【解析】（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册2.4 圆周角 同步测试

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（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册2.4圆周角同步测试

一、选择题

1．（2023九上·南宁期末）如图，在中，，则度数为（）

A．B．C．D．

2．（2023九上·江北期末）如图，在中，，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

3．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，点是优弧上一点，则的度数为（）

A．B．C．D．

4．（2023九上·滨江期末）如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

5．（2023九上·长兴期末）如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点.若，则的度数是（）

A．B．C．D．

6．（2023九上·宁波期末）如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（）

A．B．C．D．

7．（2023九上·武义期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

8．（2023九上·泰兴期末）如图，四边形内接于，，，则（）

A．B．C．D．无法确定

9．（2022九上·翁源期末）如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（）

A．120°B．110°C．100°D．50°

10．（2022九上·翁源期末）如图，是的直径，，则等于（）

A．32°B．58°C．60°D．64°

二、填空题

11．（2023九上·滨江期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是.

12．（2023九上·杭州期末）如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是.

13．（2023九上·沭阳期末）如图，点A，B，C在上，，则等于°.

14．（2023九上·永嘉期末）已知D是内一点，E是的中点，，，，，则.

15．（2023九上·澄城期末）如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为．

三、解答题

16．（2023九上·靖江期末）如图，已知四边形内接于.求证：.

17．（2022九上·海淀期末）如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．

18．（2022九上·利辛月考）如图，为的直径，弦的延长线相交于点，且

求证：．

19．（2022九上·临清期中）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．

求证：OD＝CD．

四、综合题

20．（2023九上·长兴期末）如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.

（1）求证：；

（2）若，求的长.

21．（2023九上·诸暨期末）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.

（1）若，，求的度数；

（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.

22．（2023九上·义乌期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.

（1）证明：

（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；

（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.

23．（2023九上·长顺期末）已知是的直径，弦与相交，．

（1）如图，若为的中点，求和的大小；

（2）如图，若为上的点，且，过点作与的延长线交于点，求证：是的切线．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，

∴.

故答案为：C.

【分析】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，据此解答即可.

2．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【解答】解：在中，

，

，

，

，

，

，

故答案为：C.

【分析】根据弦、弧的关系可得，进而推出，由圆周角定理可得∠CDB=∠ABD=25°，然后根据内角和定理进行计算.

3．【答案】B

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，

∴，

故答案为：B.

【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，据此计算.

4．【答案】D

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：如图，优弧上找一点，连接

∵

∴，

∵，

∴，

故答案为：D.

【分析】优弧上找一点D，连接AD、DB，根据圆内接四边形的性质可得∠D=180°-m，由圆周角定理可得∠AOB=2∠D，据此计算.

5．【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：，

，

为的内接四边形，

，

，

为弧的中点，

，

，

设，

则，，

，

，

在中，，

解得：，

，

故答案为：A.

【分析】由邻补角的性质可得∠BAD=180°-∠DAE=66°，由圆内接四边形的性质可得∠BCD=180°-∠BAD=114°，根据题意可得∠DAC=∠DCA，设∠DAC=∠DCA=x，则∠BAC=66°-x，∠BCA=114°-x，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠BCA=114°-x，然后根据内角和定理进行计算.

6．【答案】B

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点M，连接AM、CM，

则，

四边形ABCM是的内接四边形，

，

，

，

故答案为：B.

【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠AMC的度数，进而根据圆内接四边形的对角互补求出∠ABC的度数，最后根据邻补角定义即可算出∠CBD的度数.

7．【答案】C

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，且根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.

8．【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【解答】解：如图所示，连接，

∵，，

∴，则，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠BAO=∠ABO=75°，由内角和定理可得∠AOB=30°，根据相等的弦所对的圆心角相等可得∠COB=∠BOA=30°，则∠AOC=60°，由圆周角定理可得∠ADC=∠AOC，据此计算.

9．【答案】C

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：，

，

，

故答案为：C.

【分析】利用圆内接四边形得到的度数，再通过圆周角定理求得的度数.

10．【答案】D

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：，

，

故答案为：D.

【分析】圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

11．【答案】110°

【知识点】圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠A＝180°，

∴∠C＝180°﹣70°＝110°.

故答案为：110°.

【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠C+∠A＝180°，据此计算.

12．【答案】

【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【解答】解：当点P位于O点时，

，

则，此时的值最小；

当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；

由于点Р不与O，B重合，

于是.

故答案为：.

【分析】当点P位于O点时，OA=OC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=α=30°；当点P位于B点时，根据直径所对的角是90°可得α=∠ACB=90°，据此不难得到α的范围.

13．【答案】55

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，

∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），

∴

故答案为：.

【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=70°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.

14．【答案】4

【知识点】勾股定理；圆周角定理；确定圆的条件

【解析】【解答】解：延长CD至F，使DF=DC，则，且，

∴，

∴A，F，B，D四点共圆，

∴，

∴，

∴，

∴.

又，

∴，

∴.

故答案为：4.

【分析】延长CD到F、使CD＝DF知DE∥AF、DE＝AF，通过∠ABD＝∠DFA＝∠EDC知点A、F、B、D四点共圆，从而得到∠BFD＝∠BCD＝∠BAD，证△BFD≌△BCD知∠BAF＝∠BDF＝90°，在Rt△BAF中根据勾股定理可得AF的长即可．

15．【答案】8

【知识点】勾股定理；圆周角定理；角平分线的定义

【解析】【解答】解：连接AD，

∵∠ACB=90°，

∴AB是圆的直径，

∴∠ADB=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴

∴AD=BD，

在Rt△ADB中，

；

在Rt△ACB中

.

故答案为：8

【分析】连接AD，利用圆周角定理可证得AB是圆的直径，同时可得到∠ADB=90°，利用角平分线的定义可证得∠ACD=∠BCD，可得到AD=BD，利用勾股定理求出AB的长，然后利用勾股定理求出BC的长.

16．【答案】证明：如图，连接，

∵，

∴，

∴.

【知识点】圆周角定理

【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.

17．【答案】解：如图，连接．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵为直径，

∴．

∴．

【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【分析】连接AC，根据圆周角的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。

18．【答案】证明：如图：连接AC，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BP.

∵BC=PC，

∴AC为BP的垂直平分线，

∴AB=AP，

∴∠P=∠B，

∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P．

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【分析】连接AC，由AB为圆O的直径，可得∠ACB=90°，由垂直平分线的性质可得AB=AP，利用等边对等角可得∠P=∠B，根据三角形外角的性质即得结论.

19．【答案】证明：如图，连接OC，

∵点O是△ABC的内心，

∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，

∠DCO=∠BCD+∠OCB，

∴∠COD=∠DCO，

∴△DCO是等腰三角形，

∴OD=CD．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理

【解析】【分析】连接OC，先证明△DCO是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得OD=CD。

20．【答案】（1）证明：为的直径，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

；

（2）解：设，

，

，

在中，由勾股定理可得，

即，

解得：，（舍去），

，

由（1）得：，

，

，

，

的长为.

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠ACD=180°-∠ACB=90°，由已知条件可知DC=BC，AC=AC，利用SAS证明△ACD≌△ACB，得到∠D=∠B，由圆周角定理可得∠B=∠E，据此证明；

（2）设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得x的值，由（1）得∠D=∠E，则CD=CE，结合DC=CB可得CE=CB，据此解答.

21．【答案】（1）解：∵，，

∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°

（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，

∵，，

∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，

∵AD=CD，

∴∠ACD=∠DAC，

∵，

∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，

∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，

∴∠ACD=∠EBD，

∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，

∴γ=2（α+β）

【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.

（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.

22．【答案】（1）证明：∵D为的中点，

∴，

∴，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴；

（2）解：如图所示，连接OC，

∵D为的中点，

∴OD⊥AC，，

∴

∵

∵∠AOD=∠B=70°，

∴；

（3）解：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB＝4，AC＝3，

∴，OA=OD=2，

∵D为的中点，

∴AE=CE，

∵OA=OB，

∴，

∴.

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，即BC⊥AC，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得结论；

（2）连接OC，根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据二直线平行，同位角相等得∠AOD=∠B=70°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案；

（3）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理算出BC的长，根据垂径定理得AE=CE，进而根据三角形的中位线定理可得OE的长，最后根据DE=OD-OE即可算出答案.

23．【答案】（1）解：如图，连接，

是的直径，弦与相交，，

．

．

为弧的中点，，

，

；

（2）证明：如图，连接，

，

．

，

，

，

，

，

由，又，

．

是的一个外角，

．

．

是的切线．

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【分析】（1）连接OD，由圆周角定理可得∠ACB=90°，结合余角的性质求出∠ABC的度数，易得∠AOD=90°，由圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD，据此计算；

（2）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠OCD=∠ODC=25°，∠ACO=∠A=40°，结合内角和定理可得∠COD=130°，∠AOC=100°，利用周角的概念可求出∠AOD的度数，由平行线的性质可得∠P=∠BAC=40°，由外角的性质可得∠AOD=∠P+∠ODP=130°，求出∠ODP的度数，据此证明.

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（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册2.4圆周角同步测试

一、选择题

1．（2023九上·南宁期末）如图，在中，，则度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，

∴.

故答案为：C.

【分析】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，据此解答即可.

2．（2023九上·江北期末）如图，在中，，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【解答】解：在中，

，

，

，

，

，

，

故答案为：C.

【分析】根据弦、弧的关系可得，进而推出，由圆周角定理可得∠CDB=∠ABD=25°，然后根据内角和定理进行计算.

3．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，点是优弧上一点，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，

∴，

故答案为：B.

【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，据此计算.

4．（2023九上·滨江期末）如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：如图，优弧上找一点，连接

∵

∴，

∵，

∴，

故答案为：D.

【分析】优弧上找一点D，连接AD、DB，根据圆内接四边形的性质可得∠D=180°-m，由圆周角定理可得∠AOB=2∠D，据此计算.

5．（2023九上·长兴期末）如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点.若，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：，

，

为的内接四边形，

，

，

为弧的中点，

，

，

设，

则，，

，

，

在中，，

解得：，

，

故答案为：A.

【分析】由邻补角的性质可得∠BAD=180°-∠DAE=66°，由圆内接四边形的性质可得∠BCD=180°-∠BAD=114°，根据题意可得∠DAC=∠DCA，设∠DAC=∠DCA=x，则∠BAC=66°-x，∠BCA=114°-x，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠BCA=114°-x，然后根据内角和定理进行计算.

6．（2023九上·宁波期末）如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点M，连接AM、CM，

则，

四边形ABCM是的内接四边形，

，

，

，

故答案为：B.

【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠AMC的度数，进而根据圆内接四边形的对角互补求出∠ABC的度数，最后根据邻补角定义即可算出∠CBD的度数.

7．（2023九上·武义期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，且根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.

8．（2023九上·泰兴期末）如图，四边形内接于，，，则（）

A．B．C．D．无法确定

【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【解答】解：如图所示，连接，

∵，，

∴，则，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠BAO=∠ABO=75°，由内角和定理可得∠AOB=30°，根据相等的弦所对的圆心角相等可得∠COB=∠BOA=30°，则∠AOC=60°，由圆周角定理可得∠ADC=∠AOC，据此计算.

9．（2022九上·翁源期末）如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（）

A．120°B．110°C．100°D．50°

【答案】C

【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：，

，

，

故答案为：C.

【分析】利用圆内接四边形得到的度数，再通过圆周角定理求得的度数.

10．（2022九上·翁源期末）如图，是的直径，，则等于（）

A．32°B．58°C．60°D．64°

【答案】D

【知识点】圆周角定理

【解析】【解答】解：，

，

故答案为：D.

【分析】圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

二、填空题

11．（2023九上·滨江期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是.

【答案】110°

【知识点】圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠A＝180°，

∴∠C＝180°﹣70°＝110°.

故答案为：110°.

【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠C+∠A＝180°，据此计算.

12．（2023九上·杭州期末）如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是.

【答案】

【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【解答】解：当点P位于O点时，

，

则，此时的值最小；

当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；

由于点Р不与O，B重合，

于是.

故答案为：.

【分析】当点P位于O点时，OA=OC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=α=30°；当点P位于B点时，根据直径所对的角是90°可得α=∠ACB=90°，据此不难得到α的范围.

13．（2023九上·沭阳期末）如图，点A，B，C在上，，则等于°.

【答案】55

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【解答】解：∵，

∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），

∴

故答案为：.

【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=70°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.

14．（2023九上·永嘉期末）已知D是内一点，E是的中点，，，，，则.

【答案】4

【知识点】勾股定理；圆周角定理；确定圆的条件

【解析】【解答】解：延长CD至F，使DF=DC，则，且，

∴，

∴A，F，B，D四点共圆，

∴，

∴，

∴，

∴.

又，

∴，

∴.

故答案为：4.

【分析】延长CD到F、使CD＝DF知DE∥AF、DE＝AF，通过∠ABD＝∠DFA＝∠EDC知点A、F、B、D四点共圆，从而得到∠BFD＝∠BCD＝∠BAD，证△BFD≌△BCD知∠BAF＝∠BDF＝90°，在Rt△BAF中根据勾股定理可得AF的长即可．

15．（2023九上·澄城期末）如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为．

【答案】8

【知识点】勾股定理；圆周角定理；角平分线的定义

【解析】【解答】解：连接AD，

∵∠ACB=90°，

∴AB是圆的直径，

∴∠ADB=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴

∴AD=BD，

在Rt△ADB中，

；

在Rt△ACB中

.

故答案为：8

【分析】连接AD，利用圆周角定理可证得AB是圆的直径，同时可得到∠ADB=90°，利用角平分线的定义可证得∠ACD=∠BCD，可得到AD=BD，利用勾股定理求出AB的长，然后利用勾股定理求出BC的长.

三、解答题

16．（2023九上·靖江期末）如图，已知四边形内接于.求证：.

【答案】证明：如图，连接，

∵，

∴，

∴.

【知识点】圆周角定理

【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.

17．（2022九上·海淀期末）如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．

【答案】解：如图，连接．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵为直径，

∴．

∴．

【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解析】【分析】连接AC，根据圆周角的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。

18．（2022九上·利辛月考）如图，为的直径，弦的延长线相交于点，且

求证：．

【答案】证明：如图：连接AC，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BP.

∵BC=PC，

∴AC为BP的垂直平分线，

∴AB=AP，

∴∠P=∠B，

∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P．

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【分析】连接AC，由AB为圆O的直径，可得∠ACB=90°，由垂直平分线的性质可得AB=AP，利用等边对等角可得∠P=∠B，根据三角形外角的性质即得结论.

19．（2022九上·临清期中）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．

求证：OD＝CD．

【答案】证明：如图，连接OC，

∵点O是△ABC的内心，

∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，

∠DCO=∠BCD+∠OCB，

∴∠COD=∠DCO，

∴△DCO是等腰三角形，

∴OD=CD．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理

【解析】【分析】连接OC，先证明△DCO是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得OD=CD。

四、综合题

20．（2023九上·长兴期末）如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.

（1）求证：；

（2）若，求的长.

【答案】（1）证明：为的直径，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

；

（2）解：设，

，

，

在中，由勾股定理可得，

即，

解得：，（舍去），

，

由（1）得：，

，

，

，

的长为.

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠ACD=180°-∠ACB=90°，由已知条件可知DC=BC，AC=AC，利用SAS证明△ACD≌△ACB，得到∠D=∠B，由圆周角定理可得∠B=∠E，据此证明；

（2）设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得x的值，由（1）得∠D=∠E，则CD=CE，结合DC=CB可得CE=CB，据此解答.

21．（2023九上·诸暨期末）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.

（1）若，，求的度数；

（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.

【答案】（1）解：∵，，

∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°

（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，

∵，，

∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，

∵AD=CD，

∴∠ACD=∠DAC，

∵，

∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，

∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，

∴∠ACD=∠EBD，

∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，

∴γ=2（α+β）

【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质

【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.

（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，