多元函数的极限及连续性课件

多元函数的概念

定义1设E是平面点集.如果存在对应关系f,使得对任意的按这个对应关系f,有唯一的实数u与之对应,则称f为定义在E上的二元函数,记为或称E为函数f

的定义域,x,y称为f

的自变量,u称为f

的因变量,是f

在点(x,y)所对应的函数值,全体函数值的集合f(E)称为f

的值域.多元函数的概念定义1设E是平面点集.如果存在对应1空间点集称为函数的图形.一般来说它构成一块空间曲面,定义域E就是这块曲面在Oxy平面上的投影.这种曲面的特点是,过定义域每一点平行于z轴的直线只与曲面相交于一点.空间点集2

例1例2例3例4

n元函数

例13二元函数的极限

定义2设

在的某个空心邻域内有定义,A是一个确定的数.若对任给的存在使当时,有则称A是f

当时的极限,记为或二元函数的极限定义2设在4等价叙述当且仅当使当

或时,有等价叙述5例1证明证:因为所以于是,取则当且时,就有例1证明6又证:因为所以于是,取则当时,多元函数的极限及连续性课件7例2证明证:取则当且时,就有例2证明8Remark在极限的定义中,动点在中趋向于点与一元函数f(x)的自变量x在数轴上的变化不同,它可以在区域内沿着不同的路线(如曲线或直线等)和不同的方式(连续或离散等),从四面八方趋近于二元函数f(x,y)在点的极限都是A.Remark在极限9例3设证明不存在.证:当动点(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时,有当(x,y)沿抛物线趋于(0,0)时,有例3设10

定义3设

在的某个空心邻域内有定义.若对任给

存在使当时,有则称f

是当时的正无穷大,记为或仿此可类似定义与定义3设在11例4设证明

证:因为对任给正数M,取例4设12则当时,就有从而有故则当时,就13二元函数极限的性质二元函数极限的运算法则与基本性质(局部有界性,局部保号性,不等式关系等)同一元函数的完全一样.

海涅定理设

在的某个空心邻域内有定义,则的充要条件是对中任意满足的点列有二元函数极限的性质二元函数极限的运算法则与基本性质(14二元函数极限的计算例5求极限解:所以,原式=2/1=2.二元函数极限的计算例5求极限15例6求解:作极坐标变换这时等价于对任何都有因此例6求16例7求解:由于从而例7求17而所以故而18例8设求

解:由于例8设19即对任意有所以于是即对任意有20例9求解:令则等价于对任何都有不妨限制因为所以例9求21于是,取则当时,就有故于是,取22累次极限定义4设

在的某个空心邻域内有定义.若对固定的一元函数极限存在(y暂看作常数),设又存在且极限为A,则称A为在点的累次极限,记为累次极限定义4设在23类似可以定义

先对y后对x的累次极限计算累次极限归结为一元函数的极限,因此比较容易,那么计算二元函数的极限是否可归结为求累次极限呢?一般情况下,二者没有关系.类似可以定义先对y后对x的累次极24例10两个累次极限存在(且相等),二元函数的极限可能不存在,如在点(0,0).例10两个累次极限存在(且相等),二元函25例11二元函数的极限存在,两个累次极限可能都不存在,如在点(0,0).例11二元函数的极限存在,两个累次极26下述定理告诉我们,二元函数的全面极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理2若(有限或无限),且当时,则有证:只证A有限的情形.下述定理告诉我们,二元函数的全面极限27

推论若

在点的全面极限和两个累次极限都存在,则三者必相等.例12推论若在点28二元函数的连续性定义5设在点的某邻域有定义.若即当时,有则称

在点连续.若

是一开区域,

在

的每一点连续,则称

在开区域

上连续.二元函数的连续性定义5设在点29若是一闭区域,在的每个内点连续,而对的任意边界点在内当时的极限值等于点的函数值,即当且时,有则称

在闭区域

上连续.若是一闭区域,在30例13在(0,0)点连续.例14在(0,0)点不连续.例1331定理3(连续的四则运算)若与都在点连续,则函数(假定)也都在点连续.例15讨论的连续性.定理3