年中级财务管理讲义系列之四

一. 内容提要本讲内容是辅导教材的第二章第一节的内容( 一)递延年金与永续年金现值计算递延年金现值计算永续年金现值计算( 二)折现率、期间和利率的推算折现率的推算期间的推算名义利率与实际利率的换算二．重点难点1.. 递延年金现值计算 ?永续年金现值计算折现率、期间的推算名义利率与实际利率的换算这部分内容计算占大部分比例 ,在掌握每种形式计算的同时一定要理解计算结果的含义.内容考核经常会以计算题的形式出现 ,计算后可以采用单选题形式考察,也可以采用计算题形式。概念经常以单选题或多选题的形式考核。（一）基本概念1. 递延年金.递延年金是指第一次收付款发生时间与第一期无关 ,而是隔若干期(假设为 m期,m>=1)后才开始发生的系列等额收付款项 .它是普通年金的特殊形式 ,凡不是从第一期开始的普通年金就是递延年金。2. 永续年金.永续年金是指无限期等额收付的年金 .可视为普通年金的特殊形式 ,普通年金的特殊形式 .无限期债券的利息和优先股的股利都是永续年金的例子 .此外,也可将利率较高、持续时间较长的年金视永续年金现值计算 .折现率.折现率即利息率，是衡量资金增值量的相对表示形式，也是资金的增值与投入资金的价值之比。（二）递延年金与永续年金现值计算1. 递 延 年 金 现 值 的 计算?由上图所示可知, 递延年金现值的计算有两种方法 :⑴假设没有收付款项的期数为 m,发生收付款项的期数为

n.计算时可以先计算出m+n期的普通年金的现值 ,然后减去前m期的普通年金现值 ,即可得递延年金的现值 .用公式表示:p=A[(1-(1+i)-(n+nn))/i –(1-(1+i)-m)/I]=A[(p/A,i,m+n)-(p/A,i,m)]⑵将递延年金看成n期普通年金,先求出第m+1期起初时的n期普通年金的现值,然后再折算到第一期期初,即得到n期递延年金的现值.p=A[1-(1+i)-(n-m)]/i[(1+i)-m]=A(p/A,i,n-m)(p/F,i,m)【例题1】某人拟在年初存入一笔资金,以便能在第六年年末起每年取出1000元,至第十年年末取完 .在银行存款利率为 10%的情况下,此人应在最初一次存入银行多少钱?【解析】(1)用第一种方法计算 ,m=5,n=5,所以递延年金现值计算如下 :p=A×(p/A,10%,10) -A×(p/A,10%,5)=1000 ×6.1446-1000×3.7905=2354 元(2). 第二种方法计算 ,先把第六年至第十年发生的款项折算到第六年初 ,然后再把这笔款项折算到起义年初 .具体计算如下:p=A×(p/A,10%,5) ×(p/F,10%,5)=1000×3.7908×0.6209=2354 元．递延年金终值的计算递延年金终值的计算与普通年金相同，前面没有发生收付款的时期不计算，后面发生收付款的时期有几期按期数和折现率计算终值。．永续年金现值的计算由于永续年金持续期无限 ,没有终止的时间 ,因此没有终值 ,只有现值,利率较高、持续期限较长的年金都可以视同永续年金计算 . 永续年金也是普通年金的特殊形式，计算公式由普通年金计算公式 p=A×推导出来，当n趋于无穷时，（1+i）-n=0，所以永续年金现值的计算公式为：p=A/i【例题2】某人持有公司的优先股，每年每股股利为 2元，若此人想长期持有，在利率为10%的情况下，请对该股票进行评估。【解析】这是一个求永续年金现值的问题，即假设该优先股每年股利固定且持续较长时期，计算出这些股利的现值之和就可以评价这些股票是否值得长期持有。该股票的现值为： p=A/i=2/10%=20 元(三) 折现率、期间和利率的推算折现率的推算（利率的推算）复利终值(或现值)折现率的推算根据复利终值的计算公式F=,可得折现率的计算公式为:i=若已知F、p、n不用查表便可直接计算出复利终值（或现值）的折现率。永续年金折现率的推算永续年金折现率的计算也很方便。若 p，A已知，则根据公式 p=A/i 变形即得折算的计算公式： i=A/p普通年金折现率的推算普通年金折现率的推算比较复杂，无法直接套用公式，必须利用有关的系数表，有时还要牵涉到内插法的运用。下面我们介绍一下计算的原理 .实际上,我们可以利用两点式直线方程来解决这一问题 :两点(X1,Y1),(X2,Y2) 构成一条直线,则其方程为:(X-X1)/(X2-X1)===(Y-Y1)/(Y2-Y1)这种方法称为内插法 ,即在两点之间插人第三个点 ,于是对于知道 n,i,F/p这三者中的任何两个就可以利用以上公式求出 .因此，普通年金折现率的推算要分两种情况分别计算，下面着重对此加以介绍。① 利用系数表计算根据年金终值与现值的计算公式 :F=A×（F/A,i,n ） 和 p=A×（p/A,i,n ）.将上面两个公式变形可以得到下面普通年金终值系数和普通年金现值系数公式：（F/A,i,n ）=F/A （p/A,i,n ）=p/A.当已知F，A，n或p，A,n，则可以通过查普通年金终值系数表（或普通年金现值系数表），找出系数值为 F/A的对应的i值（或找出系数值为 p/A的对应的i值）。对于系数表中不能找到完全对应的 i值时，可运用下面的试算内插法计算。②利用内插法计算查表法可以计算出一部分情况下的普通年金的折算率，对于系数表中不能找到完全对应的 i值时，利用年金系数公式求 i值的基本原理和步骤是一致的，以已知p，A,n为例，说明求 i值的基本方法。若已知p，A,n，可按以下步骤推算 i值：计算出p/A的值，假设p/A=α查普通年金现值系数表。沿着已知n所在的行横向查找，若恰好能找到某一系数值等于α，则该系数值所在的行相对应的利率就是所求的 i值ⅲ若无法找到恰好等于α的系数值，就应在表中n行上找到与 α最接近的左右临界系数值，设为β1，2（β1>α>β2,或β1<α<β2）.读出β1,β2所对应的临界利率,然后进一步运用内插法.C.在内插法下,假定利率i同相关的系数在较小范围内线性相关,因而可根据临界系数β1, β2所对应的临界利率 i1,i2 计算出i,其公式为:i=【例题3】某公司于第一年年初借款20000元,每年年末还本付息额为4000元,连续9年还清.问借款利率为多少?【解析】根据题意

,已知

p=20000,A=4000,n=9,

则:p/A=20000/4000=5（p/A,i,n

）=p/A=5查普通年金现值系数表

,当n=9时，i1=12% （p/A,12%,9）=5.3282i= ？ （p/A,i,9 ）=5i2=14% （p/A,14%,9）=4.9164i=13.59%结论:按照以上方法,也可以计算出 F/A的值,然后查年金终值系数表求 i 值.即付年金利率i的计算.即付年金利率 i的计算,同样可以套用普通年金利率的计算方法计算 .期间的推算期间n的推算,其原理和步骤同折现率 (利息率)i的计算是一样的.以普通年金为例,说明在p,A和n已知的情况下,计算期间n的基本步骤.①计算出p/A,设为α②查普通年金现值系数表,找恰好等于α的系数值,其对应的n值即为所求③若找不到恰好等于α的系数值,则找两个接近α值的临界系数β1，β2以及相对应的 n1,n2, 然后用内插法求 n,公式为:n=【例题4】某企业拟购买一台柴油机 ,更新目前的汽油机. 柴油机价格比汽油机高出2000元,但每年可节约燃料费500元.若利率为10%,则柴油机应至少使用多少年对企业才有利?【解析】依题意,已知p=2000,A=500,i=10%, 则:p/A=2000/500=4(p/A,10%,n)=4当i=10%时，查普通年金现值系数表得n1=6 (p/A,10%,6)=4.3553n= ？ (p/A,10%,n)=4n2=5 (p/A,10%,5)=3.7908n=5.4 年名义利率与实际利率的换算上述计算均假定利率为年利率 ,每年复利一次。但实际上，复利的计息期间不一定是一年，有可能是季度、月份或日。比如某些债券半年计息一次；有的抵押贷款每月计息一次；银行之间拆借资金均为每天计息一次。当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每年只复利一次的利率叫做实际利率。对于一年多次复利的情况，可采取两种方法计算资金的时间价值。①按计算公式把名义利率调整为实际利率 ,然后按实际利率计算时间价值。公式为：i=(1+r/m)m-1式中：i-实际利率 r- 名义利率 m-每年复利次数【例题5】某企业于年初存入 10万元，在年利率为 10%，半年复利一次的情况下，到第10年末，该企业能得到多少本利和？【解析】依题意， p=10，r=10%,m=2,n=10则：i=(1+r/m)m-1=(1+10%/2)2-1=10.25%F=p(1+i)n=10×(1+