历年高中数学联赛真题分类汇编32不等式

1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题32不等式第一缉1．【2021年吉林预赛】已知四个整数a,b,c,d都是偶数，且0<a<b<c<d,d−a=90,若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则a+b+c+d= .【答案】194【解析】由题设知a+c=2b,bd=c2,d−a=90,消去c,d,得即90b=(4b−a)(b−a),因为4b−a≡b−a( mod 6)又因为3b<4b−a<4b,所以22.5<b−a<30,故b−a=24,从而4b−a=154b,即b=4a,从而c=7a,d=494所以a=8, b=32,c=56,d=98,故a+b+c+d=8+32+56+98=1942．【2021年福建预赛】若正实数x，y满足x（x+2y）=9，则x5y的最大值为 .【答案】54【解析】解法一：由题设及平均不等式知：9=x(x+2y)=x12所以,33≥当且仅当12x=2y,即x=所以,最大值为54.解法二：由题意可得y=12所以,x5y=设f(x)=129x40<x<6时,f'(x)>0;6<x<3所以,f(x)在区间(0,6]上单调递增，在区间[所以，x=6时，f(x)有最大值f(6因此,x=6,y=64所以，x5y3．【2021年浙江预赛】设直角坐标平面上两个区域为M=(x,y)∈ℝ2∣0≤y≤min(2x,3−x),N=(x,y)∈ℝ2∣t≤x≤t+2,记Mf(t)的表达式为 .【答案】f(t)=−3【解析】由图可知f(t)=3−t24．【2021年广西预赛】已知xy+yz+zx=1,其中x,y,z均为正数,则3xy+1+3yz+1+3zx+1的整数部分为【答案】4【解析】取x=y=z=335．【2020年福建预赛】已知a、b、c、d为正数,且a+20b=c+20d=2.则1a+1bcd的最小值为【答案】4412【解析】由条件知0<cd=120则1a当且仅当c=20d且20ba=a=b=2时,上式等号成立.故1a+1bcd6．【2020年福建预赛】已知实数m满足当关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有实根时，(a−b)2+(b−c)2+(c−a)【答案】98【解析】设μ=(a−b)2+(b−c)当方程ax2+bx+c=0有实根时,设其两个根为由韦达定理知x1则μ=(a−b)=1−当且仅当x1=x2=−上式等号成立.故μ的最小值为98从而,m的最大值为987．【2020年甘肃预赛】设x、y均为正数.则M=4xx+3y+3yx【答案】3【解析】注意到,M=4x当x=3y时,M=3.8．【2020年吉林预赛】设x、y满足约束条件{x−y−2⩾0,x−5⩽0,y+2⩾0.则z=x2+【答案】36【解析】由约束条件作出可行域,如图1,即△ABC内部及其边界,其中,A(5,3),B(5,−2),C(0,−2).注意到,x2+y2的几何意义是点P(x,y)到坐标原点距离的平方,于是,x2而x2+y2的最小值为:原点到直线x−y−PO2故所求为34+2=36.9．【2020年四川预赛】已知正实数x、y满足1x+3y+12x+y=1.则x+y【答案】3+22【解析】由1=1x+3y+⇒x+y⩾(1+当x=4+2故x+y的最小值为3+22510．【2020年重庆预赛】若x、y为实数,则|2x+y|,|x−y|、|1+y|这三个数中的最大数的最小值为 .【答案】12【解析】max{|2x+y|,|x−y|,|1+y|}⩾1⩾1=12当且仅当x=0,y=−1211．【2020年新疆预赛】不等式1+2x<3x【答案】(1,+∞)【解析】即(13)x+(23)x<1,令f(x)=(1312．【2019年江苏预赛】设a,b∈1,2，则a2+b2【答案】5【解析】因为a,b∈1,2，所以2a−ba−2b≤0，展开得a且当a=1,b=2，或a=2,b=1时，a2所以a2+b13．【2019年江西预赛】a,b,c是互异正整数,使得{a+b,b+c,c+a}=n2,(n+1)2,(n+2)2,其中【答案】1297【解析】设a>b>c,由于(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)为偶数,所以三个连续平方数n2,(n+1)2,(n+2)2中有两个奇平方数,一个偶平方数,于是n若n=3,则n2,(n+1)2,(n+2)2=3另一方面,最大平方数a+b=52,导致若n=5,据n2,(n+1)2,(n+2)2=514．【2019年内蒙古预赛】函数f(x)=16+6x−x2+36x−68−【答案】6【解析】f(x)=(x+2)(8−x)+(x−2)(34−x)由柯西不等式得:f(x)≤(x+2)+(34−x)当x−28−x=34−x15．【2019年上海预赛】若直线ax-by+2=0(a、b>0)与函数y=cx+2+2(c>0,c≠1)的图像均恒过同一个定点,则1a+【答案】5【解析】显然,函数y=cx+2+2据题目条件有：−2a−3b+2=0⇒b=⇒由(a+(1−a))⇒1故其最小值为5216．【2019年上海预赛】已知x、y∈[0,+∞).则x3+y3−5xy【答案】−【解析】设x+y=t由于x3+y又(x+y)2≥4xy,故x3令f(t)=t3-5t2,则f'再令f'(t)=0,可求得t=0或由于x、y∈[0,+∞),于是,不难分析出当t=103时,f(t)取到最小值故当x=y=53时,原式最小值为−17．【2019年新疆预赛】已知x,y,z是正数且满足x+y+xy=8y+z+yz=15z+x+zx=35，则x+y+z+xy= 【答案】15【解析】由x+y+xy=8知x+y+xy+1=9即1+x1+y=9.同理可得(1+y)(1+z)=16(1+z)(1+x)=36. 结合(1)和(2)可得1+x1+y1+z=3×4×6.由(1)和(3)可知z=7.同理可得x=72和y=1.从而18．【2019年北京预赛】整数a,b,c满足a+b+c=2,且S=2a+bc2b+ca2c+ab>200,那么S的最小值是【答案】256【解析】因为a+b+c=2,所以S===a−2因为a+b+c=2,a,b,c是整数,所以a,b,c中至少有一个是偶数,因此S为偶数,且已知S>200,所以S≥162=256.而当a=4,b=0,c=−2时,S=256.所以S19．【2019年广西预赛】已知yz≠0,且集合{2x,3z,xy}也可以表示为{y,2x2,3xz},则x= .【答案】1【解析】显然x≠0①2x=y⇒xy=2②2x=2x③2x=3xz⇒z=2或3z=2x综上,可知x=1.20．【2019年广西预赛】设函数y(x)=(1+x+1−x+2)(1−x2+1)(x∈[0,1]),则【答案】2+【解析】记a=⇒2=原式=(a+b+2)(ab+1)=当a=221．【2019年贵州预赛】平面区域S=(x,y)|x,y∈0,π2,【答案】π【解析】由于2=2−2=⇒cos(x+y)+12由x,y∈0,π2所以x+y≤2π3画出(x,y)的可行域(图中阴影部分),从而求得平面区域的面积为π222．【2018年江苏预赛】设函数f(x)=1−4x【答案】(2,3)【解析】因为f(−x)=1−4−xf(x)=1−4x所以函数f(x)是R上的减函数，（减函数+减函数=减函数）.由f(1−x2)+f(5x−7)<0，得f(5x−7)<f(x2−1)，所以故答案为：(23．【2018年贵州预赛】若实数a使得不等式x−2a+2x−a≥a2【答案】−【解析】设x=ka（k∈R），则ka−2a+即对∀k∈R，恒有k−2+2k−1≥a≤故答案为：−24．【2018年浙江预赛】设f(x)=x+1+x【答案】3【解析】因为f(x)=由ff(x)+1=0得到f(x)=2，或由f(x)=−2，得一个解x=−1；由f(x)=0得两个解x=−3，25．【2018年北京预赛】已知正整数x,y,z满足xyz=22−x22−y22−z，且x+y+z<44,x2【答案】926【解析】由已知可知x,y,z均为小于22的正整数，由题设等式得2xyz=22从而11xyz，所以x,y,z不妨设x=11，由题设等式得y+z=22，由于y,z都是正整数，又y2易知，当y=z=11时，y2+z当y−z=21−1=20时，y所以M+N=563+363=926.26．【2018年重庆预赛】已知复数z的模为1，则|z−4|【答案】17【解析】解：在复平面内，设A(4,0)、问题转化为求|PA|2+|PB||PA=27+10由于α∈R，必存在α使sin故答案为：1727．【2018年陕西预赛】设n是正整数，当n>100时，n2【答案】49【解析】一方面，当n>100时，有0<n+3所以n2另一方面，n2故当n>100时，n228．【2018年湖南预赛】若不等式x>ax+【答案】18【解析】解法一：设x=t，则x=t2，且t∈(2,b)所以2、b是方程2+解得a=1解法二：设y1=x，y设两函数图象的交点为A、B，则A(4,22=4a+3解得a=1故答案为：(1).1829．【2018年湖南预赛】设实数a、b满足不等式||a|−(a+b)|<|a−|a+b||，则a、b的正、负符号分别为_____.【答案】a负,b正【解析】由已知得[|a|−(a+b)]⇒⇒a由于|x|≥x，因此得a<0⇒−(−a)⋅|a+b|<[|a|⋅(a