第三章刚体的定轴转动

第三章刚体的定轴转动第1页，课件共72页，创作于2023年2月刚体（rigidbody）：物体中任意两个质点间的距离始终不变。特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。第2页，课件共72页，创作于2023年2月平动（translation）时，刚体上所有点运动都相同，故刚体可简化为质点。§3.1刚体的运动及分类此时刚体=质点。第3页，课件共72页，创作于2023年2月

刚体的一般运动=平动+转动平动和转动可以描述所有质点的运动。如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，称转动（rotation）；这一直线称转轴。第4页，课件共72页，创作于2023年2月刚体的转动第5页，课件共72页，创作于2023年2月3.角加速度矢量速度加快时，角加速度和角速度同向，否则反向。2.角速度矢量方向由右手螺旋定则确定3.1.3刚体的定轴转动（rotationaboutaffixedaxis）

viOωri定轴刚体

zmiΔ1.角位移

线量和角量的关系：第6页，课件共72页，创作于2023年2月例题1一飞轮在时间t内转过角度

＝at+bt3-ct4,式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。解：飞轮上某点角位置可用表示为＝at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度对t的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。角速度第7页，课件共72页，创作于2023年2月例题2一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。（1）求角加速度β

和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；（2）求制动开始后t=25s时飞轮的角速度

；（3）设飞轮的半径r=1m，求在

t=25s时边缘上一点的速度和加速度。

0atrO第8页，课件共72页，创作于2023年2月量值为

0=21500/60=50

rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50S时刻

=0，代入方程

=

0+βt得从开始制动到静止，飞轮的角位移

及转数N分别为解（1）设初角度为

0方向如图所示，

0rO第9页，课件共72页，创作于2023年2月角速度（2）t=25s时飞轮的角速度为

的方向与

0相同；

0rO第10页，课件共72页，创作于2023年2月（3）t=25s时飞轮边缘上一点P的速度。的方向垂直于和构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为由

0vanatarO第11页，课件共72页，创作于2023年2月边缘上该点的加速度其中

的方向与的方向相反，的方向指向轴心，的大小为

的方向几乎和

相同。角速度

0vanatarO第12页，课件共72页，创作于2023年2月一、转动动能和转动惯量viOωri定轴刚体

zmiΔ3.2转动定律第13页，课件共72页，创作于2023年2月为刚体对z轴的转动惯量第14页，课件共72页，创作于2023年2月转动惯量的计算

J为标量dmrm与刚体的质量有关与质量的分布有关，即与刚体的形状、大小、各部分的密度有关；与转轴的位置有关SI：㎏·㎡第15页，课件共72页，创作于2023年2月均匀杆：CAml2l2对C轴：对A轴：二.常用的几个J第16页，课件共72页，创作于2023年2月均匀圆盘：RmCCRmC均匀圆环：第17页，课件共72页，创作于2023年2月dmxyzRxyzO薄球壳对任意直径的转动惯量？第18页，课件共72页，创作于2023年2月三.计算J的规律1.对同一轴J具有可叠加性J=Jiå

ri定轴

zmiΔ第19页，课件共72页，创作于2023年2月

2.对薄平板刚体的正交轴定理Jmrmxmyziiiiii==+^åååDDD222

例1：知圆盘JmRz=122求对圆盘的一条直径的Jx

（或J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìíî\==142即

JzJJxy=+yrixzyiximi

Δyxz

圆盘RCm第20页，课件共72页，创作于2023年2月3.平行轴定理JJmdc=+2\=JJcminCdmICI平行质点系的质量中心，简称质心。具有长度的量纲，描述与质点系有关的某一空间点的位置。COXY第21页，课件共72页，创作于2023年2月注意：质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心位置重合。第22页，课件共72页，创作于2023年2月OFd单位：牛顿·米，N·m方向：从r沿小于

角右旋到F，大拇指指向。rP转动定律及应用举例

一、对定轴的力矩对定点的力矩：

对定轴的力矩：不起作用，只考虑转动平面内的第23页，课件共72页，创作于2023年2月rFMM的方向垂直于

r与F构成的平面。上页下页退出返回同一点合力的力矩等于各分力力矩之和：第24页，课件共72页，创作于2023年2月例2：一匀质细杆，长为l质量为m，在摩擦系数为

的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩M阻。第25页，课件共72页，创作于2023年2月解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，细杆的质量密度质元质量质元受阻力矩上页下页退出返回第26页，课件共72页，创作于2023年2月细杆受的阻力矩由细杆质量有上页下页退出返回第27页，课件共72页，创作于2023年2月二、刚体对定轴的角动量质点对定轴的角动量：大小为：刚体对定轴的角动量：刚体各质点对轴的角动量的矢量和。第28页，课件共72页，创作于2023年2月1.第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。三、转动定律上页下页退出返回从实验可知，刚体转动的角加速度与合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。2.第二定律刚体定轴转动定律第29页，课件共72页，创作于2023年2月与牛II比较：MFJma~~~

ìíïîï\

J反映刚体转动的惯性

刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。注意几点1.是矢量式2.具有瞬时性。第30页，课件共72页，创作于2023年2月1.确定研究对象。2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。四.解题方法及应用举例第一类问题：已知运动情况和J，确定运动学和动力学的联系----

，从而求出M或F。第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况a和

及F。第三类问题：已知运动情况和力矩M，求未知刚体转动惯量J。第31页，课件共72页，创作于2023年2月例3：长为l、质量为m的细杆，初始时的角速度为

0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间t后杆静止，求摩擦力矩M阻。解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：第一类问题第32页，课件共72页，创作于2023年2月细杆绕一端的转动惯量则摩擦阻力矩为：上页下页退出返回第33页，课件共72页，创作于2023年2月第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况a和

及F。例3-6一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置自由摆下，求细杆下摆θ时角加速度。第34页，课件共72页，创作于2023年2月例4：质量为m1和m2两个物体，跨在定滑轮上，m2放在光滑的桌面上，滑轮半径为R，质量为M，若轮轴摩擦可以忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求：m1下落的加速度，和绳子的张力T1、T2。T1T2第35页，课件共72页，创作于2023年2月解：受力分析以为研究对象（1）以为研究对象

（2）以为研究对象（3）T1T2上页下页退出返回补充方程：（4）第36页，课件共72页，创作于2023年2月联立方程（1）---（4）求解得讨论：当M=0时上页下页退出返回第37页，课件共72页，创作于2023年2月ωoxωrdθdrdsox例3-8：如图所示，有一匀质圆盘半径为R,质量为m，在水平面上绕过圆心的垂直轴O转动。若圆盘的初角速度为ω0，桌面的摩擦系数为μ并且与相对速度无关。求圆盘停下来需要的时间和停转过程的角位移。第38页，课件共72页，创作于2023年2月第三类问题：已知运动情况和力矩M，求未知刚体转动惯量J。例5：测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为R、质量为M的轮子上若干圈后，一端挂一质量为m的物体，从静止下落h用了时间t,求轮子的转动惯量J。h上页下页退出返回第39页，课件共72页，创作于2023年2月h以m为研究对象以M为研究对象物体从静止下落时满足补充方程：联立方程（1）----（4）求解得：上页下页退出返回第40页，课件共72页，创作于2023年2月3.3守恒定律一.力矩的功将F分解为切向力和法向力。刚体转过d

,作用点的位移为ds,法向力Fn不作功，只有切向力作功，其中由功的定义第41页，课件共72页，创作于2023年2月对于恒力矩作功恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。由功率的定义：二、力矩的功率则第42页，课件共72页，创作于2023年2月刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？由力矩的功定义：三、刚体绕定轴转动的动能定理其中力矩则功第43页，课件共72页，创作于2023年2月刚体定轴转动的动能定理刚体转动动能定理：合外力矩对刚体作功等于刚体转动动能的增量。第44页，课件共72页，创作于2023年2月1.确定研究对象。2.受力分析，确定作功的力矩。3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。4.列方程求解。四、应用转动动能定理解题方法上页下页退出返回第45页，课件共72页，创作于2023年2月例：例3-6题中求细杆摆到铅直位置时的角速度。第46页，课件共72页，创作于2023年2月解：以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。重力矩作功：上页下页退出返回第47页，课件共72页，创作于2023年2月始末两态动能：由动能定理：第48页，课件共72页，创作于2023年2月五、物体系的机械能守恒定律

当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。其中第49页，课件共72页，创作于2023年2月例3-10：如图，轻绳绕在定滑轮A，B（质量分别为m1和m2）上，一端挂有重物C（质量为m3），A、B滑轮均可当做匀质圆盘，半径分别为R1和R2，求物体C由静止下落h处的速度。hAB第50页，课件共72页，创作于2023年2月1、冲量矩

在质点运动中介绍了冲量的概念----力对时间的累积效应。

在刚体转动中引入冲量矩的概念----力矩对时间的累积效应。冲量：冲量矩：单位：牛顿·米·秒（N·m·s）上页下页退出返回六角动量守恒定律第51页，课件共72页，创作于2023年2月质点的动量定理由冲量矩定义：其中上页下页退出返回其中第52页，课件共72页，创作于2023年2月角动量定理：刚体受到的冲量矩等于刚体角动量的增量。上页下页退出返回2、角动量定理第53页，课件共72页，创作于2023年2月第54页，课件共72页，创作于2023年2月3、角动量守恒定律第55页，课件共72页，创作于2023年2月质点系的动量守恒定律：当合外力为0时，动量守恒。时,当对于刚体所受的合外力矩为0时,又如何呢？由角动量定理：上页下页退出返回第56页，课件共72页，创作于2023年2月角动量守恒定律:当刚体受到的合外力矩为0时，刚体的角动量守恒。上页下页退出返回条件：当刚体受到的合外力矩为0时，第57页，课件共72页，创作于2023年2月第58页，课件共72页，创作于2023年2月②.对于非刚体，转动惯量J发生变化的物体，由于J=C，上页下页退出返回①.对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角速度

也为常数，

=

0即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。明确几点第59页，课件共72页，创作于2023年2月上页下页退出返回第60页，课件共72页，创作于2023年2月第61页，课件共72页，创作于2023年2月

1

2例8：人与转盘的转动惯量J0=60kg·m2,伸臂时臂长为l1=1m，收臂时臂长为l2=0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度

1=3rad·s-1,求收臂时的角速度

2。（人本身手臂收缩引起的转动惯量变化不计）上页下页退出返回第62页，课件共72页，创作于2023年2月

1

2解：合外力矩为0，角动量守恒，J0=60kg·m2，l1=1m，l2=0.2mm=5kg，

1

=3rad·s-1上页下页退出返回第63页，课件共72页，创作于2023年2月由转动惯量的减小，角速度增加。在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。上页下页退出返回

1=3rad·s-1第64页，课件共72页，创作于2023年2月解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。共同角速度例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为

1、

2，求两飞轮啮合后共同的角速度

。啮合过程机械能损失。上页下页退出返回第65页，课件共72页，创作于2023年2月其中共同角速度啮合过程机械能损失上页下页退出返回第66页，课件共72页，创作于2023年2月例10:长为l，质量为m0的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状