考研概率全程笔记-

Y123B3.3.1独立性的概念3.3.2独立性的充要条件,及,则X与Y相互独立的充分必要条件为例8.袋中有2个白球，3个黑球，从袋中(1)有放回地；(2)无放回地取二次球，每次取一个，令试问X与Y是否相互独立?YX01P.P容易验证，对一切i,j=1.2有011YX01P.P可见，=R·P₁01P1PabC12abCB12.连续性随机变量的情况又由X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密度为于是P{x+y<1)-P((x,y)eD)其中已求得其边缘概率密度为“充分性”,当p=0“必要性”,如果X,Y时，对一切x,y互独立。独立，于是应有f(μ,μ₂解得p=0设Y在区间(y△y,y)内的概率不为零，即P{y△y<Y≤y}>0,此时条件概率P{X≤x|y△y<Y≤y}便定义1:设对固定的实数y及任意△y>0有P{y△y<Y≤y},如果1#Pi,j=1,2,…如果对固定的j,P{Y=yj}>0,则称下列一组条件概率YX1234100203000试求在条件X=2下，Y的条件分布律。进而有YX12341002030001Y12341201613定义3:设(X,Y)的概率密度为f(x,y),f.(x)与fr(y)分别为关于X和关于Y的边缘概率密度。如果对固定的y.fr(y)>0,则称为在Y=y条件下，X的条件概率密度。如果对固定的x,f,(x)>0则称为在X=x条件下，Y的条件概率密度。通常，若A为数轴上子集，则有求条件概率密度fra(v/x)解：图绘出使f(x,y)>0的区域首先，求出边缘概率密度，当1<x<1时总之，关于Y的边缘概率密度为五二维随机变量函数的分布X9Y67P,P79改写为：PP相加，便得Z=X+Y的分布律为P§3.5.2连续型随机变量的情况利用“分布函数法”求z=g(X,Y)的概率密度，即首先求z的分布函数两边求导便可得到Z的概率密度。由于X与Y独立，于是(X,Y)的概率密度为当z≤0时，显然F²(z)=0对Z求导，使得Z的概率密度例4:(和的分布)设(X,Y)的概率密度为f(x,,y),求Z=X+Y的概率密度。解：首先求Z的分布函数 两边对z求导，便得Z的概率密度特别，当X与Y独立时，有Z=X+Y的概率密度：例1:全班40名同学，其年龄与人数统计例1:全班40名同学，其年龄与人数统计第四章随机变量的数字特征一数学期望∑5589P89P89P若令x表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x的分布律为于是，x取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为5P5∑x₁P₁意义：E(X)表示X取值的(加权)平均值例2:甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1,乙中的环数为X2,已知X1和X2的分布律分问谁的平均中环数高?解：甲的平均中环数为E(X1)=8×0.3+9×乙的平均中环数为E(X2)=8×0.2+9×即甲的平均中环数高于即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。例4:一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2,发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数?X456X4567PX于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由将x=0.8代如上式，便得(次)绝对收敛，则称绝对收敛，则称例7:设风速V是一个随机变量，且v~u[0,a],又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：W=h²这里a,k均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。)- (2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为f(X),且积分绝对收敛，则有例8:已知X的分布律为X102P解：由于X的概率密度为并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大?解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量(单位：吨)Y为国家收益，于是Y是X的函数为但,故E(Y)在a=3500时，E(Y)最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。(1)如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为P{x=xY=y,}=pg3,j=12.…试求E(X)性质1.若c为常数，则性质3.设X,Y为任意两个随机变量，则E(X±Y)=E(X)±E(性质4.如果x,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y) 推广：如果n个随机变量X1.X2.…Xn相互独立，则有则由性质3便可i定义1设X为随机变量，如果E[X-E(x)存在，则称之为X的方差，记为 D(x),即D(X)-[X-B(x)]2E[X-B(x)]-x-B(x)]f(x)x(注意：相加时期望没要求相互独立)-[X-E(x)]²+E[Y-E(r)]²+2E[X-E(x)XY -E(xY)-E(x)E(r)=0.(X,Y独立)例5.设X~B(n,p),求E(X),D(X)i=1,2,…,n且彼此独立干是定理1:设定理1:设X为随机变量，且E(X),D(X)存在，则对任意实数例，且各盏灯开关彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。01qp2.二项分布X～B(n,p)三协方差及相关系数y-声=)例2:甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和Y(单位：百个)已知(X,Y)的分布123P₁P1231如，=1×0.38+2×0.45+3×0.17=1.79+2×3×0.06+3×1×0.03+3×2×0.05+3×3cov(x;Y)=cov(100X,100Y)=cov性质2|pxr|≤1,即-1≤Px≤1X10P多而所以a最后得a最后得讨论如下：)即,亦即 性质1.V为对称阵，即Vij=Vji,一切i,j2.V主对角线之元素为X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,nD(5)-D(X-2Y)-D(X)+D(2Y)-2covD(n)-D(2X-Y)-D(2X)+D(r)-2cov于是定义1.如果n维随机变量(Xi,即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。第五章大数定律及中心极限定理一大数定律则称{Xn}依概率收敛于随机变量X,记为1.切比雪夫大数定律2.贝努里大数定律即二中心极限定理所谓中心极限定理是指一系列定理，研究的是随机变量序列{Xn}的前n项和∑X₁-∑B(x)∑X₁-∑B(x)独立、同分布，近似公式：当近似公式：当n充分大时，有P.a<例1:设有串联电阻网络(见图)每个电阻的阻值为随机变量，它们独立，同分布都服从均匀分布U[90,110](单位：欧姆)§5.2.2.隶莫佛拉普拉斯中心极限定理p(0<p<1),所以另一方面，显然有例2:人寿保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计企业的利润需要计算各种各样事件的概率，以下便是一例：在一年内某种保险者里，0.005,现在有10000人参加此种人寿保险，试求在