2022高考数学二轮专题复习推理证明复数算法框图

推理证明、复数、算法框图【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义．2.会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．7.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．(理科)8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面：1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、小前提、结论）.2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。证明时，特别注意第二步，要弄清式子的构成规律，充分利用题目中的条件和假设，适当变形。4.复数:掌握复数的分类、复数相等、模、几何意义、复数的四则运算。【考点在线】考点一推理例1.(2022年高考江西卷理科7)观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625【答案】D【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而,故A也不正确,所以选D.【名师点睛】本题考查合情推理中的归纳推理.【备考提示】：推理分为合情推理与演绎推理,都是高考的重点内容之一,必须熟练其模式.练习1:(2022年高考山东卷理科15)设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，.【答案】【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.考点二间接证明与直接证明例2.(2022年高考安徽卷理科19)（Ⅰ）设证明，（Ⅱ），证明.【证明】(Ⅰ)由于，所以要证明：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：由于，上式显然成立，所以原命题成立。（Ⅱ）设，，由换底公式得，，，，故要证：只要证明：，其中，由(Ⅰ)知所要证明的不等式成立。【名师点睛】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力,用的分析法证明的。第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。【备考提示】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。练习2:(2022年高考广东卷理科20)设数列满足,求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,.【解析】（1）由 令， 当 ①当时， ②当 （2）当时，（欲证） ， 当 综上所述(理科)考点三数学归纳法例3.(2022年高考湖南卷理科22)已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有【解析】由知，，而且，，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.由，记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.由此猜测：.下面用数学归纳法证明.①当时，显然成立，②假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立（2）当时，由知在上单调递增，则，即，从而，即.由此猜测：，下面用数学归纳法证明.①当时，显然成立，②假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立综上所述，存在常数使得对于任意的都有【名师点睛】本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.【备考提示】：数学归纳法是理科考查的内容之一，要熟练其证明模式，特别是在步骤以及容易出错的地方加以注意。练习3：（2022年高考江苏卷试题23）已知△ABC的三边长都是有理数。求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。【解析】（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。（2）①当时，显然cosA是有理数；当时，∵，因为cosA是有理数，∴也是有理数；②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，，，，解得：∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，∴是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。②假设当时，和都是有理数。当时，由，，及①和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。考点四复数例4.(2022年高考安徽卷理科1)设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()（A）2(B)2(C)(D)【答案】A.【解析】设，则，所以.故选A.【名师点睛】本题考查复数的基本运算，属简单题.【备考提示】：复数是高考的热点内容，年年必考，以选择或填空题的形式出现，主要考查复数的概念、复数相等、几何意义以及复数的四则运算，熟练基础知识是解决本类问题的关键.练习4：(2022年高考山东卷理科2)复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（）（A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.考点五算法框图例5.(2022年高考全国新课标卷理科3)执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是（）A120B720C1440D5040【答案】B【解析】按照算法的程序化思想，有程序框图执行下面的计算可得：，此时，按终止条件结束，输出。【名师点睛】本题考查算法的程序化思想、算法框图的结构、功能、逻辑思维能力和运算能力。注意理解和把握。【备考提示】：框图仍然是高考的一个热点，在高考中，一个般一个选择或填空题，难度不大，大多与数列或不等式等知识结合起来命题，故熟练其基础知识是解决本类问题的关键.练习5：(2022年高考辽宁卷理科6)执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是（）(A)8(B)5(C)3(D)2【答案】C【解析】第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2;第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p的值4.【考题回放】1.(2022年高考天津卷理科1)是虚数单位，复数=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，故选A.2.(2022年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】故选A3．(2022年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+iB．1-iC．2+2iD．2-2i【答案】B【解析】由题得所以选B.4.(2022年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）（A）2（B）(C)(D)1【答案】B【解析】,a>0,故a=.5.(2022年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（）ABCD;【答案】C【解析】因为=，所以，共轭复数为，选C。6.(2022年高考江西卷理科1)若，则复数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为=，所以复数,选D.7．(2022年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=（）A.－i B.－1 【答案】A【解析】因为,故所以选A.8．(2022年高考陕西卷理科7)设集合，则为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】：由即由得即故选C。9.(2022年高考重庆卷理科1)复数（）（A）(B)(C)(D)【答案】B【解析】。10．(2022年高考四川卷理科2)复数=()(A)（B）（C）0（D）【答案】A【解析】11.(2022年高考全国卷理科1)复数，为的共轭复数，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，-=1+1-1--1=，故选B12.(2022年高考陕西卷理科8)右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，时等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】：,由得，故选C。13.(2022年高考江西卷理科13)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是。【答案】10【解析】当n=1时,计算出的;当n=2时,计算出的;当n=3时,计算出的;当n=4时,计算出的,此时输出s=10.14．(2022年高考陕西卷理科13)观察下列等式照此规律，第个等式为【答案】【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即15.(2022年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①正确，令满足①；②错误，若，过整点（－1,0）；③正确，设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立；④错误，当与都是有理数时，令显然不过任何整点；⑤正确.如：直线恰过一个整点16.(2022年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，，故，），则（1）；（2）.【答案】2;1093【解析】（1）由题意知，所以2；（2）通过例举可知：，，，，，，，，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：从而.17.(2022年高考全国卷理科20)设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设【解析】（Ⅰ）由得，前项为，（Ⅱ）18．(2022年高考北京卷理科20)若数列满足，数列为数列，记=． （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列； （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2022； （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。【解析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2022.充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2022, 所以a2000=a1+1999. 故是递增数列. 综上，结论得证。 （Ⅲ）令 因为 …… 所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得【高考冲策演练】一、选择题：1.（2022年高考山东卷理科2）已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）(A)-1(B)1(C)2(D)3【答案】B【解析】由得,所以由复数相等的意义知:,所以1,故选B.2．（2022年高考全国卷I理科1）复数（）(A)i(B)(C)12-13(D)12+13【答案】A【解析】.3．（2022年高考福建卷理科9）对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于()B.-1C.0D.【答案】B【解析】由题意，可取，所以，选B。4．（2022年高考安徽卷理科1）是虚数单位，（）A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，选B.5.(2022年高考天津卷理科1)i是虚数单位，复数=（）（A）1+i（B）5+5i（C）-5-5i（D）-1-i【答案】A【解析】，故选A。6．（2022年高考广东卷理科2）若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（）A．4+2iB.2+iC.2+2i【答案】A【解析】。7．（2022年高考四川卷理科1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）（A）－1（B）1（C）（D）【答案】A【解析】由复数性质知：i2＝－1，故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1。8.(2022年全国高考宁夏卷2）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A.B.【答案】A【解析】，所以．9．（2022年高考浙江卷理科第6题）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）（A）4（B）5（C）6（D）7【答案】A【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的．10.（2022年高考福建卷理科第6题）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2B.4C.8D.16【答案】：C【解析】由算法程序图可知，在n=4前均执行”否”命令，故n=2×4=8.故选C11．（2022年高考天津卷理科第5题）阅读右图的程序框图，则输出的S=（）A26B35C40D57【答案】C12．(安徽省淮南市2022届高三第一次模拟考试文科)若将复数表示为（，是虚数单位）的形式，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则二．填空题：13．（2022年高考北京卷理科9）在复平面内，复数对应的点的坐标为。【答案】（-1，1）【解析】因为=，故复数对应的点的坐标为（-1，1）。14．（2022年高考上海市理科2）若复数（为虚数单位），则。【答案】6-2i【解析】因为,所以6-2i.15.(2022年高考重庆市理科11)已知复数，则____________．【答案】-2i【解析】.16．(2022年高考安徽卷江苏4)根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的m的值是________。Reada，bIfa>bThenmaElsembEndIfPrintm【答案】3【解析】因为输入分别为2，3,所以a<b,故m=3.三．解答题：17．(2022年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。【解析】………………（4分）设，则，………………（12分）∵，∴………………（12分）18.(上海市普陀区2022年4月高三质量调研)已知复数满足（为虚数单位），复数，试确定一个以为根的实系数一元二次方程.【解析】因为，得，所以.若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根，因为，，故所求的一个一元二次方程可以是.19.(北京市西城区2022年高三一模试题文科)将这个数随机排成一列，得到的一列数称为的一个排列.定义为排列的波动强度.（Ⅰ）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；（Ⅱ）当时，求的最大值，并指出所对应的一个排列；（Ⅲ）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.【解析】（Ⅰ）时，排列的所有可能为；；；；；.……………2分；；；；；.……………4分（Ⅱ）上式转化为，在上述个中，有个选正号，个选负号，其中出现一次，各出现两次.………………6分所以可以表示为个数的和减去个数的和的形式，若使最大，应使第一个和最大，第二个和最小.所以最大为：.………8分所对应的一个排列为：.（其他正确的排列同等给分）…9分（Ⅲ）不可以.例如排列，除调整外，其它调整都将使波动强度增加，调整波动强度不变.……………11分所以只能将排列调整为排列.对于排列，仍然是除调整外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整两个数字.如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为.………13分20．(北京市怀柔区2022年3月高三第二学期适应性练习理科)已知集合，其中，表示和中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合，，分别求和；（Ⅱ）若集合，求证：；（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？【解析】（Ⅰ）由得.由得.---------------------------------------------------5分（Ⅱ）证明：因为最多有个值，所以又集合，任取当时,不妨设，则，即.当时，.因此，当且仅当时