2022年九年级下册数学教案全

.《反比例函数的图象与性质》教学活动课一、教学设计思路1．

本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。2．

对教材的分析（1）

教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。（2）

重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。（3）

难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。二、教学过程（一）作图象，试比较1、提问：（1）y=4/x

是什么函数？你会作反比例函数的图象吗？（2）作图的步骤是怎样的（3）填写电脑上的表格，开始在坐标纸上描点连线。

2、按照上述方法作y=-4/x的图象3、对照你所作的两个函数图象，找一下它们的相同点和不同点。（二）细观察，找规律1、让学生观察函数y=k/x的图象，按下动画按钮，在运动中观察k值的变化与函数图象变化之间的关系，并与同学充分讨论有何规律。2、演示反比例函数中心对称的性质以及轴对称性质，显示反比例函数的两条对称轴。3、让学生观察函数y=k/x的图象，观察过反比例函数上任意一点作x轴和y轴的垂线，观察其围成矩形的面积变化情况。（1）

拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。（2）

拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。（三）用规律，练一练1、给出两个反比例函数的图象，判断哪一个是y=2/x和y=-2/x的图象。2、判断一位同学画的反比例函数的图象是否正确。3、下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪几个？在其图象所在象限内，y的值随x的增大而增大的有哪几个？（四）想一想，作小结（五）作业：课本137页第1题、141页第2题反比例函数的应用教学设计教学目标：经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力教学重点和难点：教学过程：一、复习：反比例函数的图象与性质反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随x的增大而当k<0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随x的增大而二、情境导入某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？（见书P143）(1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板面积为时，压强是多少(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流三、做一做1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R()之间的函数关系如图所示。(书上P114)(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？四、想一想1.某蓄水池的排水管每时排水8m3(1)蓄水池的容积是多少？(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q()，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？(3)写出t与Q之间的关系；(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？(5)已知排水管的最大排水量为每时12，那么最少多长时间可将满池水全部排空？五、练一练1、若一次函数y＝kx+b与反比例函数y=m/x交于点A(-1，2)、B(2，-1)两点。(1)试求出两个函数的表达式；(2)。2、如图，已知点（m，5）是反比例函数y=k/x的图象上的一点，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，且矩形OAPB的面积是20。（1）你能求出m的值吗？（2）若点（a,b）也在这支双曲线图象上，且a+b=12，请你求出a，b的值。六、小结今天这节课学习了什么？你掌握了什么？今天学习了反比例函数的应用，讲了四个类型：1.压力与压强、受力面积的关系2.电压、电流与电阻的关系3.已知点的坐标求相关的函数表达式4.求由函数图象与坐标轴围成的面积课题反比例函数及其图象第周第课时教学目标1、使学生理解反比例函数的概念；2、使学生能根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3、能结合图象理解反比例函数的性质。4、培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题。重点反比例函数的图象的画法及性质难点选取适当的点画反比例函数的图象；结合反比例函数图象说出它们的性质。教学过程教学过程教学过程一、复习引入1、什么叫一次函数？什么叫正比例函数？写出它们的一般式。它们有何关系？2、正比例函数的图象与性质：正比例函数反比例函数解析式y=kx（k≠0）y=k/x或（k≠0）图象经过（0，0）与（1，k）两点的直线双曲线当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限；当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限；性质当k>0时，Y随着X的增大而增大；当k<0时，Y随着X的增大而减小；当k>0时，Y随着X的增大而减小；当k<0时，Y随着X的增大而增大；学学过反比例关系下面我们举几个例子例1矩形的面积是12cm2，写出矩形的一边y(cm)和另一边x(cm)之间的用函数关系式．例2两个变量x和y的乘积等于-6，写出y与x之间的函数关系式．4、提出问题：上面两个问题从关系式看，它们是不是正比例函数？为什么？答：不是，因为不符合正比例函数y＝kx的形式，它们的关系是反比例关系．二、讲解新课反比例函数的定义一般地， （k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数，也可以写成知函数y=（m2+m-2）xm-2m-9是反比例函数，求m的值。已知点A(―2，a)在函数的图像上，则a=；2、反比例函数的图象例6、画出反比例函数与的图象（师生分别画图）步骤：（1）列表（强调x不能取0，为保证其图的对称性，x要取适当的值）（2）描点（准确性要高）（3）连线（用一条平滑曲线根据自变量由小到大的顺序把这些点连结起来）归纳：（1）反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。（2）讨论反比例函数图象的画法：反比例函数的图象不是直线，“两点法”是不能画的，它的图象是双曲线，图象关于原点成中心对称．列表时自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的数(如±1，±2等等)相应地就得到绝对值相等而符号相反的对应的函数值．这样即可以简化计算的手续，又便于在坐标平面内找到点．反比例函数的图象的两支都无限地接近但永远不能达到x轴和y轴，所以图象与x轴y轴没有交点．如果发现画的图象“无限接近”坐标轴后，又偏离坐标轴，这也是错误的，教师可在课堂上演示，并说明错误的原因．选取的点越多画的图越准确；画图注意其美观性（对称性、延伸特征）3、反比例函数的性质再让学生观察黑板上的图，提问：（1）当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？（2）当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答。教师板书：(1)当k＞0时，函数图象的两个分支分别分布在第一、三象限内，在每一个象限中，y随x的增大而减小；当k＜0时，两个分支分别分布在第二、四象限内，在每一个象限中，y随x的增大而增大．(2)两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．4、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？例6、已知函数在每一象限内，y随x的减小而减小，那么k的取值范围是例7、在同一坐标系中，函数和y=kx+3的图像大致是（）ABCD课堂练习：第129页1~35、课堂小结作业反比例函数教学目标：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。教学程序：一、导入：1、从现实情况和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加强对函数概念的理解，导入反比例函数。2、U=IR，当U=220V时，（1）你能用含R的代数式表示I吗？（2）利用写出的关系式完成下表：R（Ω）20406080100I（A）当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？答：①I=EQ\F(U,R)② 当R越来越大时，I越来越小，当R越来越小时，I越来越大。③变量I是R的函数。当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数。二、新授：1、反比例函数的概念一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=EQ\F(k,x)(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零。2、做一做一个矩形的面积为20cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？解：y=EQ\F(20,x)，是反比例函数。三、课堂练习：P133，12四、作业：P133，习题1、2题

反比例函数的图象与性质教学目标：使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。培养提高学生的计算能力和作图能力。教学重点、难点：作反比例函数的图象。理解反比例函数的性质。教学程序：一、复习：1、函数有哪几种表示方法？答：图象法、解析法、列表法2、一次函数y=kx+b有什么性质？答：一次函数y=kx+1的图象是一条直线。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。二、新授：1、作反比例函数y=EQ\F(4,x)的图象：列表：X－8－4－3－2－1－EQ\F(1,2)－EQ\F(1,2)1248y=EQ\F(4,x)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=EQ\F(4,x)的图象。2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点。3、作反比例函数y=EQ\F(－4,x)的图象。4、观察函数y=EQ\F(4,x)和y=EQ\F(－4,x)的图象，它们有什么相同点和不同点？图象分别都是由两支曲线组成的，它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图形，它们各自都有两条对称轴。5、反比例函数y=EQ\F(k,x)的图象是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。三、随堂练习P136：1、2四、作业：P137习题1

反比例函数的图象与性质知识目标：使学生理解反比例函数y=EQ\F(k,x)(k≠0)的增减性质。培养、提高学生的空间想象能力。教学难点：反比例函数的对称性质教学程序：一、新授：1、观察反比例函数y=EQ\F(2,x)，y=EQ\F(4,x)，y=EQ\F(6,x)的图象，回答下列问题？（1）函数图象分别位于哪几个象限内；（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化的？能说明这是为什么吗？（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？答：（1）第一、三象限（2）y的值随着x值的增大而减小；（3）不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，因为不论x取何实数值，y的值永不为0（因k≠0）所以图象与x轴不可能有交点。2、考察当k=―2，―4，―6时，反比例函数y=EQ\F(k,x)的图象，回答（1）中的三个问题。3、反比例函数图象的性质：反比例函数y=EQ\F(k,x)的图象，当k>0时，在第一象限内，y的值随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x的增大而增大。4、在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的面积为S2,S1与S2有什么关系？为什么？S1=S2=|K|5、将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形；反比例函数是一个以y=±x为对称轴的轴对称图形。二、随堂练习：P1391、2三、作业：P141习题1、2

反比例函数的应用教学目标：使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。教学重点：反比例函数的应用教学程序：一、新授：1、实例1：（1）用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？答：P=EQ\F(600,s)(s>0)，P是S的反比例函数。（2）、当木板面积为m2时，压强是多少？答：P=3000Pa（3）、如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多少？答：至少。（4）、在直角坐标系中，作出相应的函数图象。（5）、请利用图象（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。二、做一做1、（1）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图5-8所示。（2）蓄电池的电压是多少？你以写出这一函数的表达式吗？电压U=36V，I=EQ\F(60,k)2、完成下表，并回答问题，如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？R（Ω）345678910I（A）3、如图5-9，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=EQ\F(60,k)的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（EQ\R(,3)，2EQ\R(,3)）（1）分别写出这两个函数的表达式；（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流；二、随堂练习：P145~1461、2、3、4、5三、作业：P146习题1、2二次函数[本章知识要点]探索具体问题中的数量关系和变化规律．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[MM及创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．[实践与探索]例1．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数是二次函数，须满足的条件是：．解若函数是二次函数，则．解得，且．因此，当，且时，函数是二次函数．探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；（2）由题意，得，其中y是x的二次函数；（3）由题意，得（x≥0且是正整数），其中y是x的一次函数；（4）由题意，得，其中S是x的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．解（1）；（2）当x=3cm时，（cm2）．[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1） （2）（3） （4）2．当k为何值时，函数为二次函数？3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．课后反思：形如的函数只有在的条件下才是二次函数．§用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1.根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2.抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容：1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．2．理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.课后反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？二次函数的图象与性质（1）[本课知识要点]会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．[MM及创新思维]我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是、，那么二次函数的图象是什么呢？（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1） （2）解列表x…-3-2-10123……188202818……-18-8-20-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解（1）由题意，得，解得k=2．（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．例3．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得．列表：C2468…14…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm．（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2．（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）（2）（3） 2．（1）函数的开口，对称轴是，顶点坐标是；（2）函数的开口，对称轴是，顶点坐标是．3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．课后反思：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．26．2二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？，那么与的图象之间又有何关系？．[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．解列表．x…-3-2-10123……188202818……20104241020…

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．解列表．x…-3-2-10123……-8-3010-3-8……-10-5-2-1-2-5-10…

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作，又抛物线经过点（1，1），所以，，解得．故所求函数关系式为．课后反思：（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标26．2二次函数的图象与性质（3）[本课知识要点]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．x…-3-2-10123……202……028……820…

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．回顾与反思对于抛物线，当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数取得最值，最值y=．探索抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?解抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．课后反思：（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标26．2二次函数的图象与性质（4）[本课知识要点]1．掌握把抛物线平移至+k的规律；2．会画出+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？[实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．x…-3-2-10123……202……8202……60-20…

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．探索你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．+k开口方向对称轴顶点坐标例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．分析抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．解．向上平移2个单位，得到，再向左平移4个单位，得到，其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则解得探索把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线如何平移可得到抛物线（）A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．3．抛物线可由抛物线向平移个单位，再向平移个单位而得到．课后反思：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．26．2二次函数的图象与性质（5）[本课知识要点]1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM及创新思维]我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口，对称轴是，顶点坐标是．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索] 例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：x…-2-101234……-1006860-10…描点、连线，如图26．2．7所示．探索对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标．例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．解，则抛物线的顶点坐标是．当顶点在x轴上时，有，解得．当顶点在y轴上时，有，解得或．所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是–2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数的对称轴是．（2）二次函数的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则=．2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？课后反思：（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．26．2二次函数的图象与性质（6）[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?[实践与探索] 例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）；（2）．分析由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解（1）二次函数中的二次项系数2＞0，因此抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，因此抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值是．探索试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．解由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为．设每日销售利润为s元，则有．因为，所以．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此．（2）由∥，得，即，所以，，x的取值范围是．（3），所以，当x=2时，S有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数，当x=时，y有最小值．2．已知二次函数有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？课后反思：最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．26.2二次函数的图象与性质（7）[本课知识要点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索] 例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得 所以．因此，函数关系式是．例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．解（1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c=-1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到解这个方程组，得a=2，b=-1．所以，所求二次函数的关系式是．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到 解得．所以，所求二次函数的关系式是．（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为．又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到． 解得．所以，所求二次函数的关系式是．（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求．26.3实际问题与二次函数[本课知识要点]会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．[MM及创新思维]生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2022雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？[实践与探索] 例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？解如图，铅球落在x轴上，则y=0，因此，．解方程，得（不合题意，舍去）．所以，此运动员把铅球推出了10米．探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），因此，设抛物线为．将A（0，1．25）代入上式，得，解得所以，抛物线的函数关系式为．当y=0时，解得x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h=-1．6，k=3．7．所以，水流最大高度应达3．7m．[当堂课内练习]1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？26.3实际问题与二次函数（2）[本课知识要点]（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．[MM及创新思维]给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？[实践与探索] 例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？解图象如图26．3．4，（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x=-1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当-1＜x＜3时，y＜0．例2．（1）已知抛物线，当k=时，抛物线与x轴相交于两点．（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a=．（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是．分析（1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空．回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．例3．已知二次函数，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？分析（1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．解（1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．探索第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．[当堂课内练习]1．已知二次函数的图象如图，则方程的解是，不等式的解集是，不等式的解集是．2．抛物线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为．4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．课后反思：（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．第二十六章小结与复习一、本章学习回顾知识结构实际问题实际问题二次函数的图象二次函数二次函数的性质二次函数的应用二次函数的图象二次函数二次函数的性质二次函数的应用2．学习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。（3）掌握二次函数的平移规律。（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。3．需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。第三章圆1．车轮为什么做成圆形一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在小学已认识过圆这种几何图形、画图、圆的周长、面积的公式；学生已通过折纸，对称、平移、旋转等方式认识圆的有关性质，积累了对圆的一些认识，具备了画圆和计算机周长、面积的基本技能，了解了圆是轴对称圆形和中心对称圆形等基础知识。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生运用圆的周长、面积公式，解决了一些简单的现实问题，感受到公式的如何运用，获得了数学知识在日常的重要性，同时，在以前的数学学习中经历了探索交流的学习过程，具有一定的经验和能力。二、教学任务分析本节课的教学目标是：知识与技能1．圆的相关概念；2．点与圆的位置关系．过程与方法经历形成圆的概念的过程，经历探索点和圆位置关系的过程。理解圆的概念，理解点和圆的位置关系，并能根据条件画出符合条件的点或图形，初步形成集合的现念。情感态度与价值观让学生在经历圆的概念的形成过程中，通过探索与交流，进一步发展学生探索交流的能力和数学表达能力。2．在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生的定义理论，为依据分析问题、解决问题的良好习惯。三、教学过程分析第一环节：情境引入（实际生活原感受，概括定义）活动内容：录用一幅大会的开幕词，展示几种车子的图形，留心观察，车轮的形状，以及一幅游戏的画面，这几幅图从不同的角度去选用，从离自己较远的方面到涉及到自己有关的方面，逐渐引入。活动目的：通过第1幅图片，引起学生的兴趣；第二幅图片，是我们生活中很常见交通工具，其车轮是圆形，在头脑已经有很深烙印，但为什么做成圆形呢？与车轮做成正方形、矩形、三角形又怎样？第三幅图片，通过提出为什么？讲出理由，自然而然地引出圆的概念。第二环节：探讨研究活动内容：然后通过选用有代表性的五个点A、B、C、D、E，来研究点和圆的位置关系。活动目的：这里通过学生的积极参与、激发兴趣后，主动去探索、讨论、积极发表自己的看法。使学生主动参与学习活动，增强了学好数学的自信心。第三环节：练习理解。活动内容：1、体育教师想利用3m长的绳子在操场上画一个半径为3m圆，你能帮他想想办法吗？2、小明和小华正在练习投铅球，小明投了5.2m，小华投了6.7m，他们投的球分别落在下图中哪个区域内？ADBCADBC04、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0，它的四个顶点A、B、C、D是否在以点0为圆心的一个圆上，为什么？DABCDABCE6、设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。活动目的：对本节知识进行巩固练习并回顾相应的几何定理，经历用集合的观点理解圆形的过程。实际教学效果：123412345678910第四环节：链接生活活动内容：1、举出成圆形的一些物体的实例，并研讨人们为什么将它们制作成圆形。2、下图是一张靶纸，靶纸上的1、2…10表示击中该靶区的环数，靶中每个圆环的宽度相等，正中小圆的半径与各圆环的宽度相等，已知小明射击了一次，且已肯定中靶，求小明此次击中10环的概率。3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超四级，则称为受台受影响。BCBCAD110220（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？第五环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结点和圆的三种位置关系；怎样判断其位置关系，日常生活中利用圆的例子，与圆有关计算、证明的题目等。活动目的：鼓励学生结合本课的学习，谈自己的收获与感性（学生畅所欲言，教师给予鼓励），包括日常生活中利用圆的例子，点和圆的位置关系，如何判断，怎样利用圆的知识计算、证明。第六环节：布置作业DACBDACB02、已知⊙0的面积为25π。（1）若PO=，则点P在圆外；（2）若PO=4，则点P在圆内；（3）若PO=5，则点P在⊙0上。2、设AB=3cm，作图说明：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形。2．圆的对称性（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。二、教学任务分析本节课的教学目标是：知识与技能：1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．过程与方法：1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。情感态度与价值观：培养学生独立探索，相互合作交流的精神。通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。三、教学过程分析第一环节课前准备活动内容：每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）预习课本P88~P92内容活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。第二环节创设问题情境，引入新课活动内容：教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。第三环节讲授新课活动内容：想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。探索垂径定理。做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。讲解例题及完成随堂练习。[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．练习：完成课本P92随堂练习：1探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。练习：完成课本P92随堂练习：2活动目的：内容（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容（五）的主要目的与内容（三）相似。实际教学效果：E对于活动（一），学生在探索圆是轴对称图形时，应该把机会留给学生，让他们相互交流，发表自己的想法；对于活动（二），要注意让学生借助图形去认识，并弄清他们之间的联系和区别，还应该注意补充一些概念，如半圆，劣弧，优弧等；对于活动（三），师生要按四个步骤共同操作，逐步引导学生通过观察，猜想到理论验证垂径定理，并帮助学生去理解和记忆垂径定理，如推理格式：如图所示ECO⊥AB，CD为⊙O的直径AM=BM，AD=BD，AC=BC。另外在证明垂径定理时，学生对如何证明平分弦所对的弧会较难表述。教师要运用轴对称性启发引导。对于活动（四），教师要引导学生如何应用垂径定理去更好衔接上，至于这一逆定理的探索过程与前面垂径定理的探索过程类似，在完成随堂练习时，教师要提示学生，符合条件图形有三种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，但说理的思路都是一样。第四环节课堂小结活动内容：师生互相交流总结：本节课我们探索了圆的轴对称性；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，只要合理，教师都应该鼓励。第五环节课后作业课本习题，1，2。试一试1预习课本P94~97内容。2．圆的对称性（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。二、教学任务分析本节课的教学目标为：知识与技能：1．理解圆的旋转不变性；2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．过程与方法：经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度与方法。教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．三、教学过程分析第一环节课前准备活动内容：（提前一天布置）每人用透明的胶片制作两个等圆。预习课本P94--97内容。第二环节创设问题情境，引入新课活动内容：问题提出：我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？活动目的：为了引出圆的旋转不变性。实际教学效果：0’0O第三环节讲授新课活动内容：（一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性；请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。（二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦、弦之间相等关系定理；做一做1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′圆心固定。2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合。由此得到：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。想一想1、在同圆或等到圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？探索总结：定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。CACAFBEOD例1如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥AB重足分别为E，F．⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？练习：完成课本P97随堂练习1、2、3实际教学效果：1、学生做活动（二）内容的实验时，在画与重合时，要使相对于的方向与相对于的方向一致,否则当与重合时,与不重合。2、要帮助学生理解用叠合法说明该定理。3、在运用这个定理时，一定不能惦记“在同圆或等圆中”这个前提，可通过举反例强化对定理的理解如下所示，虽然=，但，。4、例题的学习，将定理扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系。第四环节课时小结活动内容：在得出本节结论的过程中，我们使用了哪些研究图形的方法？（同学们互相讨论，归纳）活动目的：培养学生总结，归纳知识的能力，语言的表述能力。要让学生有充分的时间进行交流，讨论。教师在当中要引导学生去归纳。如：折叠、轴对称、旋转、证明等方法。第五环节创新探究AAECMBDPON活动内容：如图，在⊙中，弦，的延长线与的延长线相交于点，直线交⊙于点，，你以为与有什么大小关系？为什么？活动目的：通过弦这个条件联想构造它们所对的弦心距的辅助线，去应用本节所学的定理，培养学生综合运用知识的能力。实际教学效果：该问题可以一题多变，充分让学生感受到该图形的美，培养学生的发散思维。第六环节课后作业1、课本P98习题:1,2,33．圆周角和圆心角的关系（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本节课的教学目标为：知识与技能了解圆周角的概念。2．理解圆周角定理的证明。过程与方法1．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。2．体会分类、归纳等数学思想方法。情感态度与价值观通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。教学重点：圆周角概念及圆周角定理。教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。三、教学过程分析第一环节创设问题情境，引入新课活动内容：通过一个问题情境，引入课题ABC在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有什么共同特征吗ABC第二环节新知学习活动内容：（一）圆周角的定义的学习为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。请同学们考虑两个问题：（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。圆周角有两个特征：①角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦。活动目的：通过学生主动观察，探索概念的形成，这样能使学生更好地理解概念。（二）圆周角定理的学习我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。BABACO③BBAOC①ABCO②引导学生通过小组交流讨论的方式，分别考虑这三种情况下，∠ABC和∠AOC之间的大小关系．由此得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。活动目的：学生通过画图，渗透分类讨论的思想，由特殊到一般解决问题的策略。由学生的画图结果我们得到三种图形。在这三种情况下，提问∠ABC与∠AOC的大小有什么关系？通过这个问题的提出，引导学生由特殊到一般解决问题。再由推理论证得到结论。当学生证明了图1的情形后，让学生思考：图2、图3两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？实际上，实现转化的方法是连接BO并延长。教学过程中要有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法。第三环节练习活动内容：1．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=。变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=ABCDOABCOAOCB2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ABCDOABCOAOCBAABCO3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。活动目的：通过练习目的是使学生熟练地掌握圆周角与圆心角的关系。通过图形和条件的变化，让学生了解要找出圆周角与圆心角的关系，就必须找出它们所对的同一条弧。如图，当他站在B如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?第五环节布置作业课后思考课后思考3．圆周角和圆心角的关系（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。在上一课时中，了解了同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本节课的教学目标为：知识与技能掌握圆周角定理几个推论的内容。2.会熟练运用推论解决问题。过程与方法1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。情感态度与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力ABCOABCOABCO教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”。