湖南省衡阳市衡南县第五中学高三数学文模拟试题含解析

湖南省衡阳市衡南县第五中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x，y满足，则的最大值为（

）A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：A【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可.【详解】作出可行域如图：由可得：，平移直线经过点A时，有最大值，由解得，平移直线经过点A时，有最大值，.故选A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.2.若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．3.已知函数，则函数的大致图象为参考答案：D4.已知，命题，则(

)A．是假命题;

B．是假命题;C．是真命题;

D.是真命题

参考答案：D5.设向量，若，则=（）A．﹣3 B．3 C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由向量的坐标运算可求得tanα，利用两角差的正切公式即可得到答案．【解答】解：∵=（cosα，﹣1），=（2，sinα），⊥，∴2cosα﹣sinα=0，∴tanα=2．∴tan（α﹣）===．故选C．6.右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于（

）A．

B．C．

D．参考答案：C

【知识点】程序框图.L1根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据，不满足，故进入循环体，输入，判断与，哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由，解出=8．故选C．【思路点拨】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．7.函数

的定义域为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D8.已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若当时，，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知程序框图如图，则输出结果是A. B.C. D.参考答案：B10.函数=R)的部分图像如图所示，如果，且，则

(

)A．

B．

C．

D．1参考答案：C由图知，，，所以二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．故答案为：．12.从高三年级随机抽取200名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140）内的学生人数为．参考答案：60【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求成绩在[130，140）内的频率，再根据频数=频率×样本容量求的学生数．【解答】解：成绩在[130，140）内的频率为1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴成绩在[130，140）内的学生人数为200×0.3=60．故答案为60．13.若函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则________．参考答案：答案：1解析：，，∴．14.已知△ABC中，AB=2，AC+BC=6，D为AB的中点，当CD取最小值时，△ABC面积为．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据余弦定理，结合二次函数的图象和性质，可得BC=时，CD的最小值为，由余弦定理求出cosB，进而求出sinB，代入三角形面积公式，可得答案【解答】解：∵AB=2，AC+BC=6，D为AB的中点，根据余弦定理可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC，且CB2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos∠CDB，即（6﹣BC）2=3+CD2﹣2CD?cos∠ADC，CB2=3+CD2﹣2?CD?cos∠CDB，∵∠CDB=π﹣∠ADC，∴（6﹣BC）2+CB2=6+2CD2﹣∴CD2=2CB2﹣6BC+15=2（CB﹣）2+，当BC=时，CD的最小值为，此时cosB===，∴sinB=，∴S△ABC=××2×=，故答案为：．15.若是奇函数，则

．

参考答案：16.如图,为△外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.若,则过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值为.参考答案：17.已知实数数列中，，，，把数列的各项排成如图的三角形形状。记为第行从左起第个数。(1)计算：_________；(2)若，则__________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD?OC的值．参考答案：考点：相似三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得，即可求AD?OC的值解答： （1）证明：连接BD，OD，∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC，又AB为直径，∴AD⊥DB，∴AD∥OC．（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，∴Rt△BAD∽Rt△COB，∴，∴AD?OC=AB?OB=8．点评：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．19.已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）﹣f（x2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3+ln（﹣a）恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）把a=0代入函数f（x）的解析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（Ⅱ）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在[1，3]上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得，构造函数，利用导数求其最值得m的范围．【解答】解：（I）依题意h′（x）=，则，x∈（0，+∞），当a=0时，，，令f′（x）=0，解得．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴时，f（x）取得极小值，无极大值；（II）=，x∈[1，3]．当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在[1，3]上是单调递减．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，∵x2∈[1，3]，使得恒成立，∴＞，整理得，又a＜0，∴，令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，∴，当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．20.（本题满分12分，第（1）题6分、第（2）题6分）棱长为2的正方体中，点是棱的中点．（1）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求四面体的体积．参考答案：（1）连接，平面，∴即为直线与平面所成角