2022新高考数学高频考点题型归纳29等比数列通项与前n项和（学生版）

专题29等比数列通项与前n项和公式一、关键能力1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2022年高考将会:1．利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；2．等比数列的性质及应用.3．更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．三、自主梳理 1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数)，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列及前n项和的性质(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．【必会结论】等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列{an}满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，{an}是递增数列；满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，{an}是递减数列．四、高频考点+重点题型考点一、等比数列的基本量运算例1.(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1对点训练1.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}．若，，则q＝______________．对点训练2.(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝()A．2 B．3C．4 D．5考点二、等比数列的性质应用例2-1（项的性质）已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.例2-2（前n项和的性质）（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（）A．7 B．8 C．9 D．10对点训练1.（2020·全国高三二模（理））已知数列是等比数列，若，则（）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值对点训练2.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16对点训练3.(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．32考点三、等比数列证明与判定例3-1.(2021新高考八省联考卷)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求数列{an}的通项公式．例3-2.在数列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.例3-3.（2020·江苏卷）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．对点训练1.（2018·全国卷）已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．对点训练2.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.考点四、前n项和的综合应用例4.（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件对点训练1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.对点训练2．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点五、数学文化小型应用题例5..（2020·河北省曲阳县第一高级中学）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里对点训练1.（2020·浙江杭州高三二模）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.对点训练2．（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏巩固训练一、单项选择题1．（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–12．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)3．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（）A．46 B．47 C．48 D．495．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是()A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比为eq\f(1,q)的等比数列6．若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是()A.eq\r(2) B．－16eq\r(2)C．2 D．16eq\r(2)二、多项选择题7．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（）A．是递增数列 B．是等比数列C． D．8．在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，eq\f(a99－1,a100－1)＜0，下列选项中，结论正确的是()A．0＜q＜1B．a99·a101－1＜0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198三、填空题9．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．10.如图所示，正方形上连结着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连结正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为eq\f(\r(2),2)，则其最小正方形的边长为________．11．已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，设数列{an}的前n项和为Sn．若不等式Sn＞kan－2对一切n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是__________．12．（2020·安徽黄山）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布尺？四、解答题13．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\