×18C4．【2016年新疆预赛】在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为______.【答案】1【解析】设△ABC是半径为1的圆的任一内接三角形，且∠A、∠B所对的弧长分别为x、y.则对于△ABC，有0<x<2该不等式组所表示的区域面积为S1若△ABC为锐角三角形，则0<x<该不等式组所表示的区域面积为S2从而，所求的概率为S25．【2016年江苏预赛】若小张每天的睡眠时间在6∼9小时之间随机均匀分布，则小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时的概率为__________．【答案】7【解析】设小张连续两天睡眠的时间分别为x、yx,y∈6,9将可能出现的事件记作x,y，其对应坐标平面中正方形ABCD的边及其内的点．小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时，即x+y≥14，因此，所求事件的概率为1−S6．【2016年湖南预赛】在一个均有小正方体的六个面中，三个面上标数字0，两个面上标数字1，一个面上标数字2.将该小正方体抛掷两次，则朝上的数之积的数学期望为______.【答案】49【解析】解：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，P(ξ=0)=7．【2016年湖北预赛】袋子中有五个白球、四个红球和三个黄球，从中任意取出四个球，各种颜色的球均有的概率_______.【答案】6【解析】取出的球有三种可能：两白一红一黄，一白两红一黄，一白一红两黄.故所求概率为P=C8．【2016年河南预赛】甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛10次，乙抛11次。则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为___________。【答案】1【解析】设“甲乙各自独立抛10次时，乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多”为事件A.则所求事件的概率为P=PA9．【2016高中数学联赛（第01试）】袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 .【答案】9【解析】符合要求的取法，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而a<b≤5+5=10.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为C32=3.又此时b>a=2，即从B因此，所求的概率为3×18C10．【2015年全国】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______.【答案】2【解析】设正方体为ABCD−EFGH，共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有C12下面考虑使三条棱两两异面的取法数.由于正方体棱共确定三个互不平行的方向（即AB、AD、不妨设取的棱为AB.则AD方向只能取棱EH或FG，共两种可能.当AD方向取棱EH或FG时，综上，三条棱两两异面的取法数为8.故所求概率为822011．【2015年上海预赛】投掷两次色子，设第一次、第二次出现的点数分别a、b．则使得关于x的二次方程x2【答案】1【解析】由已知得Δ=注意到，a、b{1,2由式②得a≤b.进而，由式①得a2当a=5时，b=5或6；当a=6时，b=6.故所求的概率为36×612．【2015年上海预赛】某地区的电话号码由八个数码组成，且首位数码不为零，则电话号码的八个数码均不相同的概率为______（用小数表示）.【答案】0.018144【解析】所求即为913．【2015年陕西预赛】某人抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为12.构造数列an，使an=1,【答案】13【解析】由S2当前两次均有为正面向上时，由S8=2，知后六次中必有三次正面向上、三次反面向上，其概率为当前两次均为反面向上时，由S8=2，知后六次中必有五次正面向上、一次反面向上，其概率为故所求概率为P114．【2015年辽宁预赛】一道数学竞赛题,甲、乙、丙三人单独解出此题的概率分别为1a、1b、【答案】4【解析】注意到,P(恰有一人解出此题)=P(仅甲解出)+P(仅乙解出)+P(仅丙解出)=b−1c−1=7故15|7abc⇒15|abc⇒5|abc⇒5|a不妨设5|a.因为0<a<10,所以,a=5.则式①为bc−b−c+1+4c+4b−4当b=2时,c=3;当b=3时,c=2.因此,a、b、c为故所求即为a−1a15．【2015年江苏预赛】随机抛掷三个大小、质地相同的正方体色子.在三个色子所示数字中最小值是3的概率为_____【答案】37【解析】所有色子所示点数至少是3的概率为46所有色子所示点数至少是4的概率为36故三个色子所示点数最小值恰是3的概率为4616．【2015年河南预赛】一名篮球运动员进行投球练习.若他投进前一球，则投进后一球的概率为23；若他投不进前一球，则投进后的一球概率为13.已知该队员投进第1球的概率为【答案】41【解析】设该队员投进第n−1个球的概率为an−1，投失的概率为则他投进第n个球的概率为an又a从而，a17．【2015高中数学联赛（第01试）】在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 .【答案】2【解析】设正方体为ABCD－EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有C12下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即AB，AD，AE的方向)，具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向，可先取定AB方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能.当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为822018．【2016年陕西预赛】从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.A．319B．119C．3【答案】D【解析】从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有A20若取出的三个数a、b、c成等差数列，则a+c=2b.故a与c的奇偶性相同，且a、c确定后，b随之而定.从而，所求概率为p=219．【2016年天津预赛】掷两次色子,用X记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望EXA．4B．412【答案】B【解析】易知,PX=1PX=2PX=3PX=4PX=5PX=6故EX与4120．【2015年湖南预赛】将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36D．【答案】B【解析】试题分析：根据题意及茎叶图，这个数，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余分数的平均值表示为解得，所以个剩余分数的方差为：，答案为B．21．【2015年黑龙江预赛】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中，a、b∈1,2,⋯,6A．49B．29C．7【答案】A【解析】由古典概型，知共有6×6=36种基本事件，符合a−b≤1（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（2,3），（3,2），（3,3），（3,4），（4,3），（4,4），（4,5），（5,4），（5,5），（5,6），（6,5），（6,6），共有16种。于是，所求概率为163622．【2020年甘肃预赛】某校高二男生体育课上做投篮球游戏,两人一组.每轮游戏中,每小组两人每人投篮两次,投篮命中的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.甲和乙同一小组,甲、乙投篮命中的概率分别为p1(1)若p1=(2)若p1+p2=【答案】(1)23；(2)【解析】(1)记“在第一轮游戏中他们获得优秀小组"为事件A.则P(A)=C2134×14(2)他们在第一轮游戏中获得优秀小组的概率为p=C21=2p=8因为0⩽p113又p1p19令t=p1p2故p=ℎ(t)=−3t2当t=49时,p他们小组在n轮游戏中获优秀小组的次数ξ~B(n,p).由(np)max=16,知故理论上至少要进行27轮游戏,此时,p1+23．【2018年甘肃预赛】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是56,4（1）求男生闯过四关的概率；（2）设ξ表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量ξ的分布列和期望.【答案】（1）13【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）记女生四关都闯过为事件B，则PB详解：（1）记男生四关都闯过为事件A，则PA（2）记女生四关都闯过为事件B，则PB因为PPξ=1Pξ=2Pξ=3Pξ=4所以ξ的分布如下：Eξ点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.24．【2017年甘肃预赛】在一次全省科普知识竞赛中,某市3000名参赛选手的初赛成绩统计如图所示.(1)求t的值,并估计该市选手在本次竞赛中,成绩在[80(2)如果在本次竞赛中该市计划选取1500人人围决赛,那么进人决赛选手的分数应该如何制定?(3)如果用该市参赛选手的成绩情况估计全省参赛选手的成绩情况,现从全省参赛选手中随机抽取4名选手,记成绩在80(含80)分以上的选手人数为ξ,试求ξ【答案】(1)900人；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】(1)依题意,2t+3t+又成绩在[80,90故所求选手人数为3000×(2)要选取1500人入围决赛,就是要求该组数据的中位数:70所以,进入决赛选手的分数应该制定为77.14分.(3)依题意,ξ∼B4,25,所以ξ01234P812162169616故Eξ25．【2017年黑龙江预赛】某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况如下表.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数;(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率;(3)记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数,求ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)甲科室2人，乙科室1人；(2)2【解析】(1)从甲科室应抽取的人数为3×1015(2)设事件A:“从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性”PA(3)ξ的可能取值为0,P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=3)=CP(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=34或P(ξ=2)=C所以ξ的分布列为：ξ0123P422341所以Eξ26．【2016年上海预赛】设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=1,2,···,n)个袋中有k个红球，n-k个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。求第三次取出的为白球的概率。【答案】n−1【解析】设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2).第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:(白，白，白)取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)，(白，红，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，白，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，红,白)取法数为k(k-1)(n-k).从而，第三次取出的是白球的种数为（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）=（n-1）（n-2）（n-k）.则在第h个袋子中第三次取出的是白球的概率为P而选到第k个袋子的概率为1nP=27．【2016年甘肃预赛】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.已知选手甲完成A、B、C三个项目的概率分别为34（1）选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.（2）该活动要求项目A、B各做两次，项目C做三次.若两次项目A均完成，则进行项目B，并获得积分a；两次项目B均完成，则进行项目C，并获积分3a；三次项目C只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用X表示选手甲所获积分的数值，写出X的分布列并求数学期望.【答案】（1）4748【解析】（1）设选手甲对A、B、C三个项目记为事件A、B、C，且相互独立，至少完成一个项目为事件D.则PD（2）X的取值分别0、a、3a、6a.则PX=0PX=aPX=3aPX=6a