第三章动力学方程的三种基本形式

第三章动力学方程的三种基本形式1第1页，课件共36页，创作于2023年2月第三章动力学方程的三种基本形式

§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程

§3.2虚功率形式的动力学方程

§3.3高斯形式的动力学方程第2页，课件共36页，创作于2023年2月§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程本方程为虚功原理与达朗伯原理的结合质点系由n个质点组成，各质点的质量用mi(i=1,2,…,n)表示，作用于第i个质点上的主动力、约束力用、表示，在任意瞬时，第i个质点的加速度为。在此质点上虚加一惯性力对质点系:如果此质点系是理想约束应用虚位移原理，则有或虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程）在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。由达朗伯原理可得：第3页，课件共36页，创作于2023年2月§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程动力学普通方程的投影形式：如果统一编号注意:1.对于非理想约束力可作为主动力处置

2.方程中不出现约束反力第4页，课件共36页，创作于2023年2月§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程例3-1已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为m1，半径为r，曲柄为均质杆，质量为m2，长为4r；各轮在接触点只滚不滑。在轮心轴承O1、O2、O3处摩擦力矩均为M1。在曲柄上作用一常力偶矩M2。求：曲柄的角加速度ⅠⅢⅡ解：ⅠⅢⅡ（1）运动分析取

为广义坐标，，左正右负，Ⅱ轮：

得：Ⅲ轮：

所以第5页，课件共36页，创作于2023年2月§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程Ⅲ（2）受力分析M2为主动力矩M1各摩擦力矩，均按主动力矩处理轴承O1：M1'

右转轴承O2：为左转，O1O3也为左转，

M2'

右转轴承O3：左转，故M13'右转左转（3）加惯性力左转，左转，曲柄O1O3：简化中心为O1

（作用在O1）（作用在O1）右转由于第6页，课件共36页，创作于2023年2月§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程Ⅱ轮：简化中心O2

平面运动Ⅲ轮：简化中心O3

（4）虚位移，虚功，虚功方程给定虚位移

，其方向与即方向相同为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上。第7页，课件共36页，创作于2023年2月§3.1虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为M1、M2、M3轮Ⅱ：所以杆O1O3：轮Ⅲ：第8页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程第9页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程条件：除3.1条件外，还增加条件：内有d个完整约束，g个非完整约束对于第i个质点在此瞬时，相应的位形上给第i个质点虚速度，第i个质点的虚功率对于系统可得：如果此质点系是理想约束，则第10页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程理想约束下质点系的虚功率方程为：具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。

虚功率形式的动力学方程(若丹原理)上式中：其在直角坐标中的投影形式为：第11页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程例3-2已知：常力矩M，均质圆轮C做纯滚动，质量为m，半径为R。绞车半径为r，质量为mO，回转半径ρ。斜面倾角θ，绳质量、轴承摩擦不计求：aC

解：单自由度系统，取绞车转角

为广义坐标

1）运动分析、虚速度分析绞车

虚速度：

第12页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程虚功率形式的动力学方程2）受力分析常力矩M，轮的重力mg，绞车重力mOg3）惯性力分析圆轮：

绞车：4）建立虚功率方程圆轮：绞车：虚功率方程：第13页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程一般情形定点转动平面运动的情形第14页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__一般情形对功率形式的动力学方程进行变化，由将其括号部分提取出来，进行变换其中作用在第i个质点上的主动碰撞力的冲量将用表示，则功率形式的动力学方程可变为动量、冲量表述的动力学方程其中：碰撞结束时的速度;碰撞开始时的速度第15页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__一般情形动量、冲量表述的动力学方程说明：1.非碰撞力不计2.碰撞过程质点位移不计，但虚速度为有限值3.约束方程：其中：τ很短，认为t凝固，位移的变化不计，故为常量第16页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__定点转动某质点系绕固定点O转动，虚速度与虚角速度有如下关系功率方程改写为预备知识（混合积）因为所以第17页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__定点转动同一般情况处理一样，可得：则动量矩、冲量矩表述的动力学方程（对固定点O）

其中：为碰撞后第i个质点对定点O的动量矩，为碰撞前第i个质点对定点O的动量矩如果质点系是相对于其质心C的转动，同样可得其动力学方程为:,的意义同前；意义同前。第18页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__定点转动如果质点系是绕定轴转动的刚体系或绕通过各自质心某轴转动的刚体，动力学方程可变成：绕定轴转动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程绕过质心轴转动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程其中：Jz,JCz为第i个刚体绕z轴或绕过质心的z轴的转动惯量；ω'i为第i个刚体碰后绕轴转动的角速度；ωi为第i个刚体碰前绕轴转动的角速度。第19页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程用动量和冲量表示的动力学方程__平面运动的情形设某刚体系作平面运动，可将分成两部分来化简，即一部分为刚体随各自的质心Ci的平动，另一部分为各刚体相对其质心Ci的转动，其结果为平面运动刚体的动量矩、冲量矩的动力学方程第20页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程例3-3质量为m、边长为b的正方形以速度v1平移下落，其角A与突缘B相撞，假设角A与突缘B之间的碰撞为完全弹性碰撞，求此方块碰撞后的角速度和质心C的速度。碰前碰后解：1选广义坐标：xC,yC,φ2应用恢复系数计算方块A碰撞后的速度碰前：碰后：由恢复系数公式

解得：（向上）第21页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程3运动分析分析质心C的速度及绕C转动的角速度ω碰前（正方块作平行移动）：vCx

=0，vCy=-v1，ω=0碰后（正方块作平面运动）：uCx,uCy,ω'以质心C为基点，计算角A的速度:则其中代入由恢复系数得到的：uAx=0，vAy=v1

则可得：对

'做一阶等时变分，得虚角速度∆

'及质心C的虚速度第22页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程4受力分析碰撞冲量仅为5建立碰撞过程的动力学方程碰撞过程为平面运动，虚位移是极小的，但虚速度为有限的，故只能用平面运动时的动量、动量矩、冲量、冲量矩方程的动力学方程求解将，，，，，，及代入，得第23页，课件共36页，创作于2023年2月§3.2虚功率形式的动力学方程即由解得

(顺时针)则第24页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度高斯形式的动力学方程第25页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度加速度的约束方程实加速度(用和表示)可能加速度(用和表示)虚加速度（用表示）第26页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度__加速度的约束方程质点系由n个质点组成，内有d个完整约束，g个非完整约束，其线性一阶约束方程的矢量形式和坐标分解形式为：

坐标分解形式可写为:

(a)式中

对上式等号两侧同时除以dt，得

(b)第27页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度__加速度的约束方程式(a)、(b)表明：约束方程不仅限制各质点在给定瞬时和位形上的微小位移和速度，而且对各质点的即速度也有相应的限制。为了了解对于加速度的具体限制形式，将式(b)对时间求一阶全导数

即上式为质点系的加速度约束方程。

(a)

(b)第28页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度__实加速度(用和表示)质点系在真实的运动中，在给定的瞬时和位形上，各质点的加速度称为实加速度，用和表示。实加速度既要满足此质点系的运动微分方程和运动的初始条件，又要满足此质点系的加速度约束方程，其加速度组成为唯一的。第29页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度__可能加速度(用和表示)质点系在可能的运动中，在给定的瞬时和位形上，各质点的加速度称为可能加速度，用和表示。可能加速度要满足此质点系的加速度的约束方程，即由于约束方程的数目恒少于加速度分量的数目（3n>d+g），因此该质点系的可能加速度有很多组。第30页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度__虚加速度（用表示）从同一瞬时，同一状态（包括位形和速度）出发，给出质点系相邻任意两组可能加速度、。、应满足的约束方程为:由于上面式子中，二者的时间、各质点的位置和速度均相同，他们对应项的系数相同，于是二式之差为或虚加速度的约束方程

其中称为此质点系第r个坐标所对应的虚加速度分量（r=1,2,…,3n）。第31页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度__虚加速度（用表示）如果是第r个质点的虚加速度在x坐标上的分量（r=1,2,…,3n），则有以上诸式中“Δ”代表有限变更，表明虚加速度可以是有限量。虚加速度的比较完整的定义：

在同一瞬时，质点系中的各质点从同一状态出发的可能加速度的变更，称为该质点系的虚加速度，又称为高斯变更。虚加速度的约束方程也可以变成虚速度约束方程相类似的形式：第32页，课件共36页，创作于2023年2月§3.3高斯形式的动力学方程虚加速度__虚加速度（用表示）虚加速度性质

1）质点系各质点的虚加速度是非时间参量引起的，可以视为质点系在给定的瞬时和位形上，将时间和约束“凝固”后，各质点保持原有的位置和速度（即状态）时，各质点为约束所允许的加速度；2）比较下式:可以看出，在一般情况下，质点系各质点的虚加速度不能视为可能发生却尚未发生的可能加速度；仅当可能速度，且时，即定常约束时，两者一致。第33页，课件共36页，创作于2023年