匀变速直线运动1一般情况课件

1第一章

质点的运动1第一章2§1-1质点和参考系§1-2描述质点运动的物理量§1-3描述质点运动的坐标系§1-4牛顿运动定律§1-5力学中常见的力§1-6伽利略相对性原理

第一章质点的运动2§1-1质点和参考系第一章质点的运动3力学中的一些基本概念

力学的研究对象是物体机械运动的规律及其应用，是研究物理学其它部分的基础。力学内容分为运动学、动力学和静力学三部分。

运动学：在研究物体位置变动时，不涉及引起运动变化的原因。

动力学：研究物体之间的相互作用时，对物体运动的影响。

静力学：研究一个静止不动或以等速度移动之系统。3力学中的一些基本概念力学的研究对象是物体机械运动的4

机械运动(mechanicalmotion)指物体的位置随时间改变，或一个物体内部某部分相对其它部分的位置随时间变化的过程，是最简单又最基本的运动。

经典力学（牛顿力学）的研究对象是大量原子组成的宏观客体，被研究的物体的速度不能与光速相比拟（V<<C）。（1）物体之间的相对位置的变更；（2）物体各组成部分之间相对位置的变更。4机械运动(mechanicalmotion)指5

§1-1

质点和参考系

一、质点(masspoint)

质点：没有体积和形状,只具有一定质量的理想物体。

注意：（1）质点是一种理想的力学模型，任何物体都有一定的形状和大小。

（2）质点是一种物理上的抽象，是为了讨论问题的方便而引入的。5§1-1质点和参考系一、质点(masspoi6

（3）对于同一物体，由于研究问题的不同，有时可以看作质点，有时则不能。

如果不能看作一个质点，可把物体看作由多个质点组成，每个质点都运用质点运动的结论，叠加起来得到该物体的运动情况。

注意：当两物体之间的距离（l）大于大于物体自身线度（r）时，物体可以视为一个质点；否则就不能视为一个质点。

由于所有物体都可以视为质点或质点的集合体，因此质点力学是整个力学的基础。6（3）对于同一物体，由于研究问题的不同，有时可以看作质7

质点是没有大小和形状、但具有宏观物体质量的理想模型，是对实际物体的抽象，并不是真实的存在；注意：不要把质点与微观粒子混同起来

微观粒子，如原子、质子和中子等都具有一定的大小，但质量微小。也正是因为微观粒子的质量微小，因而在一般情况下却遵从量子力学规律。7质点是没有大小和形状、但具有宏观物体质量的理想8二、参考系(referencesystem)

1.运动绝对性：物体都在运动没有绝对静止的。

3.为了描述物体的机械运动，必须选择另一个物体或者物体系作参照物，被选作参照的物体或者物体系称为参考系。只有选择了参考系，才能明确地表示被研究物体的运动情形。4.参考系原则上可任意选择。选择使问题的处理尽量简化的参考系。同一运动，选择不同参考系，对运动的描述不同的。2.一个物体的位置及其变更,总是相对于其它物体而言的,否则没有意义,机械运动的相对性。8二、参考系(referencesystem)1.运动9三.坐标系

(coordinatesystem)

坐标系是指固定在参考系上的数学坐标，它的作用是把运动物体在每一时刻相对于参考系的位置定量地表示出来。

在建立坐标系的问题上应注意以下几点。(1)首先应注意不要把坐标系与参考系混淆了。

参考系是指为描述物体运动而选作参考标准的物体或物体群，利用它来判断物体是否在运动和如何运动。但是，只有参考系还不能把物体运动时的确切位置表示出来。

在描述物体运动的问题中，坐标系必须依附于参考系。在研究物体运动时，若选取不同的参考系，所得的运动规律的数学表达式和结果一般是不同的。9三.坐标系(coordinatesystem)10

在同一个参考系上建立不同的坐标系，对同一物体的运动规律和结果不会产生多大变化，只会影响计算的繁简。(2)坐标系的建立，可以帮助我们分析和解决问题。(3)在物理学中，坐标系的建立还有更加广泛的意义。

物理学中的方程式在很多情况下都是矢量方程,而矢量方程的求解,特别是矢量的积分,必须先化为分量式才可以进行。要将矢量式化为标量式，必须建立坐标系。

求解质点运动方程的问题，而质点一般是受多个力作用的。力的正负，对于质点的运动是至关重要的，是在列方程时必须明确的。当建立了坐标系后，把这些力投影到坐标轴上来，与坐标轴同方向的为正，与坐标轴反方向的为负，运动方程很容易地就列出来了。10在同一个参考系上建立不同的坐标系，对同一物体的111、直角坐标系

(rectangularcoordinate)

通常采用的直角坐标系属右旋系,当右手四指由x轴方向转向y轴方向时,伸直的拇指则指向z轴的正方向。

在参考系上取一固定点作为坐标原点O,过点O画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴,即x轴、y轴和z轴,就构成了直角坐标系

O-xyz。

xyzOP(x,y,z)共有三个单位矢量：111、直角坐标系(rectangularcoordi12*2、平面极坐标系(planarpolarcoordinates)

取参考系上一固定点O作为极点,过极点所作的一条固定射线OA称为极轴。用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。

质点处于点P,连线OP称为点P的极径,用

表示；自OA到OP转过的角

称为点P的极角。点P位置可用(

,

)来表示,这两个量就称为点P的极坐标。A

O是极径方向的单位矢量,长度为1,沿

增大的方向。是沿极角增大方向的单位矢量12*2、平面极坐标系(planarpolarcoord133、自然坐标系(naturalcoordinates)

沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。

一个是指向质点运动方向的切向单位矢量,用

表示,另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量,用n表示。法线切线运动质点τn自然坐标系由运动曲线上任一点的法线和切线组成133、自然坐标系(naturalcoordinates14一、时间和时刻(timeandmoment)

某一瞬时称为时刻（t），质点运动时，与质点某一位置对应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。

秒（s）:铯－133原子基态的两个超细能级之间的电子跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间。

在坐标系中考察质点的运动时,质点位置与时刻相对应,质点运动所经过的路程与时间相对应。§1-2描述质点运动的物理量P2P1t

时间（

t）表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物理量，国际单位制（SI）中七个基本物理量之一。时间具有单方向性，是标量，在时间坐标上是线段，单位是s(秒)。

t1t214一、时间和时刻(timeandmoment)15

二、位置矢量(positionvector)

位矢包含两方面信息：质点P相对参考系固定点O的方位；质点P相对参考系固定点O的距离大小。OP

用黑体字母或带箭头的字母表示矢量。

质点P在任意时刻的位置,可用从原点O到质点P所引的有向线段OP来表示，或用矢量来代表，这个矢量就称为质点P的位置矢量,简称位矢。位置矢量是描述质点在空间位置的物理量。1.定义15二、位置矢量(positionvector)16可用方向余弦来表示位置矢量方向。位矢大小其中

、和

分别是x、y和z方向的单位矢量。在直角坐标系中

xyzOP(x,y,z)

16可用方向余弦来表示位置矢量方向。位矢大小其中、和17zXYOzyxr

随时间变化r

质点在运动,位置在变化,位置矢量必定随时间改变。该式称为质点运动的轨道参量方程，即质点的运动学方程位置矢量是时间的函数：2.运动方程

写成分量形式:运动轨迹方程xyz0f,,()17zXYOzyxr随时间变化r质点在运动,18三、位移(displacement)和路程(distance,path)

1.位移：描述质点位置的变化的物理量。

质点从点P1到点P2所完成的位移等于点P2的位置矢量与点P1的位置矢量

之差。

位移是矢量，既表示质点位置变更的大小(点P1与点P2之间的距离)，又表示这种变更的方向(点P2相对于点P1的方位)。zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr18三、位移(displacement)和路程(distan19位移在直角坐标系中的表达式：因为19位移在直角坐标系中的表达式：因为202.

路程

s是一定时间内物体所经过路线的总长度。

t时间内经过的路程是曲线P1P2的长度，是标量。

注意：质点的位移和路程的区别和联系

（1）位移是矢量，路程是标量；

（2）一般位移矢量的模不等于路程。

（3）对于任何运动形式来说，无限的缩短，则：zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr202.路程s是一定时间内物体所经过路线的21米（m）:氪-86原子的2p10和5d5能级之间的跃迁所对应的辐射在真空中的1650763.73个波长的长度。位移和路程单位相同,在国际单位制中为m(米)。21米（m）:氪-86原子的2p10和5d5能级之间的跃迁所22四、速度(velocity)和速率(speed)

1.平均速度与平均速率:质点的平均速度

平均速度是矢量，大小决定于位移的模与时间间隔的比值；方向与位移矢量方向相同。

平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取时间间隔的大小。当使用平均速度来表征质点运动时，总要指明相应的时间间隔。大致描述运动质点在某段时间内的平均快慢情况22四、速度(velocity)和速率(speed)1.23

平均速率是标量,等于单位时间内所通过的路程。平均速率

平均速率和平均速度的区别：1.标量与矢量；2.数值上不一定相等,曲线运动时

s≠r

。沿闭合曲线运行一周,则质点的平均速度等于零,而相应的平均速率却不等于零。平均速率与平均速度的关系和路程与位移的关系相似。23平均速率是标量,等于单位时间内所通过的路程。平均速242.瞬时速度和瞬时速率

描述运动质点在某一时刻（某一位置）的快慢情况

如果

t→0，平均速度的极限就表示质点某一时刻的真实速度，此极限即质点运动的瞬时速度。

瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。所说的物体运动速度,通常指它的瞬时速度。242.瞬时速度和瞬时速率描述运动质25直角坐标系：

该时刻质点所在处沿运动轨迹的切线并指向质点前进的方向。方向：25直角坐标系：该时刻质点所在处沿运动轨迹的切线并指向质点26瞬时速率为t

→0时平均速率的极限,简称速率。

t→0时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。速率等于速度的模,等于速度的大小,总是正值。

速度和速率的单位为m

s

1

(米/秒)。26瞬时速率为t→0时平均速率的极限,简称速率。27上式称为位移公式。如果已知质点运动速度与时间的函数关系,代入上式积分可算得位移。

质点在从t0到t时间内完成的位移,可通过对上式在此时间内的积分得到，即可得位移的微分形式根据速度的定义式27上式称为位移公式。如果已知质点运动速度与时间的函数关系,28五、加速度(acceleration)加速度是描述速度变化快慢的物理量。OLBA

在

t时间内,速度的增量为可用平行四边形法则或三角形法则求得。

是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。28五、加速度(acceleration)加速度是描述速度变29根据加速度的定义（描述速度变化快慢的物理量）平均加速度若，则：瞬时加速度

加速度等于速度对时间的微商,或等于位置矢量对时间的二阶微商。29根据加速度的定义（描述速度变化快慢的物理量）平均加速度若30加速度的方向与

t趋于零时的极限方向一致。曲线运动时，加速度a总是指向轨迹曲线凹的一边。

直线运动中，a与v的方向在同一直线上，但有同向与反向两种情况。30加速度的方向与t趋于零时的极限方向一致31加速度的单位是m

s

2(米/秒2)。

加速度大小31加速度的单位是ms2(米/秒2)。加速度大小32加速度在直角坐标系中的表达式加速度大小32加速度在直角坐标系中的表达式加速度大小33讨论：（1）当时，质点作匀速直线运动；

(2)当时，质点作匀变速直线运动或二维抛体运动；(4)当的大小和方向都改变时，质点一般作曲线运动。(3)当的大小改变,方向和速度平行时，质点作变速直线运动。33讨论：（1）当时，质点作匀速直线34根据加速度的定义式可得若求在t0到t时间内速度的变化,可对上式积分：速度公式位矢的一般表达式代入位移公式34根据加速度的定义式可得若求在t0到t时间内速度的变化35思考题:什么是质点，什么情况可以视物体为质点；位移和路程有何区别；在曲线运动中与是否不同；和有何区别。35思考题:363637§1-3质点运动的几种形式

一、匀速直线运动匀速直线运动的特点：如取运动方向为x轴，则：x•Xot=0•Xt积分轨迹方程37§1-3质点运动的几种形式

一、匀速直线运动匀速38二、匀变速直线运动1.一般情况：质点以恒定的加速度，沿直线运动设t=0时，v=vo,x=xo该方程为质点匀变速直线运动方程38二、匀变速直线运动1.一般情况：质点以恒定的加速度，392.自由落体运动取地面为坐标原点，向上为y轴的正方向，则a=-g设t=0时，y=yo,vo=vyo则：y392.自由落体运动取地面为坐标原点，向上为y轴的正方向，40运动的独立性与叠加性运动的独立性：如果一个质点同时参与几个分运动，其中任何一个运动都不受到其他运动的影响，就好像只有自己存在一样。运动的叠加性：质点的一般运动可以看做由几个相互独立的运动的合成，且合成的物理量满足平行四边形法则。40运动的独立性与叠加性41三、抛体运动

抛体运动具有两个特点:(1)运动平面是竖直平面，恒与地面垂直，（2）不计空气阻力时，加速度就是重力加速度。41三、抛体运动抛体运动具有两个特点:(1)42

假设物体以初速度v0沿与水平方向成角方向被抛出,求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。

抛体运动可以看作为x方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动相叠加。xyO

首先必须建立坐标系,取抛射点为坐标原点O,x轴水平向右,y轴竖直向上,如图。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。

42假设物体以初速度v0沿与水平方向成角43xyO由（1）、（2）得：——抛体运动轨道方程

(1)(2)讨论：令y=0，得

43xyO由（1）、（2）得：——抛体运动轨道方程(1)44解得：（射程）物体的飞行时间抛射角

0=

/4时,最大射程xyO将x2代入上式，得44解得：（射程）物体的飞行时间抛射角0=/4时,最大45

实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。最大高度:当物体到达最大高度时,必有物体达最大高度的时间xyO将上式代入45实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值46四.曲线运动

一般的运动都是曲线运动，即质点沿空间任意一条曲线运动。1.曲线的曲率和曲率半径

在曲线运动中，速度的大小和方向都在不断地变化。速度方向的变化与轨道的形状有关。这是因为速度的方向是曲线的切线方向。在曲线弯曲厉害的地方，速度方向变化大；曲线的这个弯曲程度用曲率来表示；••P1P2•令曲线

曲线上p1和p2

之间的平均曲率46四.曲线运动一般的运动都是曲线运动，即质点47当△s趋近0时，p1和p2

两点无限靠近，这个比值的极限称为曲线在p1点的曲率其倒数称为该点的曲率半径

曲率半径决定的圆称为曲率圆，曲率圆的中心称为曲率中心。圆：说明圆的曲率半径即圆的半径，是一个恒量。••P1P2•47当△s趋近0时，p1和p2两点无限靠近，这个比值的极482.法向加速度和切向加速度动轨迹平面运质点的T切向N法向t切向单位矢量n法向单位矢量M时刻位置t0M初始位置自然坐标系482.法向加速度和切向加速度动轨迹平面运质点的T切向N法49LBAO’B′

A′

VAVB49LBAO’B′A′VAVB50VAVB50VAVB51VAVB切向加速度法向加速度大小：方向：51VAVB切向加速度法向加速度大小：方向：52讨论：1.若，则物体作直线加速运动；2.若，则物体作匀速圆周运动关于自然坐标系的说明：

（1）在自然坐标系中表示质点速度，是非常简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量，而没有法向分量。

（2）自然坐标系不仅适用于平面运动，也可以用于三维空间的运动。不过在三维情况下，应该引入两个法向单位矢量52讨论：1.若53五、圆周运动1.平面极坐标A

OP的位置矢量表示为

根据速度的定义式：式中是单位矢量的方向随时间的变化率。

53五、圆周运动1.平面极坐标AOP的位置矢量表示为54OL

在时间内,质点沿任意平面曲线L由点A到达点B,极角的增量为。

O′

A′

B′

BA

等腰三角形O

A

B,当t→0时,底边趋于与腰垂直,的方向趋于极角增大的方向,引入该方向的单位矢量。（）54OL在时间内,质点沿任意平面曲线L由55O′

A′

B′

（）径向速度横向速度速度大小55O′A′B′（）径向速度横向速度速度大小561.质点直线运动时,取该直线为极径，极角为常量2.质点圆周运动时,极径是圆周的半径,为常量圆周运动角速度横向速度是质点沿圆周切向速度讨论561.质点直线运动时,取该直线为极径，极角为常量2.57线量角量57线量角量58质点加速度:OB′

A′

OLAB

等腰

O

A

B

,当

t→0时,趋于与垂直,即指向的方向,大小^^58质点加速度:OB′A′OLAB等腰OA59于是有将和代入59于是有将和代入60径向加速度横向加速度60径向加速度横向加速度612.质点圆周运动,极径

是圆周半径,为常量,有1.质点直线运动,取该直线为极径，极角为常量：讨论继续推算

612.质点圆周运动,极径是圆周半径,为常量,有62引入角加速度,定义为avrr=-2avtq=dd向心加速度切向加速度线量角量62引入角加速度,定义为avrr=-2avtq=dd向心63角量线量63角量线量642.圆运动方程（1）匀速圆周运动设：（2）匀变速圆周运动642.圆运动方程（1）匀速圆周运动设：（2）匀变速圆周运65积分得：

形式上与直线运动的三个方程是相同的，只是线量与角量的区别65积分得：形式上与直线运动的三个方程是相同的66rrt()运动学方程vt()速度任一时刻的at()加速度已知求第一类第二类vvt()rrt()运动学方程或速度方程或速度方程vvt)()0r)及加速度方程a()0vat))及求导vrdtda2dtd2r方法,积分方法-0vvdtat0r-r0dtt0v由初始条件定积分常量r00v,两类基本问题质点运动学中的质点运动学中的两类基本问题66rrt()运动学方程vt()速度任一时刻的at()加67

例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边,如图。如果绞车以恒定的速率u拉动纤绳,绞车定滑轮离水面的高度为h,求小船向岸边移动的速度和加速度。解：以绞车定滑轮处为坐标原点,x轴水平向右,y轴竖直向下,如图所示。xlhyoxxlh67例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边,如图。如果68

设:小船到坐标原点的距离为l,任意时刻小船到岸边的距离x总满足x

2

=l

2

h

2

两边对时间t

求导数,得

绞车拉动纤绳的速率,纤绳随时间在缩短,故;是小船向岸边移动的速率。xlhyox

负号表示小船速度沿x轴反方向。68设:小船到坐标原点的距离为l,任意时刻小船到岸69根据数学公式：69根据数学公式：70小船的加速度随着到岸边距离的减小而急剧增大70小船的加速度随着到岸边距离的减小而急剧增大71例2：细棒以恒定角速度

绕其端点O

旋转,棒上套一小球,小球以恒定速度u沿棒向外滑动。初始时刻小球处于点O,求t时刻小球的速度和加速度。

解：根据速度的定义式：O71例2：细棒以恒定角速度绕其端点O旋转,棒上套一小72

可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度,横向速度则是t

的线性函数。

求得小球的速度

根据72可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度,横向速73

由上式可以看到,径向加速度是时间的线性函数,横向加速度则为常量。

小球的加速度可表示为

：73由上式可以看到,径向加速度是时间的线性函数,74

解：质点的切向加速度和法向加速度分别为

例3:质点以初速沿半径为R

的圆周运动,其加速度方向与速度方向夹角

为恒量,求质点速率与时间的关系。分离变量74解：质点的切向加速度和法向加速度分别为例3:质点以75这就是所要求的速率与时间的关系。得积分75这就是所要求的速率与时间的关系。得积分例4.

一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为

a0

，以后加速度均匀增加，每经过τ

秒增加

a0，求：经过

t

秒后质点的速度和运动的距离。解：据题意知，加速度和时间的关系为：例4.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以77解：此类问题从a与x的关系，求v与x的关系即：积分：例题5一质点沿x轴运动，其加速度和位置关系为a=2+6x。质点在x=0处的速度为。求物体的速度和位置的关系。77解：此类问题从a与x的关系，求v与x的关系即：积分：例题78

习题1-4现有一矢量R是时间t的函数，问与在一般情况下是否相等？为什么？

解:

与在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导，表示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。78习题1-4现有一矢量R791-12设质点的位置与时间的关系为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，如果先求出，然后根据和求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成，得v=和。你认为哪一组结果正确？为什么？791-12设质点的位置与时间的关系为x=x(t)，80解第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下

速度和加速度中的r是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。80解第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确811-21质点从倾角为

=30

的斜面上的O点被抛出，初速度的方向与水平线的夹角为

=30

，如图所示，初速度的大小为v0=9.8m

s

1

。若忽略空气的阻力，试求：(1)质点落在斜面上的B点离开O点的距离；(2)在t=1.5s时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。811-21质点从倾角为=30的斜面上的O点被抛82解建立如图所示的坐标系(1)设B点到O点的距离为l，则B点的坐标可以表示为如果质点到达B点的时间为

，则可以列出下面的方程式(1)82解建立如图所示的坐标系(1)设B点到O点的距83以上两式联立，可解得(3)

(2)将式(3)代入式(1)，得83以上两式联立，可解得(3)(2)将式(3)代入式84(2)设在t=1.5s时质点到达C点，此时所以速度的大小为速度与y轴负方向的夹角为84(2)设在t=1.5s时质点到达C点，此时858586

例题6：在倾角为

的山坡上安放一尊大炮，大炮相对山坡的仰角为

，所发射炮弹的初速为v0。忽略了空气阻力，求炮弹击中目标的位置、最大射程和对应最大射程的仰角。解:取炮口为坐标原点，取x轴沿水平向右、y轴竖直向上，建立坐标系。

该题与抛体运动无本质差异，只是炮弹的着地点P不是在水平面上，而是在倾角为

的山坡上。另外，炮弹着地点P不是在水平面上86例题6：在倾角为的山坡上安放一尊大炮，大炮相对山坡的87根据抛物线方程：山坡的直线方程为(1)(2)（1）、（2）联立得：