【解析】2023-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用2

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2023-2023高考数学真题分类汇编6函数的导数及其应用2

一、选择题

1．（2023·新课标Ⅰ·理）函数的图像在点处的切线方程为（）

A．B．C．D．

2．（2022·新高考Ⅰ卷）设则（）

A．B．C．D．

3．（2022·安康模拟）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

4．（2023·新高考Ⅰ）若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）

A．eb5．（2023·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）

A．a=e，b=-1B．a=e，b=1C．a=e-1，b=1D．a=e-1，b=-1

6．（2023·全国Ⅱ卷文）曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为（）

A．x-y-π-1=0B．2x-y-2π-1=0

C．2x+y-2π+1=0D．x+y-π+1=0

7．（2023·全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（）

A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2

8．（2023·天津）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

二、多项选择题

9．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（）

A．B．C．D．

三、填空题

10．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

11．（2023·全国甲卷）曲线在点（-1，-3）处的切线方程为。

12．（2023·新课标Ⅲ·文）设函数．若，则a=．

13．（2023·全国Ⅰ卷理）曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为.

四、解答题

14．（2023·北京）已知函数．

（1）若，求在处切线方程；

（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．

15．（2023·江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.

（1）求桥AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低

16．（2023·北京）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

17．（2023·江苏）设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

18．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数和有相同的最小值.

（1）求a；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

19．（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点

①；

②．

20．（2023·浙江）设a，b为实数，且，函数

(注：是自然对数的底数)

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.

21．（2023·全国乙卷）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.

22．（2023·全国甲卷）设函数，其中a>0．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．

23．（2023·全国甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=（x＞0），

（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；

（2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

24．（2023·全国乙卷）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。

（1）求a；

（2）设函数g（x）=，证明：g（x）＜1.

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故答案为：B.

【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

2．【答案】C

【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小

【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，

则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，

令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

则，

所以y≤0，

所以lna≤lnb，

所以b>a，

a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

，

令k(x)=，

所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，

所以k(x)>k(0)>0，

所以y'>0，

所以a-c>0，

所以a>c，

综上可得，c故选：C

【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.

3．【答案】D

【知识点】利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由

，得

.

因为函数

有两个极值点，

所以

有两个不同的解，

即

有两个不同的解转化为

与

的图象有两个交点；

设

，则

，

令

，即

，解得

当

时，

；

当

时，

；

所以

在

上单调递增，在

上单调递减.

分别作出函数

与

的图象，如图所示

由图可知，0

，解得

.

所以实数

的取值范围为

.

故答案为：D.

【分析】先求函数

的导函数，函数

由两个极值点，即导函数

有两个不同的解，转化为

与

的图象有两个交点；设

，利用导数判断函数的单调性画出简单图形即可求得实数a的取值范围.

4．【答案】D

【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为y=0，当x趋近于+∞时，切线为x=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.

故答案为：D

【分析】利用极限，结合图象求解即可.

5．【答案】D

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线上，

∵，∴切线的斜率，∵切线方程为y=2x+b，

∴，解得，即，

故答案为：D.

【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得即可得结果.

6．【答案】C

【知识点】导数的几何意义

【解析】【解答】首先求出原函数的导函数,再把代入到导函数的解析式，求出结果即为切线的斜率则k=-2，再由点斜式y+1=-2(x-)求出直线的方程化为一般式，

故答案为：C

【分析】根据题意求出导函数的解析式，进而求出切线方程的斜率再由点斜式即可求出答案。

7．【答案】D

【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质

【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

8．【答案】C

【知识点】函数恒成立问题

【解析】【解答】∵的对称轴为

又∵

∴

∵在R上恒成立

∴

∴当时，得解得；

当时，得解得。

综上所述，

故答案为：C

【分析】分段讨论和时，求最小值的问题，关于的不等式在上恒成立，解不等式即可得出的取值范围。

9．【答案】B,C

【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值

【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，

由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，

根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关于点(，0)对称，

综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，

所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；

f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，

，g(-1)=g(1)，故B正确；

又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.

故选：BC

【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.

10．【答案】a＞0或a＜-4

【知识点】导数的几何意义；一元二次方程

【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，

可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，

可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)，

又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a0.

故答案为：a0.

【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.

11．【答案】5x-y+2=0

【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程

【解析】【解答】解：由题意得，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0

故答案为：5x-y+2=0

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.

12．【答案】1

【知识点】导数的四则运算

【解析】【解答】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：.

故答案为：1.

【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值

13．【答案】y=3x

【知识点】导数的几何意义

【解析】【解答】设曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为：

因为曲线y=3(x2+x)ex，

【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程。

14．【答案】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

-14

+0-0+

增极大值减极小值增

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.

15．【答案】（1）解：由题意得

米

（2）解：设总造价为万元，，设，

(0舍去)

当时，；当时，，因此当时，取最小值，

答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式

【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.

16．【答案】解：（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程为：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

17．【答案】（1）解：因为，所以．

因为，所以，解得

（2）解：因为，

所以，

从而．令，得或．

因为，都在集合中，且，

所以．

此时，．

令，得或．列表如下：

1

+0–0+

极大值极小值

所以的极小值为

（3）解：因为，所以，

．

因为，所以，

则有2个不同的零点，设为．

由，得．

列表如下：

+0–0+

极大值极小值

所以的极大值．

解法一：

．因此．

解法二：

因为，所以．

当时，．

令，则．

令，得．列表如下：

+0–

极大值

所以当时，取得极大值，且是最大值，故．

所以当时，，因此

【知识点】利用导数研究函数的极值；不等式的证明

【解析】【分析】利用已知条件a=b=c，f（4）=8，求出的值。（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，从而求出函数的极值。（2）利用两种方法证出M≤，第一种方法是利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用均值不等式求最值的方法结，

且f（x）的极大值为M，从而证出M≤；第二种方法利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而求出函数的最值从而证出当时，因此。

18．【答案】（1）因为，所以，

若，则恒成立，

所以在上单调递增，无最小值，不满足；

若，令f’（x）＞0x＞lna，令f’（x）＜0x＜lna，

所以，

因为，定义域，所以，

所以，

所以，

依题有，即，

令，则恒成立

所以在上单调递增，又因为，

有唯一解，

综上，

（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，

设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，

显然有，

则肯定有，

注意的结构，易知，

所以有，所以有，而由在上单调递减，

知，同理，

所以，

又由，

故，

所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列概念与表示

【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；

（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，不妨设，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.

19．【答案】（1）由函数的解析式可得：，

当时，若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，若，则单调递增，

若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，若，则单调递增，

若，则单调递减，

若，则单调递增；

（2）若选择条件①：

由于，故，则，

而，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

，

由于，，故，

结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于，故，则，

当时，，，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

当时，构造函数，则，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

注意到，故恒成立，从而有：，此时：

，

当时，，

取，则，

即：，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

，

由于，，故，

结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理

【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

20．【答案】（1）解：，

①若，则，所以在上单调递增；

②若，

当时，单调递减，

当时，单调递增.

综上可得，时，在上单调递增；

时，函数的单调减区间为，单调增区间为

（2）解：有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，

令，则，

记，

记，

又，所以时，时，，

则在单调递减，单调递增，，

.

即实数的取值范围是

（3）解：有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.

由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，

，

注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，又由知，

，

要证，只需，

且关于的函数在上单调递增，

所以只需证，

只需证，

只需证，

，只需证在时为正，

由于，故函数单调递增，

又，故在时为正，

从而题中的不等式得证.

【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【分析】（1）先对函数求导，对b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间；

（2）将问题转化为有两个不同解有2个不同的解，通过换元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围；

（3）当有2个不同零点，则零点一定是正值，设出二正根，构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出结论。

21．【答案】（1）由函数的解析式可得：，

导函数的判别式，

当时，在R上单调递增，

当时，的解为：，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

综上可得：当时，在R上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由题意可得：，，

则切线方程为：，

切线过坐标原点，则：,

整理可得：，即：，

解得：，则，

即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；

（2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。

22．【答案】（1）函数的定义域为，

又，

因为，故，

当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为.

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即.

【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系

【解析】【分析】（1）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；

（2）首先注意到且的图与轴没有公共点这一特点，表明的图象在轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于0即可，解不等式，即可得到结果。

23．【答案】（1）当时，，

令得，当时，，当时，，

∴函数在上单调递增；上单调递减；

（2），设函数，

则，令，得，

在内，单调递增；

在上，单调递减；

，

又，当趋近于时，趋近于0，

所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是，这即是，

所以的取值范围是.

【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】（1）当ａ＝2时，函数用导数研究其单调性；

（2）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。

24．【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1

当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0

故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，

则f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt

所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。

【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】（1）先对函数y=xf（x）求导：[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。

（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。

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2023-2023高考数学真题分类汇编6函数的导数及其应用2

一、选择题

1．（2023·新课标Ⅰ·理）函数的图像在点处的切线方程为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故答案为：B.

【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

2．（2022·新高考Ⅰ卷）设则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小

【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，

则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，

令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

则，

所以y≤0，

所以lna≤lnb，

所以b>a，

a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

，

令k(x)=，

所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，

所以k(x)>k(0)>0，

所以y'>0，

所以a-c>0，

所以a>c，

综上可得，c故选：C

【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.

3．（2022·安康模拟）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由

，得

.

因为函数

有两个极值点，

所以

有两个不同的解，

即

有两个不同的解转化为

与

的图象有两个交点；

设

，则

，

令

，即

，解得

当

时，

；

当

时，

；

所以

在

上单调递增，在

上单调递减.

分别作出函数

与

的图象，如图所示

由图可知，0

，解得

.

所以实数

的取值范围为

.

故答案为：D.

【分析】先求函数

的导函数，函数

由两个极值点，即导函数

有两个不同的解，转化为

与

的图象有两个交点；设

，利用导数判断函数的单调性画出简单图形即可求得实数a的取值范围.

4．（2023·新高考Ⅰ）若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）

A．eb【答案】D

【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为y=0，当x趋近于+∞时，切线为x=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.

故答案为：D

【分析】利用极限，结合图象求解即可.

5．（2023·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）

A．a=e，b=-1B．a=e，b=1C．a=e-1，b=1D．a=e-1，b=-1

【答案】D

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线上，

∵，∴切线的斜率，∵切线方程为y=2x+b，

∴，解得，即，

故答案为：D.

【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得即可得结果.

6．（2023·全国Ⅱ卷文）曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为（）

A．x-y-π-1=0B．2x-y-2π-1=0

C．2x+y-2π+1=0D．x+y-π+1=0

【答案】C

【知识点】导数的几何意义

【解析】【解答】首先求出原函数的导函数,再把代入到导函数的解析式，求出结果即为切线的斜率则k=-2，再由点斜式y+1=-2(x-)求出直线的方程化为一般式，

故答案为：C

【分析】根据题意求出导函数的解析式，进而求出切线方程的斜率再由点斜式即可求出答案。

7．（2023·全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（）

A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2

【答案】D

【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质

【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

8．（2023·天津）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】函数恒成立问题

【解析】【解答】∵的对称轴为

又∵

∴

∵在R上恒成立

∴

∴当时，得解得；

当时，得解得。

综上所述，

故答案为：C

【分析】分段讨论和时，求最小值的问题，关于的不等式在上恒成立，解不等式即可得出的取值范围。

二、多项选择题

9．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数及其导函数的定义域均为R，记若均为偶函数，则（）

A．B．C．D．

【答案】B,C

【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值

【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，

由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，

根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关于点(，0)对称，

综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，

所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正确；

f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正确，

，g(-1)=g(1)，故B正确；

又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.

故选：BC

【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.

三、填空题

10．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

【答案】a＞0或a＜-4

【知识点】导数的几何意义；一元二次方程

【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，

可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，

可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得(※)，

又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a0.

故答案为：a0.

【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.

11．（2023·全国甲卷）曲线在点（-1，-3）处的切线方程为。

【答案】5x-y+2=0

【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程

【解析】【解答】解：由题意得，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0

故答案为：5x-y+2=0

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.

12．（2023·新课标Ⅲ·文）设函数．若，则a=．

【答案】1

【知识点】导数的四则运算

【解析】【解答】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：.

故答案为：1.

【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值

13．（2023·全国Ⅰ卷理）曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为.

【答案】y=3x

【知识点】导数的几何意义

【解析】【解答】设曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为：

因为曲线y=3(x2+x)ex，

【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程。

四、解答题

14．（2023·北京）已知函数．

（1）若，求在处切线方程；

（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．

【答案】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

-14

+0-0+

增极大值减极小值增

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.

15．（2023·江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.

（1）求桥AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低

【答案】（1）解：由题意得

米

（2）解：设总造价为万元，，设，

(0舍去)

当时，；当时，，因此当时，取最小值，

答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式

【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.

16．（2023·北京）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【答案】解：（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程为：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

17．（2023·江苏）设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

【答案】（1）解：因为，所以．

因为，所以，解得

（2）解：因为，

所以，

从而．令，得或．

因为，都在集合中，且，

所以．

此时，．

令，得或．列表如下：

1

+0–0+

极大值极小值

所以的极小值为

（3）解：因为，所以，

．

因为，所以，

则有2个不同的零点，设为．

由，得．

列表如下：

+0–0+

极大值极小值

所以的极大值．

解法一：

．因此．

解法二：

因为，所以．

当时，．

令，则．

令，得．列表如下：

+0–

极大值

所以当时，取得极大值，且是最大值，故．

所以当时，，因此

【知识点】利用导数研究函数的极值；不等式的证明

【解析】【分析】利用已知条件a=b=c，f（4）=8，求出的值。（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，从而求出函数的极值。（2）利用两种方法证出M≤，第一种方法是利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用均值不等式求最值的方法结，

且f（x）的极大值为M，从而证出M≤；第二种方法利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而求出函数的最值从而证出当时，因此。

18．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数和有相同的最小值.

（1）求a；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【答案】（1）因为，所以，

若，则恒成立，

所以在上单调递增，无最小值，不满足；

若，令f’（x）＞0x＞lna，令f’（x）＜0x＜lna，

所以，

因为，定义域，所以，

所以，

所以，

依题有，即，

令，则恒成立

所以在上单调递增，又因为，

有唯一解，

综上，

（2）由(1)易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，

设三个不同交点的横坐标分别为，不妨设，

显然有，

则肯定有，

注意的结构，易知，

所以有，所以有，而由在上单调递减，

知，同理，

所以，

又由，

故，

所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列概念与表示

【解析】【分析】（1）对a分，两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得，同理可得，根据题意列式，构造函数，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；

（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，不妨设，同时根据，可得，，从而得，再由对数运算可证，结论得证.

19．（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点

①；

②．

【答案】（1）由函数的解析式可得：，

当时，若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，若，则单调递增，

若，则单调递减，

若，则单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，若，则单调递增，

若，则单调递减，

若，则单调递增；

（2）若选择条件①：

由于，故，则，

而，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

，

由于，，故，

结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于，故，则，

当时，，，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

当时，构造函数，则，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

注意到，故恒成立，从而有：，此时：

，

当时，，

取，则，

即：，

而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.

，

由于，，故，

结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理

【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

20．（2023·浙江）设a，b为实数，且，函数

(注：是自然对数的底数)

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.

【答案】（1）解：，

①若，则，所以在上单调递增；

②若，

当时，单调递减，

当时，单调递增.

综上可得，时，在上单调递增；

时，函数的单调减区间为，单调增区间为

（2）解：有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，

令，则，

记，

记，

又，所以时，时，，

则在单调递减，单调递增，，

.

即实数的取值范围是

（3）解：有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.

由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，

，

注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，又由知，

，

要证，只需，

且关于的函数在上单调递增，

所以只需证，

只需证，

只需证，

，只需证在时为正，

由于，故函数单调递增，

又，故在时为正，

从而题中的不等式得证.

【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值

【解析】【分析】（1）先对函数求导，对b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间；

（2）将问题转化为有两个不同解有2个不同的解，通过换元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围；

（3）当有2个不同零点，则零点一定是正值，设出二正根，构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出