2018-2020年中考圆形题目

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页2018年圆第20题20．（8分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．【考点要求】切线的判定与性质；解直角三角形．【解题技巧】证明AB为⊙O的切线，我们首先应该想到证明切线的常见两条思路，连半径证垂直和作垂直证半径，所以我们会想到作OE⊥AB，再去转角转边，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BOC=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；第二问同学们一定要先分析已知来路，不要忘记第一问我们是可以在第二问直接用哦，同学们是不是很容易想到切线长定理妮？由先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=，再证△ABD∽△OBC得=，据此可得答案．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D∴∠D=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ABD=∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC=∠D=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE=OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，∴∠EOA=∠ABC，∵tan∠ABC=、BC=6，∴AC=BC•tan∠ABC=8，则AB=10，由（1）知BE=BC=6，∴AE=4，∵tan∠EOA=tan∠ABC=，∴=，∴OE=3，OB==，∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，∴△ABD∽△OBC，∴=，即=，∴AD=．【模拟训练】模拟题1.已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．

模拟题2.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC，

(1)求证：DE与⊙O相切；

(2)若BF=2，DF=10，求⊙O的半径．

模拟题3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．

(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为1，求EF的长．

模拟题4.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，直线BE⊥AC于点E，线段AB的中垂线交AB、BE、BC延长线分别于D、O、F三点，过点F作FG//AB交AC延长线于点G，以O为圆心，OB为半径作圆．

(1)求证：GF是圆O的切线；

(2)若AE：EC=4：1，BC=210，求CF的长．

1.【答案】证明：(1)如图1，连接FO，

∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF//AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF//AB，

∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE，

∵∠ACB=90°，即：∠OCE+∠FCE=90°，∴∠OEC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；

(2)如图2，∵⊙O的半径为3，

∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=33，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=33，AC=6，∴AD=37．

2.【答案】(1)证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，

∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；

(2)解：连接BD，AD，过D作DH⊥BF于H，

由圆周角定理，∠ADB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，∠DAB=∠DCB，∠ADC=∠ABC，

∵∠ODE=90°=∠ADB，∴∠BDE=∠ODA=∠DAB=∠BCD，

而∠AED=∠ABC，∠DFB=∠BCD+∠ABC，∠DBF=∠BDE+∠AED，∴∠DFB=∠DBF，

∴DF=DB，即△DFB都等腰三角形，

∴FH=BH=12BF=1，则FH=1，∴HD=DF2−FH2=3，在Rt△ODH中，OH2+D

3.【答案】(1)证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，

而OA=OC，

∴四边形AOCD是菱形，

∴△OAD和△OCD都是等边三角形，

∴∠AOD=∠COD=60°，

∴∠FOB=60°，

∵EF为切线，

∴OD⊥EF，

∴∠FDO=90°，

在△FDO和△FBO中

OD=OB∠FOD=∠FOBFO=FO，

∴△FDO≌△FBO，

∴∠ODF=∠OBF=90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切线；

(2)解：在Rt△OBF∵∠FOB=60°，

而tan∠FOB=BFOB，

∴BF=1×tan60°=3．

∵∠E=30°，

4.【答案】(1)证明：∵BE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BEC=90°，∠BDF=90°，

∴∠1+∠3=∠2+∠ABC=90°，

∵AB=AC，

∴∠3=∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴OB=OF，

∴点F在⊙O上，

∵FG//AB，

∴∠GFC=∠ABC，

∴∠2+∠GFC=90°，

即∠OFG=90°，

∴GF⊥OF，

∴GF是圆O的切线；

(2)解：∵AE：EC=4：1，

∴设AE=4x，EC=x，

∴AC=AE+EC=5x=AB，

在Rt△ABE中，BE=AB2−AE2=3x，

在Rt△BEC中，(3x)2+x2=(210)2，

解得：x=2(负值舍去)，

∴AB=5×2=10，

∴BD=12AB=5，

2019年圆第19题19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．【考点要求】切线的判定与性质．【解题技巧】同学们第一问用到了证明切线的常规方法，连半径证垂直，然后利用圆中的性质去转角吧，转角是学习几何的一项重要本领，连接OC，根据切线的性质得到AB⊥AD，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB＝CD，等量代换得到CD＝OA，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OC∥AD，于是得到结论；如图2，连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，求得∠EBA+∠BAE＝90°，证得∠ABE＝∠DAE，等量代换即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形，∴OB＝CD，∵OA＝OB，∴CD＝OA，∴四边形ADCO是平行四边形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD，∴OC⊥CD，∴CD是半圆的切线；（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，理由：如图2，连接BE，∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBA+∠BAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAE，∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE，∵∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．【模拟训练】模拟题1.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ABC的角平分线交⊙O于点D，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．

(1)求证：DE为⊙O的切线；

(2)若DE=12AC，求∠ACB的大小．

模拟题2.已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线交于点P，CP与⊙O交于点D．

(I)如图①，若△ABC为等边三角形，求∠P的大小；

(II)如图②，连接AD，若PD=AD，求∠ABC的大小．

模拟题3.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．

(Ⅰ)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；

(Ⅱ)如图②，D为AC上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，若AD=CD，∠P=30°，求∠CAP的大小．

模拟题4.如图，已知AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点作CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．

(1)试说明CD是⊙O的切线；

(2)若AD=5，⊙O的半径为4，求AE的长．

1.【答案】解：(1)如图，连接OD交AC于H，

∵∠ABC的角平分线交⊙O于点D，

∴∠ABD=∠CBD，

∴AD=CD，

∴OD⊥AC，

∵DE//AC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

(2)∵OD⊥AC，

∴CH=12AC，

∵DE=12AC，

∴CH=DE，

∵DE//AC，

∴四边形CHDE为平行四边形，

∵∠ODE=90°，

2.【答案】解：(Ⅰ)如图①，连接AO，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=120°，

∵∠AOC+∠AOF=180°，

∴∠AOP=60°，

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥AO，

∴∠PAO=90°，

∴∠P+∠AOP=90°，

∴∠P=90°−∠AOP=90°−60°=30°；

(Ⅱ)如图②，

∵PD=AD，

∴∠P=∠PAD，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠OAD，

∵∠ADO=∠P+∠PAD=2∠PAD，

∴∠OAD=2∠PAD，

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥AO，

∴∠PAO=90°，

∴∠PAD+∠OAD=90°，

∴∠PAD+2∠PAD=90°，

∴∠PAD=30°，

∴∠ADO=2∠PAD=60°，

∴∠ADC=60°，

∴∠ABC=∠ADC=60°．

3.【答案】解：(Ⅰ)如图①，连接OC，

∵⊙O与PC相切于点C，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，

∴∠P=90°−∠COP=36°；

(Ⅱ)连接OC，OD，

∵AD=CD，

∴∠AOD=∠COD，

∵OA=OD=OC，

∴∠OAD=∠ADO=∠ODC=∠DCO，

∵∠P=30°，

∴∠PAD+∠ADP=150°，

∴∠COP=∠DCO−∠P=20°，

∵∠CAP=12∠COP，

∴∠CAP=10°．

4.【答案】解：(1)连接OE，

∵AE平分∠BAF，

∴∠OAE=∠DAE，

∵OE=OA，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠OEA=∠DAE，

∴OE//AD，

∵AD⊥CD，

∴OE⊥CD，

∵OE过O，

∴CD是⊙O的切线；

(2)连接BE，

∵AB是⊙O的直径，AD⊥CD，

∴∠BEA=∠ADE=90°，

∵∠BAE=∠DAE，

∴△AEB∽△ADE，

∴AEAD=ABAE，

∵AD=5，⊙O的半径为4，

∴AE5=2020江西中考圆第21题21．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【考点要求】圆的综合题．图形的全等；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；【解题技巧】同学们拿到这道题首先不要急着去动手，应该从题目所给的已知条件出发，在对应图当中用铅笔做好标记，根据已知线索联想圆中的相应知识点，这道题大家是不是发现了和我们平时练的的切线长定理模型类似呢？所以会想到连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°， 又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP＝，PD＝r，∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴的长度＝＝，∴阴影部分的周长＝PA+PD+＝＝．【模拟训练】模拟题1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F．

(1)判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)求证：点F为CE的中点；

(3)若⊙O的半径为2，∠C=67.5°，求阴影部分的面积．

模拟题2.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由;(2)若⊙O的半径为2，∠B=50∘，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．

模拟题3.如图，AB是半圆O的直径，C是半径OA上一点，PC⊥AB，点D是半圆上位于PC右侧的一点，连接AD交线段PC于点E，且PD=PE．

(1)求证：PD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x，PD2=y．

①求y关于x的函数关系式；

②当x=1时，求tan∠BAD的值．

模拟题4.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90∘，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点(1)求证：CF是⊙O的切线;(2)若∠F=30∘，EB=8，求图中阴影部分的面积.(结果保留根号和π)

1.【答案】(1)解：DF与⊙O相切，理由如下：

连接OD，如图1所示：

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B，

又∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠ODB=∠C，

∴OD//AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵点D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切线；

(2)证明：连接DE，如图2所示：

∵∠DEC+∠AED=180°，∠B+∠AED=180°，

∴∠DEC=∠B，

又∵∠B=∠C，

∴∠C=∠DEC，

∴DE=DC，

又∵DF⊥AC，

∴EF=FC，

即点F为CE的中点；

(3)解：连接OE，如图3所示：

∵∠C=67.5°，A