浅谈贝叶斯公式及其应用

浅谈贝叶斯公式及其应用.贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，主要用于计算复杂事件的概率。它是加法公式和乘法公式的综合运用，可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因。贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及产品检查等方面都有广泛的应用。决策者必须综合考虑已往信息和现状，从而作出综合判断，贝叶斯公式是进行决策的重要工具。贝叶斯公式的定义是在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的条件概率。如果已知事件B发生的概率，但不知道它由于A中的哪一个事件导致，就需要使用贝叶斯公式来求解。贝叶斯公式可以表示为：P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)/ΣP(B)P(A/B)，其中B1~Bn为样本空间的一个分割，且互不相容，Ai为事件B发生的原因。贝叶斯公式在实际生活中有广泛的应用。例如，在医学领域，可以使用贝叶斯公式来计算某种疾病的患病率；在市场预测中，可以使用贝叶斯公式来预测某种产品的销售额；在信号估计中，可以使用贝叶斯公式来估计信号的强度和方向；在概率推理中，可以使用贝叶斯公式来推断某个事件是否会发生；在产品检查中，可以使用贝叶斯公式来判断产品是否合格。为了解决更多实际问题，我们对贝叶斯公式进行了推广。推广后的公式可以适用于更广泛的概型，使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面，对我们的日常生活非常重要。证明条件概率的定义，即在事件B发生的条件下，求另一事件A的概率，记为P(A/B)。根据乘法公式和全概率公式，可以得到P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)/Σ(P(Bj)P(A/Bj))。这个结论可以用来在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。贝叶斯公式可以解释为，在n个两两互斥的“原因”A1,A2,...,An可引起同一种“现象”B的发生时，如果该现象已经发生，利用贝叶斯公式可以算出由某一个原因Ai(j=1,2,...,n)所引起的可能性有多大。如果能找到某个Ai，使得P(Aj/B)=max{P(Ai/B)}，则Ai就是引起“现象”B最大可能的“原因”。在医疗诊断上，贝叶斯公式可以用来判断引起某个病症的“原因”的概率。例如，某地区肝癌的发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真患肝癌的概率是多少？解题时，记B事件“被检查者患有肝癌”，A为事件“检查结果为阳性”，有题设知P(B)=0.0004，P(B')=0.9996，P(A/B)=0.99，P(A/B')=0.001。我们现在的目的是求P(B/A)，由贝叶斯公式得P(B/A)=(P(B)P(A/B))/(P(B)P(A/B)+P(B')P(A/B'))=0.038。因此，该检查结果呈阳性的人真患肝癌的概率只有3.8%。在这个例子中，甲胎蛋白法检查结果呈阳性的人中，真正患有肝癌的人不到30%。这个结果可能让人惊讶，但是如果仔细分析，就会理解。因为肝癌发病率很低，在10000个人中只有四个人患有肝癌，而约有9996人不患肝癌。因此，在10000个人中，使用甲胎蛋白法进行检查，根据错检的概率，9996个不患肝癌者中约有90996个呈阳性。另外四个真正患有肝癌的人中，约有3.96个呈阳性。从这13.956个呈阳性者中，真正患有肝癌的3.96人约占28.4%。提高检验精度的关键是进一步降低错检的概率。但是在实际中，由于技术和操作等原因，降低错检的概率有时很困难。因此，在实际中，常采用复查的方法来减少错误率。或者使用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法对被怀疑的对象进行检查。此时被怀疑的对象群体中，肝癌的发病率已大大提高。在上述例子中，我们使用贝叶斯公式来计算已知“结果”的条件下，“原因”的概率P(B/A)。求“结果”的（无条件）概率P(A)则使用全概率公式。在这个例子中，如果我们将事件B（“被检查者患有肝癌”）看作是“原因”，将事件A（“检查结果呈阳性”）看作是最后“结果”，则可以得出P(A)的值为0.2819。条件概率的三个公式中，乘法公式是用于求事件交的概率，全概率公式是用于求复杂事件的概率，而贝叶斯公式则是用于计算后验概率的。在贝叶斯公式中，如果P(Bi)为Bi的先验概率，称P(Bi/A)为Bi的后验概率，则贝叶斯公式是专门用于计算后验概率的，也就是通过A的发生这个新信息，来对Bi的概率作出修正。这个例子是现实生活中很常见的一个例子。通过两次使用贝叶斯公式，我们计算出检出阳性然后患肝癌的概率和甲胎蛋白检测的准确率。通过计算出来的概率，我们可以采用有效的方法降低错检的概率，从而使人们的生命和财产得到更多的保障。=修理工说有问题则根据贝叶斯公式，有：P(A1/B)=P(A1)P(B/A1)/[P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)]=(0.3)(0.9)/[(0.3)(0.9)+(0.7)(0.2)]=0.563所以，如果不雇用修理工，买主买到一辆传动装置有问题的车的概率是56.3%。对于第2问，我们要求的是修理工说有问题，实际上车有问题的概率，即P(A1/B)。根据贝叶斯公式，有：P(A1/B)=P(A1)P(B/A1)/[P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)]=(0.3)(0.9)/[(0.3)(0.9)+(0.7)(0.1)]=0.766所以，如果修理工说该车传动装置有问题，那么该车传动装置真的有问题的概率是76.6%。对于第3问，我们要求的是修理工说没问题，实际上车有问题的概率，即P(A1/¬B)。根据贝叶斯公式，有：P(A1/¬B)=P(A1)P(¬B/A1)/[P(A1)P(¬B/A1)+P(A2)P(¬B/A2)]=(0.3)(0.1)/[(0.3)(0.1)+(0.7)(0.8)]=0.021所以，如果修理工说该车传动装置没问题，那么该车传动装置真的有问题的概率只有2.1%。在使用该仪器时，正确判定产品为合格品的概率是多少。假设产品的次品率为0.1%，那么正确判定产品为合格品的概率就是99.9%。而误判率为5%，也就是说，在使用该仪器时，有5%的概率将合格品误判为次品，因此正确率就是95%。根据贝叶斯公式，我们可以计算出在使用该仪器时，产品为次品的概率。假设某个产品被检测后被判定为次品，那么该产品真的为次品的概率是多少呢？根据贝叶斯公式，我们可以得出以下公式：P(次品/检测结果为次品)=P(检测结果为次品/次品)×P(次品)/P(检测结果为次品)其中，P(检测结果为次品/次品)为正确率，即95%；P(次品)为产品次品率，即0.1%；P(检测结果为次品)为所有被判定为次品的产品的比例，可以通过实验得到。如果计算出来的P(次品/检测结果为次品)小于0.1%，那么就说明使用该仪器进行检验是可行的。反之，则不可行。解：我们需要弄清楚“被检验出的正(或次)品中实际正(或次)品率”的计算方法。设事件A表示“客观的次品”，事件B表示“经检验判为次品的产品”。根据题意，P(A)=0.001，P(A')=0.999，P(B|A)=0.95，P(B|A')=0.05。利用贝叶斯公式可以计算出“被检验出的次品中实际次品率”为：P(A|B)≈0.018664。同理，“被检验出的正品中实际正品率”为：P(A'|B)≈0.999947。由P(A|B)≈0.018664可知，如果产品成本较高，厂长就不能采用这种仪器，因为被仪器判为次品的产品中实际上有98%以上是正品，这样会导致损耗过高。但是，我们也可以注意到该仪器对正品的检验还是相当精确的。如果检验对产品没有破坏作用，可以在“被认定次品”的产品中反复检验，挑出“假次品”，这样就可以降低损耗，又保证了正品具有较高的可信度。第三章贝叶斯公式的推广及其应用3.1贝叶斯公式的推广当试验的随机过程不少于两个时，在影响目标事件的每一个试验过程中分别建立完备事件组，贝叶斯公式就可以进一步推广。3.1.1贝叶斯公式推广定理设A1，A2，...，An和B1，B2，...，Bm是先后两个试验过程中的划分，C为目标事件。若P(C)>0，P(Ai)>0，P(Bj)>0，P(AiBj)>0，i=1,2,...,n，j=1,2,...,m，则有：(1)P(Ai|C)=P(Ai)∑P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，i=1,2,...,n(2)P(Bj|C)=∑P(Ai)P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，j=1,2,...,m(3)P(AiBj|C)=P(Ai)P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，i=1,2,...,n，j=1,2,...,m证明：(1)P(Ai|C)=P(ACi)/P(C)=∑P(ABC)∑P(Ai)P(Bj|Ai)P(C|AiBj)/P(C)，j=1,2,...,m同理可证(2)和(3)。风险评估等方面的应用，并对贝叶斯公式的推广定理进行了讲解。同时，本文还通过例子的方式对贝叶斯公式的应用进行了具体说明。在医学诊断中，利用贝叶斯公