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文档简介
湖南省衡阳市衡南县第五中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知x,y满足,则的最大值为(
)A.5 B.6 C.7 D.8参考答案:A【分析】作出可行域,根据简单线性规划求解即可.【详解】作出可行域如图:由可得:,平移直线经过点A时,有最大值,由解得,平移直线经过点A时,有最大值,.故选A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,属于中档题.2.若α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案:A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】当“α=0”可以得到“sinα<cosα”,当“sinα<cosα”时,不一定得到“α=0”,得到“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要条件.【解答】解:∵“α=0”可以得到“sinα<cosα”,当“sinα<cosα”时,不一定得到“α=0”,如α=等,∴“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要条件,故选A.3.已知函数,则函数的大致图象为参考答案:D4.已知,命题,则(
)A.是假命题;
B.是假命题;C.是真命题;
D.是真命题
参考答案:D5.设向量,若,则=()A.﹣3 B.3 C. D.参考答案:C【考点】两角和与差的正切函数.【分析】由向量的坐标运算可求得tanα,利用两角差的正切公式即可得到答案.【解答】解:∵=(cosα,﹣1),=(2,sinα),⊥,∴2cosα﹣sinα=0,∴tanα=2.∴tan(α﹣)===.故选C.6.右图中,为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,为该题的最终得分,当时,等于(
)A.
B.C.
D.参考答案:C
【知识点】程序框图.L1根据提供的该算法的程序框图,该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分.根据,不满足,故进入循环体,输入,判断与,哪个数差距小,差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分.因此由,解出=8.故选C.【思路点拨】利用给出的程序框图,确定该题最后得分的计算方法,关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构,弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分.7.函数
的定义域为
(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:D8.已知函数是定义在上的奇函数,且满足.若当时,,则的值为
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略9.已知程序框图如图,则输出结果是A. B.C. D.参考答案:B10.函数=R)的部分图像如图所示,如果,且,则
(
)A.
B.
C.
D.1参考答案:C由图知,,,所以二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为.参考答案:【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA=,设正四棱锥的高为PO,连结AO,求出PO,由此能求出该正四棱锥的体积.【解答】解:如图,正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA=,设正四棱锥的高为PO,连结AO,则AO=AC=.在直角三角形POA中,PO===1.所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=.故答案为:.12.从高三年级随机抽取200名学生,将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图.由图中数据可知成绩在[130,140)内的学生人数为.参考答案:60【考点】频率分布直方图.【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1,求成绩在[130,140)内的频率,再根据频数=频率×样本容量求的学生数.【解答】解:成绩在[130,140)内的频率为1﹣(0.005+0.035+0.020+0.010)×10=0.3,∴成绩在[130,140)内的学生人数为200×0.3=60.故答案为60.13.若函数(是自然对数的底数)的最大值是,且是偶函数,则________.参考答案:答案:1解析:,,∴.14.已知△ABC中,AB=2,AC+BC=6,D为AB的中点,当CD取最小值时,△ABC面积为.参考答案:【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】根据余弦定理,结合二次函数的图象和性质,可得BC=时,CD的最小值为,由余弦定理求出cosB,进而求出sinB,代入三角形面积公式,可得答案【解答】解:∵AB=2,AC+BC=6,D为AB的中点,根据余弦定理可得:AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC,且CB2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos∠CDB,即(6﹣BC)2=3+CD2﹣2CD?cos∠ADC,CB2=3+CD2﹣2?CD?cos∠CDB,∵∠CDB=π﹣∠ADC,∴(6﹣BC)2+CB2=6+2CD2﹣∴CD2=2CB2﹣6BC+15=2(CB﹣)2+,当BC=时,CD的最小值为,此时cosB===,∴sinB=,∴S△ABC=××2×=,故答案为:.15.若是奇函数,则
.
参考答案:16.如图,为△外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.若,则过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值为.参考答案:17.已知实数数列中,,,,把数列的各项排成如图的三角形形状。记为第行从左起第个数。(1)计算:_________;(2)若,则__________。参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图所示,AB为圆O的直径,CB,CD为圆O的切线,B,D为切点.(1)求证:AD∥OC;(2)若圆O的半径为2,求AD?OC的值.参考答案:考点:相似三角形的性质.专题:选作题;立体几何.分析:(1)连接BD,OD,利用切线的性质,证明BD⊥OC,利用AB为直径,证明AD⊥DB,即可证明AD∥OC;(2)证明Rt△BAD∽Rt△COB,可得,即可求AD?OC的值解答: (1)证明:连接BD,OD,∵CB,CD是圆O的两条切线,∴BD⊥OC,又AB为直径,∴AD⊥DB,∴AD∥OC.(2)解:∵AD∥OC,∴∠DAB=∠COB,∴Rt△BAD∽Rt△COB,∴,∴AD?OC=AB?OB=8.点评:本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到圆的切线的性质,三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.19.已知函数g(x)=(2﹣a)lnx,h(x)=lnx+ax2(a∈R),令f(x)=g(x)+h′(x),其中h′(x)是函数h(x)的导函数.(Ⅰ)当a=0时,求f(x)的极值;(Ⅱ)当﹣8<a<﹣2时,若存在x1,x2∈[1,3],使得|f(x1)﹣f(x2)|>(m+ln3)a﹣2ln3+ln(﹣a)恒成立,求m的取值范围.参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.【分析】(Ⅰ)把a=0代入函数f(x)的解析式,求其导函数,由导函数的零点对定义域分段,得到函数在各区间段内的单调性,从而求得函数极值;(Ⅱ)由函数的导函数可得函数的单调性,求得函数在[1,3]上的最值,再由恒成立,结合分离参数可得,构造函数,利用导数求其最值得m的范围.【解答】解:(I)依题意h′(x)=,则,x∈(0,+∞),当a=0时,,,令f′(x)=0,解得.当0<x<时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0.∴f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.∴时,f(x)取得极小值,无极大值;(II)=,x∈[1,3].当﹣8<a<﹣2,即<<时,恒有f′(x)<0成立,∴f(x)在[1,3]上是单调递减.∴f(x)max=f(1)=1+2a,,∴|f(x1)﹣f(x2)|max=f(1)﹣f(3)=,∵x2∈[1,3],使得恒成立,∴>,整理得,又a<0,∴,令t=﹣a,则t∈(2,8),构造函数,∴,当F′(t)=0时,t=e2,当F′(t)>0时,2<t<e2,此时函数单调递增,当F′(t)<0时,e2<t<8,此时函数单调递减.∴,∴m的取值范围为.20.(本题满分12分,第(1)题6分、第(2)题6分)棱长为2的正方体中,点是棱的中点.(1)求直线与平面所成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求四面体的体积.参考答案:(1)连接,平面,∴即为直线与平面所成角
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