第三章时域响应分析

第三章时域响应分析第1页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

第一节引言

时域分析方法是根据系统的微分方程，采用拉氏变换法直接解出系统的时间响应，再根据时间响应来分析系统的稳定性、准确性和快速性能。用时域分析系统性能具有直接、准确、易于接受的特点，是经典控制理论中进行系统性能分析的一种重要方法。第2页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

第二节典型输入信号在时域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号，建立分析比较的基础，这些信号称为控制系统的典型输入信号。因为系统对典型输入信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着一定的关系，所以采用典型输入信号来评价系统的性能是合理的。第3页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析为便于进行理论分析与试验研究，对典型输入信号有如下要求：(1)能够使系统工作在最不利的情况下；(2)形式简单，便于解析分析；(3)在实际中可以实现或近似实现。工程中经常采用的典型输入信号有单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、谐和函数和单位加速度函数等。其数学描述与图形如图3-1所示。第4页，课件共50页，创作于2023年2月第5页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

第三节一阶系统的时域响应控制系统的时间响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应。瞬态响应是指系统从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时间t趋于无穷大时，系统的输出状态。一阶惯性系统是一阶系统的典型代表，其传递函数标准形式是：第6页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域分析法一、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入Xi(t)=1(t)，对其进行拉氏变换得，Xi(S)=1/S，则对上式进行拉氏反变换，得

第7页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

得出如下重要结论：

(1)一阶系统总是稳定的，无振荡；(2)系统响应由两部分组成，稳态响应1(t)和瞬态响应组成,瞬态响应随着时间的增加逐渐衰减为0；(3)经过时间T曲线上升到稳态值的0.632高度。反之，用实验方法测出的时间响应曲线到达稳态值的0.632时所用的时间，即是一阶系统的时间常数T；第8页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析重要结论：(4)经过时间3T-4T，响应曲线已达到稳态值的95%-98%，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间为（3-4）T；(5)在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T;(6)若通过实测某系统单位阶跃响应yo(t)，将[1-yo(t)]标在半对数坐标纸上，如果得出一条直线，则可判定该系统为一阶环节。第9页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

二、一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位斜坡响应.doc当t充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差为T。显然，惯性环节的时间常数越小，则该环节的稳态误差越小。一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线，稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数，即存在跟踪误差，其数值大小也等于T。第10页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

三、一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位斜坡响应.doc

一阶系统的典型输入响应特性与时间常数密切相关，时间常数越小、单位脉冲响应的衰减越快，单位阶跃响应的调整时间越小，单位斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。

例3-1

p79第11页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

第四节二阶系统的瞬态响应分析二阶系统传递函数的标准形式,即：式中，ξ为系统的阻尼比wn为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）

第12页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1、当0<ξ<1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根

系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。(如图a)第13页，课件共50页，创作于2023年2月

第14页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析2、当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。（如图b）3、当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c）4、当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d）分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。第15页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析二、二阶系统的单位阶跃响应1、过阻尼情况。当ξ>1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为第16页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

式中：过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。当系统的输入信号为单位阶跃函数时，第17页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析则系统的输出量为拉氏反变换得：第18页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析响应曲线如图：起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。第19页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析2.欠阻尼情况当0<ξ<1,二阶系统的闭环特征根为Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。第20页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为第21页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析曲线：第22页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部-ξwn的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部wd的大小。第23页，课件共50页，创作于2023年2月第24页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

上图绘出了不同ξ值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，ξ越大，超调量MP%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，ξ越小，振荡性越强，平稳性越差。当ξ＝0时，系统的零阻尼响应为：

等幅振荡曲线，振荡频率为wn.

wn称为无阻尼振荡频率。第25页，课件共50页，创作于2023年2月第三章时域响应分析

另外，若ξ过大，如，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若ξ过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。第26页，课件共50页，创作于2023年2月四、二阶系统的性能指标

控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应——单位阶跃响应确定的，通常以h(t)表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图4-1所示：

第27页，课件共50页，创作于2023年2月第28页，课件共50页，创作于2023年2月1、上升时间tr响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。2、峰值时间tp响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值所需的时间。3、调节时间ts在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取第29页，课件共50页，创作于2023年2月

响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。4、超调量MP%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即第30页，课件共50页，创作于2023年2月

超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。5、振荡次数N在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要的两个动态性能的指标。第31页，课件共50页，创作于2023年2月具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。

1、上升时间tr由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。第32页，课件共50页，创作于2023年2月

当wn一定时，ξ越小，tr越小；当ξ一定时，wn越大，tr越小。2、峰值时间tp①②第33页，课件共50页，创作于2023年2月对①式两边求导，并令其=0，得：代入得：第34页，课件共50页，创作于2023年2月∴第35页，课件共50页，创作于2023年2月tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1。于是当wn一定时，ξ越小，tp越小；当ξ一定时，wn越大，tp越小。3、超调量MP%第36页，课件共50页，创作于2023年2月

所以超调量是阻尼比ξ的函数，与无阻尼振荡频率wn的大小无关。第37页，课件共50页，创作于2023年2月MP%与ξ的关系曲线第38页，课件共50页，创作于2023年2月

ξ增大，MP%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比ξ取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-2.5%。

4、调节时间ts根据定义：不易求出ts，但可得出wn、ts与ξ的关系曲线：第39页，课件共50页，创作于2023年2月第40页，课件共50页，创作于2023年2月调节时间不连续的示意图ξ值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。第41页，课件共50页，创作于2023年2月

当ξ=0.68（5%误差带）或ξ=0.76（2%误差带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。曲线的不连续性，是由于ξ值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。当ξ<=0.8时,常把这一项去掉。写成即

第42页，课件共50页，创作于2023年2月

在设计系统时,

ξ通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率wn来决定。可近似表示为：两边取对数,得：第43页，课件共50页，创作于2023年2月

5、振荡次数NN的定义:在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。

Td为阻尼振荡的周期。第44页，课件共50页，创作于2023年2