椭圆定点定值专题

一.解答题(共30小题).已知椭圆C得中心在原点,焦点在x轴上,离心率为1，短轴长为4/1,(I)求椭圆C得标准方程；(口)P(2,n),Q(2,-n)就是椭圆C上两个定点,A、B就是椭圆C上位于直线PQ_TOC\o"1-5"\h\z两侧得动点. 一1 A①若直线AB得斜率%，求四边形APBQ面积得最大值；②当A、B两点在椭圆上运动,且满足NAPQ=NBPQ时，直线AB得斜率就是否为定值，说明理由.\o"CurrentDocument"2 2.已知椭圆。:牛七=1(a>b>0)得离心率为9，且经过点【1,,).(1)求椭圆C得方程；(2)已知A为椭圆C得左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点港AM、AN得斜率k15k2满足k]+k2=m(定值mN0),求直线l得斜率..如图，在平面直角坐标系xOy中椭圆E；4g(a>b>0)得焦距为2,且过点(心平).(1)求椭圆E得方程；TOC\o"1-5"\h\z(2)若点A,B分别就是椭圆E得左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P就是椭圆 T上异于A,B得任意一点，直线AP交l于点M. 一一厂令?’(i)设直线OM得斜率为瓦，直线BP得斜率为k2,求证:k1k2为定值； a .(ii)设过点M垂直于PB得直线为m.求证:直线m过定点，并求出定点得坐标. :? :\o"CurrentDocument"2 2 2 I.已知马凸分别就是椭圆刍十三二l(a>b>0)得左、右焦点，半焦距为c,直线x=-'-与ab cx轴得交点为N,满足又£尸2百，|下再|二2，设A、B就是上半椭圆上满足冠二次丽两点，其中[春白.J J JU⑴求椭圆得方程及直线AB得斜率k得取值范围；(2)过A、B两点分别作椭圆得切线，两切线相交于一点P,试问:点P就是否恒在某定直线上运动，请说明理由..在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆七十巳=l(a>b>0)得离心率为4，其焦点在圆x2+y2=1上.(1)求椭圆得方程；(2)设A,B,M就是椭圆上得三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角0,使丽二cde9OA+sine而.⑴求证:直线OA与OB得斜率之积为定值;(ii)求OA2+OB2.2 2 万.已知椭圆目+与1(a>b>o)得左焦点为F(-'回,0),离心率e=-—,M>N就是椭圆上得动点.1b二 2(I)求椭圆标准方程；(口)设动点P满足:0P=。M+2UN,直线OM与ON得斜率之积为-^，问:就是否存在定点用凸，使得IPFJ+IPFJ为定值？，若存在，求出马凸得坐标，若不存在，说明理由.(m)若M在第一象限，且点M,N关于原点对称,点M在x轴上得射影为A,连接NA并延长交椭圆于点B,证明:MNLMB..一束光线从点弓(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0).⑴求P点得坐标;(2)求以FrF2为焦点且过点P得椭圆C得方程；⑶设点Q就是椭圆C上除长轴两端点外得任意一点,试问在x轴上就是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB得斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件得定点A、B得坐标;若不存在,请说明理由.

.已知椭圆以专+今1(。<仆］得离心率为一，且经过点P滔.1).⑴求椭圆C得方程；(2)设直线l:y=kx+t(kN0)交椭圆C于A、B两点,D为AB得中点,kOD为直线OD得斜率，求证:k・kOD为定值；⑶在(2)条件下,当t=1时，若应与而得夹角为锐角，试求k得取值范围.2 2.如图所示，椭圆C：—一4--一屋々1(a>b>0)得焦点为F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),抛物线x2=2py(p>0)得焦点与F1重合，过F2得直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A,B两点，且百二工丽.(1)求证:切线l得斜率为定值;(2)当入42,4］时，求椭圆得离心率e得取值范围.2 2.已知椭圆三十j=l(a>b>0)得右焦点为耳(2,0),离心率为e.⑴若e=，⑴若e=，求椭圆得方程;(2)设A,B为椭圆上关于原点对称得两点,AR得中点为M,BF1得中点为N,若原点O在以线段MN为直径得圆上.①证明点A在定圆上;②设直线AB得斜率为k,若k3'/Q求e得取值范围..在平面直角坐标系xOy中,椭圆巳+g=1(a>b>0)得焦点为片(-1,0),F2(1,0)，左、右顶点分别ab人用,离心率为寸，动点P到FpF2得距离得平方与为6.⑴求动点P得轨迹方程；(2)若C(巧，不),D・飞、不),Q为椭圆上位于x轴上方得动点，直线DM・CN,BQ分别交直线m于点M,N.⑴当直线AQ得斜率为时,求^AMN得面积；(ii)求证:对任意得动点Q,DM・CN为定值..(1)如图，设圆O:x2+y2=a2得两条互相垂直得直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求证：(里)2+(辱)*为定值Rx1.-L2 2(2)将椭圆三+Z?=l(a>b>0)与x2+y2=a2相类比，请写出与(1)类似得命题，并证明您得结论.a2b2

2 2(3)如图，若AB、CD就是过椭圆夫+j=13>6>0)中心得两条直线,且直线AB、CD得斜”b2.2率积口父小昏:一」,点E就是椭圆上异于A、C得任意一点,AE交直线CD于K,CE交a直线AB于L,求证：(野)2+(券)2为定值皿1-L.作斜率为［得直线l与椭圆。三十二二1交于A,B两点(如图所示)，且3 do4P(3,2.另)在直线i得左上方.(1)证明:△PAB得内切圆得圆心在一条定直线上;(2)若NAPB=60°,求△PAB得面积.2 2.设椭圆C:2y+—1(a>b>0)a2b?得左.右焦点分别为FF2,上顶点为A,过点A与AF2垂直得直线交x轴负半轴于点Q,且2爪瓦+壁=6⑴若过A.Q.F2三点得圆恰好与直线l:x-月y-3=0相切,求椭圆C得方程；(2)在(1)得条件下，过右焦点F2作斜率为k得直线l与椭圆C交于M.N两点.试证明:工工T+1工TT为定值;②在x轴上就是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边I??况II?2ml得平行四边形就是菱形，如果存在，求出m得取值范围，如果不存在，说明理由.2 2.已知A,B分别就是椭圆C1」)十『1得左、右顶点,P就是椭圆上异与A,B得任意一点,Q就是双曲线工C2—--^=1上异与A,B得任意一点,a>b>0.(I)若P宝,而,Q("|,1),求椭圆Cl 产力「、得方程； 十［J「予(口)记直线AP,BP,AQ,BQ得斜率分别就是与七尾.求证:瓦42+与44为定值； ——(m)过Q作垂直于x轴得直线l,直线AP,BP分别交l于M,N,判断△PMN就是否可 .一能为正三角形，并说明理由..已知椭圆1十%1得焦点坐标为(±1,0)，椭圆经过点(1,得(1)求椭圆方程；(2)过椭圆左顶点M(-a,0)与直线x=a上点N得直线交椭圆于点P,求口P・口畸值.⑶过右焦点且不与对称轴平行得直线l交椭圆于A、B两点,点Q(2,t),若Kqa+Kqb=2与l得斜率无关，求t得值.2 2 万17.如图,已知椭圆C;七+七尹Ca>b>0)得焦点为F1(1,0)>F2(-1,0),离心率为；,ab 上过点A(2,0)得直线l交椭圆C于M、N两点.(1)求椭圆C得方程;(2)①求直线l得斜率k得取值范围；②在直线l得斜率k不断变化过程中,探究/MF1A与NNF1F2就是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等,说明理由.

2 2.已知椭圆E:三十『1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之与为2•，气离心率为ab工等左、右焦点分别为Fi、点P就是右准线上任意一点，过F2作直线PF?得垂线F2Q交椭圆于Q点.(1)求椭圆E得标准方程；(2)证明:直线PQ与直线OQ得斜率之积就是定值；⑶点P得纵坐标为3过P作动直线1与椭圆交于两个不同点M、N,在线段MN上取点凡满足叫端试证明点H恒在一定直线上.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 2 2.如图,双曲线C1：y-方二1与椭圆C2：Y+：=l(0<b<2)得左、右顶点分别为A]、A2第一象限内得点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A,O为坐标原点.1'^uu+k力力(I)求证:^—~~-为定值(其中表示直线AA1得斜率,A等意义类似)；kpA+kpA? 也hi 出(II)证明:△OAA2与八OA2P不相似.2 2 2 2(III)设满足{(x,y)吃-g=l,xeR,yeR}U{(x,y)片-^->l,xGR,yGR)得正数m得最大值就是b,求b得值.、 TTiJ 工 ,」.已知椭圆得中心在坐标原点O,焦点在x轴上，短轴长为2,且两个焦点与短轴得两个端点恰为一个正方形得顶点.过右焦点F与x轴不垂直得直线1交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆得方程；(2)当直线1得斜率为1时,求^POQ得面积；⑶在线段OF上就是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边得平行四边形就是菱形？若存在，求出m得取值范围；若不存在,请说明理由.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 万21.已知椭圆三十号1(a>b>0)得离心率为1，且椭圆上得点到两个焦点得距离与为褒.斜率为k(k曲)得直线1过椭圆得上焦点且与椭圆相交于P,Q两点，线段PQ得垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(I)求椭圆得方程;(口)求m得取值范围;(m)试用m表示△MPQ得面积，并求面积得最大值.2 222.已知椭圆E:恐十号1Ca>b>0)得左焦点F[(-月，0),若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径得铲b亡圆与线段DF1相切于线段DF1得中点F.(I)求椭圆E得方程；2 29工7(口)已知两点Q(-2,0),M(0,1)及椭圆G1r+q=1,过点Q作斜率为k得直线1交椭圆G于H,K两点,设线段HK得中点为N,连接MN,试问当k为何值时，直线MN过椭圆G得顶点?

Qy4V(印)过坐标原点O得直线交椭圆W上M+”=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴得垂线,垂足为C,连2a2b2接AC并延长交椭圆W于B,求证:PALPB.2 2.已知椭圆三十11 (a>b>0)与圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O得两条切线,切点为A,B.a2b2(1)(i)若圆O过椭圆得两个焦点，求椭圆得离心率e;(ii)若椭圆上存在点P,使得NAPB=90°,求椭圆离心率e得取值范2 ,2围;(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证:一^+上不为定值.|0N|210Ml2.已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为T，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径得圆与直线y=x+2相切.(工)求椭圆得标准方程；(口)设点F就是椭圆在y轴正半轴上得一个焦点，点A,B就是抛物线x2=4y上得两个动点，且满足Q二人施(工〉0),过点A,B分别作抛物线得两条切线，设两切线得交点为M,试推断而■标就是否为定值？若就是，求出这个定值;若不就是，说明理由..已知椭圆得中心为O,长轴、短轴得长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上得两点，且OALOB.(1)求证:」一二为定值;⑵求AAOB面积得最大值与最小值.|0A|loBr2.设FrF2分别就是椭圆号+y2=1得左、右焦点.⑴若P就是该椭圆上得一个动点,求向量乘积西•而得取值范围；(2)设过定点M(0,2)得直线l与椭圆交于不同得两点M、N,且NMON为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l得斜率k得取值范围.⑶设A(2,0),B(0,1)就是它得两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积得最大值.2 227.已知椭圆已十七=1(a>b>0)得左焦点%(-1,0)，长轴长与短轴长得比就是铲b亡(I)求椭圆得方程；(口)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点，若m，n,求证:y[[+元｝]为定值.2 228.已知椭圆岂(a>0,b>。)得左顶点就是A,过焦点F(c,0)(c>0,为椭圆得半焦距)作倾斜角为0得直/bZ2线(非x轴)交椭圆于M,N两点，直线AM,AN分别交直线£3(称为椭圆得右准线)于P,Q两点.c⑴若当e=30。时有MF=3FN,求椭圆得离心率;(2)若离心率e孑,求证:FF・FQ为定值.2 229.已知点P在椭圆C:孑+上二l(a>b>0)上,FrF2分别为椭圆C得左、右焦点，满足|PFJ=6-|PF2|,且椭圆C得离心率为T.(I)求椭圆c得方程;

(口)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直得直线l与椭圆C相交于两个不同点M.N,在x轴上就是否存在定点G,使得GM・GN为定值.若存在,求出所有满足这种条件得点G得坐标;若不存在，说明理由.30.如图,已知椭圆吗己b2-1(a>b>0)得离心率为呼，以椭圆C得左顶点T为圆心作圆T:(x+2)230.如图,已知椭圆吗己b2- Z0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C得方程;(2)求TM，T帽最小值，并求此时圆T得方程;参考答案与试题解析⑶设点P参考答案与试题解析⑶设点P就是椭圆C上异于M,N得任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点，求证:|OR|・|OS|为定值.一.解答题(共30小题).已知椭圆C得中心在原点,焦点在x轴上,离心率为^，短轴长为4丘.(I)求椭圆C得标准方程；(口)P(2,n),Q(2,-n)就是椭圆C上两个定点,A、B就是椭圆C上位于直线PQ两侧得动点.①若直线AB得斜率为J，求四边形APBQ面积得最大值；②当A、B两点在椭圆上运动②当A、B两点在椭圆上运动,且满足NAPQ=NBPQ时，直线AB得斜率就是否为定值，说明理由.解:(I)设C方程为卷+产1(a>b>0)由已知b=2,；3,离心率已广—♦a2二卜之十C“„.(3分)2 2得a=4,所以椭圆C得方程为生:为二1…(4分)(口)①由(I)可求得点P、Q得坐标为P(2,3).Q(2,-3),则|PQ|=6,

TOC\o"1-5"\h\z2 2设人⑶以屈氏心）,直线AB得方程为叶t,代入轰+61,,■1■ LL町十町二一t得x2+tx+t2-12=0由AM,解得-4<t<4,由根与系数得关系得 飞.叼二t-12四边形APBQ得面积S=1c6X|叼-|=3工8-3tJ（6分）故，当t=0时,S111aH=12•.月…（7分）②NAPQ=NBPQ时,PA、PB得斜率之与为0,设直线PA得斜率为k,2则PB得斜率为-k,PA得直线方程为y-3=k（x-2）与为二1,8C2k-3)k联立解得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0,K1+kk 大—….(9分)1d3+4.八、、巾 一3(2k+3)kTOC\o"1-5"\h\z同理PB得直线方程y-3=-k(x-2),可得町+k尸 F—-48k 7.(113+4k-48k 7.(113+4kz所以其1+Ko- o,冥11e3+4k2 1y!_y2k（叼-2）+3+k（叼-2）-3k1町+西征一北一工北1分）卜/不二一一丁丁 二工「工--班二所以直线AB得斜率为定£…（13分）2.已知椭圆C；七+/1Ca>b>0）得离心率为卷，且经过点CL卷）.⑴求椭圆C得方程；（2）已知A为椭圆C得左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点港AM、AN得斜率k15k2满足k1+k2=m（定值mN0）,求直线l得斜率.解:（1）:椭圆离心率为吉,「•J君,，a=2c,b=，:式2分）又椭圆经过点C1,1）解得c=1,「.5工b二3（3分）•••椭圆C得方程就是［+"二1…（4分）（2）若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意 ...（5分）设直线方程为l:y=k（x-1）,M（x1,y1）,N（x2,y2）・匕+%「・k=3.如图，在平面直角坐标系xOy中椭圆E;45(社〉心。)得焦距为2,且过点(巧，。.「•k]+k2=二],a2=b2+1.2解:(1)由题意得2c=2,「.c=1,X^a,⑴求椭圆E得方程；(2)若点A,B分别就是椭圆E得左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P就是椭圆上异于A,B得任意一点，直线AP交l于点M.(i)设直线OM得斜率为瓦，直线BP得斜率为k2,求证:k1k2为定值；(ii)设过点M垂直于PB得直线为m.求证:直线m过定点，并求出定点得坐标.消去a可得,2b4-5b2-3=0，解得b2=3或/二一,(舍去)，则a2=4,■La「•椭圆E得方程为］(2)(「•椭圆E得方程为］(2)(i)设P(X1,y1)(y产0),M(2,y0),则k・叫间)在椭圆上,「•2-yL 』一町2-(ii)直线BP得斜率为均二不，直线m得斜率为则直线m得方程为2-盯 2-xi 2一芯12（2-町y-yn= （耳一2），产 （工一2）+了力二 3- 工1+2°yi yi °yi y工1+2,J-4） 2-a2（盯2-4）4-12-3xJ2-（宜］+2）%（冥］+2）了］所以直线m过定点(-1,0).2 2 24.已知F1,F2分别就是椭圆三+j=l(a>b>0)得左、右焦点，半焦距为c,直线x=-Jx轴得交点为N,满足|下再|二工设A、B就是上半椭圆上满足欣二人而得两点，其中虱e［春与⑴求椭圆得方程及直线AB得斜率k得取值范围；(2)过A、B两点分别作椭圆得切线，两切线相交于一点P,试问:点P就是否恒在某定直线上运动，请说明理由.解：(1)由于记瓦二2丽］，|正再|=2,2c=FLF21=2J+讯1=1ta2=b2+c2.解得a2=2,b2=1,从而所求椭圆得方程为*+—=1.丁欣二X■血，，A,三11三点共线，而点N得坐标为(-2,0).设直线AB得方程为y=k(x+2)，其中k为直线AB得斜率，依条件知kN0.消去x得?厂2)由，二2,即^一步2二Q.根据条件可知A=")23答〉0解得0<1klet，依题意取根据条件可知A=")23答〉0解得0<1klet，依题意取0<上<1.设AM'yp,BGy)则根据韦达定理，得了4k2k21+y2= j'/1y2"1 '2kz+l1'2kz+l又由NA二人KB,得（x1+2,y1）=Mx2+2,y2）由于/M由于/M入《｛，所以巾'(入)<o.・•.8人)就是区间氐,上得减函数，从而QC-) ・•.8人)就是区间氐3 3 5即手小(24鲁.•肯式一^〈卷解得等"k|<^0<k<¥.•一<k号.3 5 32kz+l58 2 26 2故直线AB得斜率得取值范围就是[[,1].(2)设点P得坐标为(x0,y0),则可得切线PA得方程就是V-兀二一力-〔工一叼),2yl而点人⑶5)而点人⑶5)在此切线上，有了I-yQ=-篁0)即xoxi+2yoyi=x/+2yF又丁A在椭圆上,，有x0x1+2yoy=2,①同理可得xQx2+2y0y2=2.@根据①与②可知直线AB得方程为,x0x+2y0y=2,而直线AB过定点N(-2,0),A-2x0=2x0=-1,因此,点P恒在直线x=-1上运动.5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆一^+，二l(a>b>0)得离心率为*，其焦点在圆x2+y2=1上.⑴求椭圆得方程；(2)设A,B,M就是椭圆上得三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角0,使加二0口吕9OA+sine而⑴求证:直线OA与OB得斜率之积为定值；TOC\o"1-5"\h\z(ii)求OA2+OB2. _解:(1)依题意，得c=1.于就是,a='*,b=1. ...(2分)J2所以所求椭圆得方程为)■+y=1..(4分)(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),2 2则/号1①£+.=1②.__ __ _，直二戈]。口占日+ 富isifi8又设M(x,y),因0M二se8 口包+乳口6叫故 口.口 .(7分)尸y产口£0+y2sm0.1(yhCos9+K^sinS)2 9因M在椭圆上，故—— 尸 —:(yl>cos6+y2sin9)=12 2整理得（得+了：）cos20+（申+了：）sin2S+2（；2+兀¥,cosSsin6=1 耳1D将①②代入上式，并注意35杀出”0,得一--+y1y2=0.所以,如世初二芸，:一段为定值.…（10分）TOC\o"1-5"\h\z2 25）（兀冷）2=（一 二二:•仔（1-F，（1-螳二1-（ 故yi2+y22=L又（得+yj）+（.+■）二工，故xj+x22=2.所以QAZ+OB吆xJ+yJ+xj+y/uS....（16分）\o"CurrentDocument"2 2 万6.已知椭圆岂^+二=1（a>b>ci）得左焦点为F（-1.：2,0）,离心率e=——,M>N就是椭圆上得动点.I/ 2（I）求椭圆标准方程；（口）设动点P满足:口P二，1+20N,直线OM与ON得斜率之积为-弓，问:就是否存在定点用凸,使得IPFJ+IPFJ为定值？，若存在，求出F15F2得坐标，若不存在，说明理由.（m）若M在第一象限，且点M,N关于原点对称,点M在x轴上得射影为A,连接NA并延长交椭圆于点B,证明:MNLMB.（I）解:由题设可知:三正，a=2,c=6…2分-b2=a2-c2=2…3分「•椭圆得标准方程为:[+^=1.4分①…5分（口）解:设PWpyp'Mlxpy’Mxz,yz）,由。P=0M+2口①…5分 一…、一，1 ,一“2 1 _ ..由直线OM与ON得斜率之积为一祗可得:一一点即xp2+2y1y2=0②…6分由①②可得:xP2+2yP2=（x12+2y12）+（x22+2y22）「M、N就是椭圆上得点,「•x12+2y12=4,x22+2y22=44了I•=xP2+2yP2=8^彳+才=1…、、8分由椭圆定义可知存在两个定点F1（-2,0）,F2（2,0），使得动点P到两定点距离与为定值4■门;…、9分;（印）证明:设乂区必通区心）,则x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,x1^x2,A（x1,0）,N（-x1?-y1）.>>10分 . 为了/了1_由题设可知1AB斜率存在且满足kNA=kNB,A-一二一-一.…③巳工]X--I।K।V1kMN・kMB+l=£2（V+/）y-y Q［函）-将③代入④可得:kMN-kMB+1= ——・^+1=---5-3——⑤…、13分沟十工］叼工1 ±2—戈］♦ …/ 2 （4+£?，-（x?+2y?）丁点M，B在椭圆号+春二1上,,kMN-kMB+1=~j-—0-kMN*kMB+1=0…kMN*kMB=-1・••MNLMB...14分.7.一束光线从点弓(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0).⑴求P点得坐标；(2)求以FrF2为焦点且过点P得椭圆C得方程；⑶设点Q就是椭圆C上除长轴两端点外得任意一点,试问在x轴上就是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB得斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件得定点A、B得坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设F1关于l得对称点为F(m,n),则等二一且2•三二一各3F,ni+1Z£ £解得肝即f(Y，3).5 5 5 5（2）因为PF1=PF根据椭圆定义,得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2='（_-1_1）+（看一0）=2；1所以a=；2.又c=1,所以b=1.所以椭圆C得方程为己■+/=I.(3)假设存在两定点为A(s,0),B(t,0),使得对于椭圆上任意一点Q(x,y)(除长轴两端点)都有kQjkQs=k(k为定值),即=k,>y2=l-［代入并整理得K-SK-t 2Ck+-j^)J-k(s+t)冗+kst—1二0(*).由题意,(*)式对任意x&-12月)恒成立，M二。所以k年+t)二。,kst-1=0所以有且只有两定点(门,0),(-其0),

使得kQt,kQs为定值-吉..已知椭圆7J?(0<m<n)得离心率为£，且经过点F燃.1).iTi，门工 3 £⑴求椭圆C得方程；(2)设直线l:y=kx+t(kN0)交椭圆C于A、B两点,D为AB得中点,kOD为直线OD得斜率，求证:k・kOD为定值;⑶在(2)条件下,当t=1时，若小与而得夹角为锐角，试求k得取值范围.n2-m23解:(1)根据题意有:•••椭圆C得方程为•••椭圆C得方程为J+(=1(2)联立方程组=1消去y得:(4+k2)x2+2kx+t2-4=0①设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点坐标为(x0,y0)―町十”一人，,.41则有：为一^——4十kT/口一k町+t一二射浒个:一/故炉k⑪二一兴二一日为定值(3)当射浒个:一/故炉k⑪二一兴二一日为定值(3)当t=1时,①式为(4+k2)x2+2kx-3=0•••y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1 ■■I 1- * ■- _若口A与QB得夹角为锐角，则有0A•0Rrj武为y2>0,即jz；:>0,解得一代］且kN0,・•・当kG(-}0)U(。，时，赢与而得夹角为锐角

2 2.如图所示，椭圆C：/^一十理一厂1(a>b>0)得焦点为F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),抛物线x2=2py(p>0)得焦点与F1重合，过F2得直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A,B两点，且jB二入AF⑴求证:切线l得斜率为定值；(2)当M[2,4]时，求椭圆得离心率e得取值范围.2-一屋々I(a>b>0)得焦点为F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),抛物线P:x2=2py(p>0)得焦点与F1重合，・•.：二L抛物线P：x2=4cy.设过F2得直线l得方程为y+c=kx,与抛物线联立，可得x2-4kcx+4c2=0,丁过f2得直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，.・•△=16k2c2-16c2=0,k>0k=1,即切线l得斜率为定值；"②(2)解:由(1)，可得直线l得方程为y=x-c/弋入椭圆方程可得(a2+b2)x2-2b2cx+b2c2-a2b2=0"②设A(x1，y1),B(x2，y2),则叼+K?二专;1■①,叼工之二"•二x2=-入X]③由①②③可得2屋2由①②③可得2屋2彳<0<e<1「•椭圆得离心率e得取值范围就是1/.已知椭圆日+上二l(a>b>0)得右焦点为耳(2,0),离心率为e.⑴若《二”,求椭圆得方程；(2)设(2)设A,B为椭圆上关于原点对称得两点,AR得中点为M,BF1得中点为N,若原点O在以线段MN为直径得圆上.解:(1)由已-==-,0=2,得a=2；2,b=•:九2—0==2故所求椭圆方程为看+。.,盯+2了］、 /一叼了］(2)设人区5)，则B(-x^-y»，故MC——，下)，N(---，一亍①由题意，得而▼砺二口.化简，得其+了；二&,.••点A在以原点为圆心,2为半径得圆上.「e4-2e2+1>0,k2>0,「.2e2-1>0,「.巳©Q2,2将已k-,b="aa4丑-4,代入上式整理，得k2(2e2-1)=e4-2e2+1;e2才~1故离心率得取值范围就是；-3-1］.直2y2 V3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆个+t=1(a>b>0)得焦点为R(-1,0),F2(1,0)，左、右顶点分别为人8离心率为一,动点P到F1,F2得距离得平方与为6.⑴求动点P得轨迹方程；(2)若c1巧，；73),D〔―石，，二弓)，Q为椭圆上位于x轴上方得动点，直线DM・CN,BQ分别交直线m于点M,N.⑴当直线AQ得斜率为总时，求AAMN得面积;(ii)求证:对任意得动点Q,DM・CN为定值.(1)解:设P(x,y),则FF12+PF/二6,即(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=6,整理得,x2+y2=2,所以动点P得轨迹方程为x2+y2=2….(4分)U(2)解油题意知,1_V| ，解得，所以椭圆方程为1+〈=1. .(6分)则A(-?，Q)声(.己。)，设Q(xo，yo),yo>0,则3T,二6,

直线AQ得方程为广三与直线AQ得方程为广三与缶+反），令尸石得几十3,回）（L巧），令尸月得（L巧），令尸月得N（直线BQ得方程为产』（i）当直线（i）当直线AQ得斜率为吉时有，消去xo并整理得,11yJ-8By0二口,解得益』或町+V522笈口43yq=5y0=0（舍），…（10分）所以AAMN得面积・・.(12・・.(12分)S△加等乂MN等MI—.V3s.V3s0-V3y0+3厂11«町+31.V3KO+V3y0-3li।(ii)DM=| +；31=1 I,CN=| ；-'3I=I,Vs^o+s,,Vs^o+s,,Vs所以DM・CN二| 几H一 q „所以对任意得动点Q,DM・CN为定值，该定值为彳. ・（16分）.（1）如图，设圆O:x2+y2=a2得两条互相垂直得直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求证：里）2+（9*为定值hh1..LTOC\o"1-5"\h\z2 2（2）将椭圆三+Z?=l（a>b>0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似得命题，并证明您得结论.a2b22 2（3）如图，若AB、CD就是过椭圆巳+々=13>6>0）中心得两条直线,且直线AB、CD得斜率积k杷…©尸一，点ab aE就是椭圆上异于A、C得任意一点,AE交直线CD于K,CE交直线AB于L,求证：（当）2+（券）,为定值.皿C.L

解解：(1)如图所示，过点E作EFLAB,垂足为F点，答：;CD±AB,aEFIICD,-EK_FOEL_EF , ,AEOACLCO又EF2+FO2=OE2=a2,，(吗2+(吗2二(四),(型)仃口飞吃金=1.为定值AKCLOACO相”2 2(2)如图,设椭圆三+J=l(a>b>0)椭圆得长轴、短轴分别为AB、CD,E在椭圆得BD部分上,AE交CD于K,CEa2b2证明:过点E作EFLAB,垂足为F点,;CD±AB,aEFIICD,EKFOELEF,AEOACLCO噜)2+警—哼+旨.为定值(3)如图所示，过点E分别作EFIICD交AB与点F,EMIIAB交直线CD于点M.-EKFOELJO一,一.KAAOCLCO设A(X1,y1),C(x2,y2),D(-X2,-y2),B(-X1,-y1).E(x0,y0).则当落b2设直线AB得方程为y=kx(h6),则直线CD得方程为产-%,.直线EF得方程为厂九二一七一屋一町)，直线EM得方程为y-y0=k(x-x0).3.Ka2a2kyn+b2s解得xF=-六一二，解得，解得Xm产舞-4町） ak+b解得合解得合M；，解得天，解得天.2二”/ak+b同理同理2，为定值，为定值.13.作斜率为《得直线l与椭圆C:三十一二1交于A,B两点（如图所示），且P巧）在直线i得左上方.3 do4⑴证明:△PAB得内切圆得圆心在一条定直线上；（2）若NAPB=60；求△PAB得面积.⑴证明:设直线l：y=7；i+ir,A(x1,y1),B(x2,y2).将尸-^工+^弋入三^2-：］,中，化简整理得2x2+6mx+9m2-36=0.JJo4- 9m- 9m2-38y1-V2 -V2于就是有工廿行二一瓦，盯行二卫「上骷二小工，昨f■；。^.则_（%一近）（,2一3的）+（甲2-迎）（叼一3五），~ ，、八五）（k2-372）上式中，分子=（!盯+m—W）（工2一3：万［十］］工2十口一；》）（H1一3；5）如心十（皿-2石）（叼+上）一S®（m-亚=（-3口）-6遍（m-近）=3m2-12-3m2+6Qm-6Q/12:0,从而,kPA+kPB=0. _又P在直线l得左上方,因此/APB得角平分线就是平行于y轴得直线，所以APAB得内切圆得圆心在直线，二3••巧上.（2）解:若NAPB=60°时，结合（1）得结论可知；耳，kpB=-巧.直线PA得方程为:了一年二巧（耳一3巧），代人看+（二1中，消去y得14/+9用（1-3,屈什12（13-3*）=0.它得两根分别就是x1与3，过所以町畤.■;2=—立「即广至u.所以|PA|=：1+（门）2•IX1-3,'21=3、（尸".同理可求得|PB|二\、一1）.y1|DR|…d1瓦万〔瑞守1）又打（久年-1）V3117^3--Sapae=y|FAI“PEI-sineo瓦 • • • •f=FT.2 214.设椭圆C:丹+W=1（a>b>0）得左.右焦点分别为FF2,上顶点为A,过点A与AF2垂直得直线交x轴负半轴于点abQ,且2一%+%口=0.⑴若过A.Q.F2三点得圆恰好与直线l:x-,门y-3=0相切,求椭圆C得方程；（2）在（1）得条件下，过右焦点F2作斜率为k得直线l与椭圆C交于M.N两点.试证明［7%+旨位为定值;②在x轴上就是否存在点P（m,0）使得以PM,PN为邻边得平行四边形就是菱形，如果存在，求出m得取值范围，如果不存在，说明理由.

解：(1)由2F1F2+F2Q=。知:F1为F2Q中点.又「?2a_Laq,「•IF]「•IF]QI=IF1AI=IFF2I，即F1为工AQF2得外接圆圆心而|F1A|=a,|F[F2|=2c,「.a=2c,又圆心为(-c,0),半径r=a,••・所求椭圆方程为［二10分）(2)①由(2)①由(1)知F2(1,0),y=k(x-1),'产k(x-1)v2 ，代入得(3+4卜2、2-8k2x+4k2-12=0,T=1设M(x1,y设M(x1,y1),N(x2,y2)，则算]+K二Sk24k2-123+4k''叼'23十4k2,又「又「IF2MLa-expIFzNLa-ex2,一|F加一|F加十|F#!|二a-巳戈ia-ex2a2-ae工［+叼 / 3+41?一.工小口3+4k 4 3+4k3,为定值 / 3+41?一.工小口3+4k 4 3+4k3,为定值.（10分）②由上可知:y1+y2=k(x1+x2-2),FM+PN=(u2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2),由于菱形对角线垂直，则（PM+PM）:。,故k(y1+y故k(y1+y2)+x1+x2-2m=0厕k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0,-2正。,由已知条件知kN0且kGR,故存在满足题意得点P且得取值范围就是mC^.（15分）2 215.已知A,B分别就是椭圆C1:弓十堂1得左、右顶点,P就是椭圆上异与A,B得任意一点,Q就是双曲线C2r一气2 215.已知A,B分别就是椭圆C1:弓十堂1得左、右顶点,P就是椭圆上异与A,B得任意一点,Q就是双曲线C2r一气=1上异与A,B得任意一点,a>b>0.(I)若P4,月),Q(1,1),求椭圆C］得方程;(口)记直线AP,BP,AQ,BQ得斜率分别就是占上2,%扁，求证:占42+%44为定值；(m)过Q作垂直于x轴得直线1,直线AP,BP分别交l于M,N,判断APMN就是否可能为正三角形,并说明理由.解答： - 2 2 2 2(I)解:「P(手，丙在椭圆孑十三二1上,Q碌1)在双曲线孑一七二1上,上 ab 上 ab则①+②x3得:：%=4,a2=5,把a2=5代入①得,b2=4.,所以椭圆Cl得方程为1+亍=1(口)证明:由A(-a,0),B(a,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),k.•k9+k3*k4= ・ + ・ 1234Xj+a鼠 s2+a-a「设「(巧，丫日在椭圆孑十%=1上,Q(x2，y2)在双曲线当一七二1上,ab ab，y/=^a a2 2 2 2则k1»则k1»k2+k3»k4=所以k1•k2+k3•k4为定值；(m)假设△PMN就是正三角形,「.NMPN=NPMN=60°,此时又此时又;MN±x轴,...NPAN=30°,NPBA=30°,・•.△PAB为等腰三角形,.••点P位于y轴上，且P在椭圆上,•••点P得坐标为(0,土b),即a=综上,即a=综上,当a=：：3b,且点P得坐标为(0,土b)时,△PMN为正三角形.216.已知椭圆巳a号1得焦点坐标为(±1,0)，椭圆经过点(1,2最b金 工(1)求椭圆方程;(2)过椭圆左顶点M(-a,0)与直线x=a上点N得直线交椭圆于点P求QP*8得值.⑶过右焦点且不与对称轴平行得直线l交椭圆于A、B两点,点Q(2,t),若Kqa+Kqb=2与l得斜率无关，求t得值.解:(1)由题意得，1+1口解得a2=2,b2=1故椭圆方程为(2)设N(.(2)设N(.2，n),P(X,Y)则MN得方程为产玲(叶巧)由・品3后龄之 得(4+皿2) 2K+2皿2-8二0由韦达定理得冗-/二由韦达定理得冗-/二'1'J所以算旦2―2■代入直线方程得4十/p(o^!4+ID)，0N)，0N二(耳，m)—»—,■目-2in?•・・0P.0N= 丁4+ro2(3)AB得方程为x=my+1,设A(e,f),B(g,h)「直二叫斗］.由“得得得得(m2+2)y2+2my-1=0由“E+y与—,2nle-1所以f+h= —,fh=-5一m+2m+2_f_th-tf-th-t□A*QBe-2+g-2mf-1+nh-12mfh_(nrt+1)(f+h)+2t= 1112fh—m(f+h)+1:K:KQA+Kqb=2与l得斜率无关「.2t=2,即t=1.217.217.如图,已知椭圆C；今a得焦=1Ca>b>0)得焦点为F1(1,0),F2(-1,0),离心率为三?，过点A(2,0)得直线l交椭圆b 上C于M、N两点.⑴求椭圆C得方程；(2)①求直线l得斜率k得取值范围；②在直线l得斜率k不断变化过程中,探究/MF1A与NNF1F2就是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等,说明理由.解:(1)解:(1)由已知条件知,-1,2等,解得平又b2=a2-c2=1,所以椭圆C得方程为看+y2=l;(2)设直线l得方程为y=k(x-2),联立，得(1+2k2)x2-8k2x+8k2=2=0，①

联立由于直线l与椭圆C相交，所以△=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得直线l得斜率k得取值范围就是一-^<k<£;②乙MF②乙MF1A与NNF1F2总相等.证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则宜1+欠2- 9,宜1戈？二 Q,1十2k2 1十zd所以tanNMF所以tanNMF1A-了1 /2k(町-1)(tanNNF1F2=*1+卜nf1=,]_J叼_广16k16k2-4_24k2 .山町小-3(芯if)+4] 'i+» l+2k2(^-DCx2-D-Q7l)(工厂1)二所以tanNMF1A=tanNNFF2，又NMF1A与NNF1F2均为锐角，所以NMF1A=NNF1F2.2 2 r18.已知椭圆E:%十・1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之与为2•用离心率为，左、右焦点分别为用可点Pa2b2 3就是右准线上任意一点，过F2作直线PF2得垂线F2Q交椭圆于Q点.⑴求椭圆E得标准方程；(2)证明:直线PQ与直线OQ得斜率之积就是定值；⑶点P得纵坐标为3,过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N,在线段MN上取点H,满足强T，试证明点H恒PNHN在一定直线上.解:(1)解:(1)由题意可得‘。二2追巳日奇 ，解得a=-.-;l,c=1b=^g2所以椭圆所以椭圆E：］2(2)由(1)(2)由(1)可知:椭圆得右准线方程为新工二3,C设P(3，yo)，Q(X1，y1)，I 兀了1 甲口了1因为PF2U2Q，所以4型正・『二一尸所以-yiy0=2（xi-1）又因为kpQ'koq叼一3it

1又因为kpQ'koq叼一3it

1一汽口且月二2(1-y)代入化简得如“kg二一5即直线PQ与直线OQ得斜率之积就是定值一之(3)设过P(3,3)得直线l与椭圆交于两个不同点M(x1,y1),N(x2,y2)，点H(x,y),则24+3了：=6,2$+3益6.设普卷二人,则而二一人画，而二人而，rl'Jnl'J「•(3-x],3-y1)=-入(x2-3,y2-3),(x-x1?y-丫俳入氏-x,y2-y)整理得3二町］_整理得3二町］_ 工2*巧一入万一产々一3一1八''1+3・・从小车手V1-九V1-X2由于2工：+为3,2城+3说=6,，我们知道着与得系数之比为2:3,x/以得系数之比为2:3.2x?-2k2x|+3y?-3X2y^2i?+3y?-”(2/+3t|)•••小柿 rv 二 f 茨所以点H恒在直线2x+3y-2=0上.19.如图,双曲线C1：y-7二1与椭圆C2:亍+==l(0<b<2)得左、右顶点分别为A］、A2第一象限内得点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A,O为坐标原点.1'^UU4kG在(I)求证:^―--为定值(其中表示直线AA1得斜率,A等意义类似)；kpA］+kp乩工(II)证明:△OAA2与八OA2P不相似.2 2 2 2(III)设满足{(x,y),-%二l,xCR,yeR}U{(x,y)片- >l,xGR,yGR)得正数m得最大值就是b,求b得值.廿 TTi匚 吐 ,」

(I)解:由已知得A1(-2,0),A2(2,0).设AW^yJP%%)，由题意知(I)解:由已知得A1(-2,0),A2(2,0).设AW^yJP%%)，由题意知A、P均在第一象限,而Q、O、A、P在同一直线上，所以x1y2=x2yl(定值)...(4分)故2O〈t〈l,P(x,y),则A(tx,ty)且kp/+kpA(II)证明:设质二十而,2 2所以f,(t)=(2-1)一(2+-y<。恒成立,，函数f(t)在区间(0,1)上就是减函数,>-« 2 「〕也I因此当0Vt<1时,f(t)>f(1)= +(2+^--4=0,即-^>—2 20A2 0?故:△OAA2与八OA2P不相似….(9分)・・・{(x,y)W(III)解油=-七二1得/J(1+匕)，由号-今得工2>}・・・{(x,y)W一g二l，xCR,yeR}U{(x,y)l亍一^->l,xGR,yGR}I因此VyN0,\一当《当苴一 0^m2<3所以b=巧因此b得值为-1.(13分)20.已知椭圆得中心在坐标原点O,焦点在x轴上，短轴长为2,且两个焦点与短轴得两个端点恰为一个正方形得顶点.过右焦点F与x轴不垂直得直线l交椭圆于P,Q两点.⑴求椭圆得方程；(2)当直线l得斜率为1时,求^POQ得面积；⑶在线段OF上就是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边得平行四边形就是菱形？若存在，求出m得取值范围;若不存在,请说明理由.2 2解:(1)由已知，椭圆方程可设为三+号1Ca>b>0).(1分)a2b2;两个焦点与短轴得两个端点恰为正方形得顶点，且短轴长为2,...b=c=l,a=所求椭圆方程为女+/二1.(4分)(2)右焦点F(1,0)，直线l得方程为y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由，二2得3y2+2y-1=0，解得打工-1,n二三..⑶一万马⑼一空1=!(9分)⑶假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ为邻边得平行四边形就是菱形.因为直线与x轴不垂直,所以设直线l得方程为y=k(x-1)(kN0).|[K2+2y2=2由4 可得(1+2卜2、2-4k2x+2k2-2=0.、产k(耳-1)一.尔—5k2-22l+2k?' 12l+2k2MP二【盯一m,y]),MQ=1,工一m,y2),PQ二(,工一h—/工一了1).其中x2-x产0以MP,MQ为邻边得平行四边形就是菱形O(而十血)1PQ吟(而十位〕•瓦二°Q(x1+x2-2m,y1+y2Kx2-x1,y2-丫1)=00区+乂2-2m)(x2-乂,+%+丫2)。？-丫1)=00区+乂2-2m)+k(y[+y2)=0O(4k「2m)+k2(4k「2)=0^2k2-(2+4k2)m=0^nFk (k卢0).1十2r 1十2k2 1十2H.rn^~^.(14分)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 万21.已知椭圆七十与1(a>b>0)得离心率为《，且椭圆上得点到两个焦点得距离与为2反斜率为k(kN0)得直ab 2线l过椭圆得上焦点且与椭圆相交于P,Q两点，线段PQ得垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(I)求椭圆得方程；(口)求m得取值范围；(印)试用m表示△MPQ得面积，并求面积得最大值._ _ _解:(I)椭圆上得点到两个焦点得距离与为2V反即2a=2V’2..a=巧

喙即当椭圆三叶

月二工厂1（a>b>0）得离心率为b喙即当椭圆三叶

月二cV2一二 ,又「a2=b2+c2,.,.b=l.又斜率为k（kNO）得直线1过椭圆得上焦点，即椭圆得焦点在Y轴上2「•椭圆方程为方+J=].（口）设直线1得方程为y=kx+l,由可得(k2+2)x2+2kx-1=0.设P(Xi，yi),Q(X2，y2)/>U=8k2+8>0-2k_ 1了（口）设直线1得方程为y=kx+l,由可得(k2+2)x2+2kx-1=0.设P(Xi，yi),Q(X2，y2)/>U=8k2+8>0-2k_ 1了1十'9~9，篡1,n-n•''k^+21d kz+24+〔盯+工J+2二一^ ,一k7设线段PQ中点为N,则点N得坐标为（^―，^―）,1C+2kz+22k+27M(0,m)/.直线MN得斜率k4N-——~"

M1N 区k2+2直线MN为PQ得垂直平分线,「.Oyku-1,2击k+4_1 1可得一r一0--1.即用一4 /十2kz+2又kAO,「.k2+2>2,•••即口<nK工k2+22 2（印）设椭圆上焦点为F,•••y轴把△PQM分成了△PMF与AQMF,SAMPQ=SAPMF+%MF^FM"m4|FMIIx2U|FMI(|X1I+Ix2I)P,Q在y轴两侧,•./X]i+ix2l=ll(X]-x2)Sampq=1・囱H町一叼「：卜（岛1）q（好+2）由nF—一，可得k2+2」.又,「|FM|二1-m,「.S△皿口 (1—m).：班(1一m)二；2nl(1一ni),「.△MPQ得面积为旧.,(「□)%<*).设f(m)=m(1-m)3,贝Uf(m)=(1-m)2(1-4m).予短.此时△MPQ得面积为［受x］瑞上下可知f（m）在区间卬,予短.此时△MPQ得面积为［受x］瑞上下・•.f(m)=m(1-m)3有最大值f)4・•.△MPQ得面积有最大值爷.2 222.已知椭圆E-F^lCa>b>0）得左焦点F［（-尺，。），若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径得铲b亡圆与线段DF1相切于线段DF1得中点F.（I）求椭圆E得方程；gJy2（口）已知两点Q（-2,0）,M（0,1）及椭圆G—十七二1,过点Q作斜率为k得直线l交椭圆G于H,K两点,设线段HK得铲b2中点为N,连接MN,试问当k为何值时，直线MN过椭圆G得顶点？2 2，一一， 9x 4v一 -- ,（印）过坐标原点O得直线交椭圆W-十制■二1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴得垂线,垂足为C,连bz接AC并延长交椭圆W于B,求证:PALPB.解:（I）连接DF2,FO（O为坐标原点,F2为右焦点）,由题意知:椭圆得右焦点为功（四，0）因为FO就是△DFF2得中位线，且DFJFO,所以IDF2l=2IFOI=2b,所以|DFJ=2a-|DF2|=2a-2b,故lFF1 |DF1l=a-b,^（2分）在R3FOF1中,忻口|"|FF］|2二|网0|2即b2+（a-b）2=c2=5，又b2+5=a2,解得a2=9,b2=4,所求椭圆E得方程为［二1.…（4分）（口）由（I）得椭圆G:其,心二1

设直线l得方程为y=k（x+2）并代入J=1整理得:(k2+4)x2+4k2x+4k2-4=0由^〉。得：一<k<・・.(由^〉。得：一<k<・・.(5分)设H(x设H(x1,y1),K(X2，y2),N(X0,y0)K0=，则由中点坐标公式得:则由中点坐标公式得:二包…(6分)

k2+4①当①当k=0时,有N（0,0），直线MN显然过椭圆G得两个顶点（0,-2）,（0,2）….（7分）②当kN0时，则x产0,直线MN得方程为，+1此时直线MN显然不能过椭圆G得两个顶点（0,-2）,（0,2）;y0~1若直线MN过椭圆G得顶点（1,0），则0二」一+1,即x0+y0=1,HO所以-2k二所以-2k二1,解得:k=|，k二2（舍去），…（8分）若直线MN过椭圆G得顶点若直线MN过椭圆G得顶点（-1,0），则0=--所以口口1,1r+4 k"+4解得:L二一4+25k=-4-2区舍去）....（9分）综上，当k=0或k段或卜二一奸2月时，直线MN过椭圆G得顶点….（10分）J2（叫法一油（工）得椭圆W得方程吟+/=1,・（11分）根据题意可设P（m,n）,则A（-m,-n）,C（m,0）则直线AC得方程为y+n二卷（好品，…①过点P且与AP垂直得直线方程为了一门二一期Ck-id），…②n①x②并整理得与+/二十+/,又p又p在椭圆w上,所以日^n2=l,J2所以全+y=1,即①、②两直线得交点B在椭圆W上，所以PA±PB..（14分）法二油（法二油（工）得椭圆W得方程为:~+了，根据题意可设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0),

kpji二益七队二五’kpji二益七队二五’所以直线所以直线AC：尸卷2 2 22 2 2化简得J-^x+y-2=0,所以所以1十町二就?”..（12分”..（12分）I因为xA=-m,所以町二组学(，则加二2皿+n所以kpB二所以kpB二2m^+3nin二一3则kPA・kPB=-1,故PA±PB..（14分）2 223.已知椭圆七十号1 (a>b>0)与圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O得两条切线,切点为A,B.a2b2(1)(i)若圆O过椭圆得两个焦点，求椭圆得离心率e;(ii)若椭圆上存在点P,使得NAPB=90°,求椭圆离心率e得取值范围;『b2(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证十一为定值.|0N|210Ml2（3分）（3分）解:（工）（i）;圆O过椭圆得焦点，圆O:x2+y2=b2,.•b=c,・.b2=a2-c2=c2,「・a2=2c2,(订)由/APB=90。及圆得性质,可得I0P1=•用h,「•|OP|2=2b2空,「.a2<2c2」•/ 告巳<L(6分)（口）（口）设P（x0,y0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,>^整理得x0x+y0y=x12+y12Vx12+y12=b2.二PA方程为：x1x+y1y=b2,PB方程为:x2x+y2y=b2..、,一xix+yiy=x2x+y2y,- z ———,宜2工1yo直线AB方程为1为二-詈（L叼），即x0x+y0y=b2.令x=0，得|0M仁|y|令x=0，得|0M仁|y|二式、;令y=0,得|d|二|x|二1s0b2|0N|210Ml之b4为定值，定值就是彳.（12分）V324.已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为段，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径得圆与直线y=x+2相切.（I）求椭圆得标准方程；（口）设点F就是椭圆在y轴正半轴上得一个焦点，点A,B就是抛物线x2=4y上得两个动点，且满足即二人施（工》。），过点A,B分别作抛物线得两条切线，设两切线得交点为M,试推断标・版就是否为定值？若解：（工）解：（工）设椭圆方程为J+三二l（a>b>0）.（1分）就是，求出这个定值;若不就是，说明理由.,2 2故椭圆得标准方程就是4+]=1（口）由椭圆方程知,c=1,所以焦点F（0,1），设点由AF二入FB,得（-x/-yM入区之-1），所以-乂1=入乂2，1-丫1=入。2-1）.于就是xj=入2x22.因为x12=4y1,x22=4y2，则y「入2y2.联立y]:人2y2与1-y]二人(y2-1),得丫]二入,y2=-^.因为抛物线方程为y=x2,求导得y'=/x.设过抛物线上得点A、B得切线分别为Ipk，则直线l2得方程就是y4x2（x-x2）+y2,即y4x2x-*.直线1直线11得方程就是y=ix1（x-x'+yp即y=^x1x-[xj.联立11与12得方程解得交点M得坐标为11口」,」7上2 2 4因为乂1乂2二-入x22=-4入丫2=-4.所以点M（ . .

25.已知椭圆得中心为O,长轴、短轴得长分别为2a,2b(a>b>0),A,B25.已知椭圆得中心为O,长轴、短轴得长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上得两点，且OALOB.⑴求证:炉定值;(2)求4AOB面积得最大值与最小值.2解：(1)设椭圆方程为三+91,设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx,ab12。，一y2「lOARlOBlk22_,2 2设A(x1,y1),b(x2,y2)^Ey=kx代入当+^= 1得义]2/2,2社b.,2,2,2,^b+2。，一y2「lOARlOBlk22_,2 2设A(x1,y1),b(x2,y2)^Ey=kx代入当+^= 1得义]2/2,2社b.,2,2,2,^b+ak,22,2kab,2,2,b+ak当直线OA,OB其中一条斜率不存在时，则另一条斜率为0此时一三一1厂19TJ产|0A|2|0B|2屋b2相『综上,亦"定值(2)S△AOB4OAIIOBI」.S^2AOB40Al2IOBI2由⑴知舟'|0B|2"^V"2"o；|2|o；|2-|OA|joB|，工aobT0A"瓯咨,，4皿n冶舞占 a+d a+b;"2AOB』IOAI2IOB1210AI2(2、J ：一)△ 4 4 ”+-_ ]a2b2|0A|2

一S/WM综上SaAOB用一S/WM综上SaAOB用in二26.设F1、F2分别就是椭圆号+y2=1得左、右焦点.・•.IOAKa,「.SA2aqb<^⑴若P就是该椭圆上得一个动点，求向量乘积FF1・PF2得取值范围;（2）设过定点M（0,2）得直线l与椭圆交于不同得两点M、N，且NMQN为锐角（其中Q为坐标原点），求直线l得斜率k得取值范围.⑶设A（2,0），B（0，I）就是它得两个顶点，直线y=kx（k>0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积得最大值.解:（i）根据题意易知b=1，c二月,所以F[1-旧，。），F2（解:（i）根据题意易知设P(x,y),则设P(x,y),则^-2<pf1-pf2<i.（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l:y=kx+2，M（xI，yI），B（x2，y2），联立+2_]，消去y，整理得联立+2_]，消去y，整理得：（k23）/十兆冥十3二0,又0°<NMQN<90°ocosNMQN>0q0M'■口N>0,••・xix2+yiy2>0，又yiy2=(kxi+2)(kxz+2)=k2xix2+2k(xi+x2)+4故由①、②得一2<丘<一当故由①、②得一2<丘<一当x2=2y2时，上式取等号.所以S得最大值为21巧.即k2<4,「.-2<k<2.⑶由题设,IBOI=1,IAOI=2.设^y1=kX1，y2=kx2,由乂2>0,丫2=-丫1>0,故四边形AEBF得面积为S=S4bef+S^AEF=xz+2y2=..「百孤)2 227.已知椭圆七十=1(a>b>0)得左焦点F(-1,0)，长轴长与短轴长得比就是/b?(I)求椭圆得方程;(口)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点，若m,n,求证:出। 为定值.2a：2b=2