【解析】四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学（文）试题

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四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】

故选C

【分析】根据集合的交集运算求解。

2．已知i为虚数单位，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】复数的基本概念

【解析】【解答】，

故选：B.

【分析】根据复数的代数形式的综合运算，分子分母同乘以分母的共轭复数求解.

3．已知函数，若，则x＝（）

A．－3B．－2C．3D．3或－2

【答案】C

【知识点】函数的值

【解析】【解答】x时f(x)=x30时f(x)=2x=8，解得x=2；

故选：C.

【分析】根据分段函数分两段讨论的可能性和取值.

4．已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）

A．-4B．-2C．-1D．1

【答案】B

【知识点】简单线性规划的应用

【解析】【解答】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分

将z=-2x+y化为y=2x+z，观察图形可得，当直线y=2x+z过点B时z最小。可得B(1，0)，则zmin=-2x1+0=-2.

故选：B

【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.

5．在区间上随机地抽取一个实数x，则x满足的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；几何概型

【解析】【解答】因为x2>，

选择：C.

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.

10．一次数学考试中，某班平均分为分，方差为，后来发现甲乙两名同学的成绩统计有误，甲同学的成绩统计为分，而实际成绩应该是分；乙同学的成绩统计为分，而实际成绩为分，现重新统计计算，得到方差为，则与的大小关系为（）

A．B．C．D．不能确定

【答案】B

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【解答】因为102+110=107+105，所以更正后的平均分不变，

又(102-100)2+(110-100)2>(107-100)2+(105-100)2

所以M>N

故选：B.

【分析】根据已知条件可知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小即可.

11．在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体

【解析】【解答】根据条件，在正三棱柱ABC-ABC中AB=BC=AC=AA=2，得到△ABC和△ABC为正三角形.

设点M，N分别为△ABC，△ABC的中心，连接MN，则MN=2，MN平面ABC；连接CM并延长交于AB于点D，则AD=BD=1.设点O为MN中点，连接CO，则点O为正三棱柱ABC-ABC外接球的球心.因为点M为正△ABC的中心，所以CM=CD=.

因为CM平面ABC，所以MN⊥CM，则正三棱柱外接球半径，

R=CO==，

所以该球的表面积为：4πR=4π×=.

故选：B.

【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心MN，则MN的中点O就是外接球的球心。CO就是外接球的半径，根据球面积公式S=4πR可以计算的外接球的面积。

二、多选题

12．若方程恰有一个实数根，则实数a的值为（）

A．eB．－eC．1D．－1

【答案】B,C,D

【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】令f(x)=xlnx，x∈(0，+)，则f'(x)=lnx+1，1当x∈（0，）时，f'(x)0，f(x)单调递增，当x=1时，f(x)=0，

当x趋向正无穷大时，f(x)趋向正无穷，故作出y=f(x)的大致图象，如图所示：

由题意，方程xnx=a(x-1)恰有一个实数根，

即函数y=f(x)的图象与直线y=a(x-1)的图象有一个公共点，

易知点(1，0)为函数y=f(x)的图象与直线y=a(x-1)的公共点，又曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=x-1，所以a=1，显然a≤0也成立，故实数a的值为a=1或a≤0，

故选：BCD

【分析】把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解.

三、填空题

13．已知，，，则实数k＝．

【答案】3

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】因为，所以有，解得k=3.

【分析】根据向量平行的坐标表示解题.

14．曲线所围成平面区域的面积为．

【答案】10π

【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程

【解析】【解答】曲线即为(x-1)2+(y-3)2=10，该曲线为圆，半径为，所以曲线所围成平面区域的面积为10π.

【分析】化简曲线得到圆的方程，根据圆的面积公式解答.

15．已知过原点的直线与曲线相切，则直线的斜率为．

【答案】e

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】由题意可得f'(x)=ex，设该切线方程y=kx，且与f(x)=ex相切于点(x0，y0)则：

y0=kx0y0=ex0>0k=f(x0)=ex0

整理得x0=1，

∴k=e，

故答案为：e.

【分析】根据题意，设出切点，然后求导，根据切线的斜率为切点处导数值即可得到结果.

16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为．

【答案】2

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质

【解析】【解答】设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线方程为：，

令y=0，可得M(，0)令x=0，可得N(0，)，所以△OMN面积；

又点B在椭圆上，所以x1，y1满足，因此：，当且仅当·，即x1=，y1=时等号成立，所以△OCD面积的最小值为2.

故填：2

【分析】设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，求出过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，得到△OMN面积S的表达式，利用B(x1，y1)在椭圆上的约束条件，根据基本不等式求得答案.

四、解答题

17．已知函数．

（1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）当时，求函数的单调区间．

【答案】（1）解：因为，所以，

因为在点处的切线与直线平行，所以，

即，解得.

（2）解：当时，则，

令，解得或，所以的单调递增区间为，，

令，解得，所以的单调递减区间为.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）函数的导函数，依题意可得，代入计算可得解；

（2）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.

18．现在的高一年级学生将会是四川省首届参加新高考的学生，高考招生计划按历史科目组合与物理科目组合分别编制．为了了解某校高一学生的物理学习情况，在一次全年级物理测试后随机抽取了100名学生的物理成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数低于60分为不及格．

（1）求直方图中a的值，并估计本次物理测试的及格率；

（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩不及格的学生中抽取6名作试卷分析，再从这6名学生中随机抽取2名做面对面交流，求2名面对面交流学生的成绩均来自的概率．

【答案】（1）解：因为，

所以，

由频率分布直方图可知，成绩不少于60分的频率为，

即及格率为.

（2）解：由分层抽样可知，成绩在，分别抽取的人数为，

不妨设成绩在的2人为，成绩在的4人为，

则任取2人的所有基本事件为，，共15个，其中2人成绩都在的有6个，

所以由古典概型知.

【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式

【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图直接计算即可得解.

(2)由分层抽样得出成绩在两个区间的人数，列出基本事件，由古典概型求解即可.

19．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）解：连接交于点，

因为，

所以与共面，

所以平面，

因为四边形为正方形，

所以，

又因为平面，平面，

所以，

又因为平面，平面，，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）解：连接、，由（1）得平面，

因为平面，平面，

所以，，

因为平面，，平面，

所以，，

易得，，

在中，，

在中，，

因为，

所以，

又因为平面，平面，，

所以平面，

所以．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】【分析】(1)连接BD交AC于点O，首先证明EF平面BDEF，根据正方形性质得出ACBD，由DE平面ABCD得出DEAC，进一步推出平面，又平面，得证．

(2)连接OF、OE，由（1）得平面，可证OF平面AEC，得出三棱锥F-AEC以AEC为底，FO为高，根据体积公式计算.

20．已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．

【答案】（1）解：由得焦点，则椭圆的焦点为，

因为椭圆离心率为，

所以，解得，则，

所以椭圆的方程为．

（2）解：设，

由得，，

易得，则，，，

因为，

所以，解得，

所以

．

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由抛物线方程得出椭圆的一个焦点得出c，根据椭圆离心率公式e=计算出a，再根据，确定椭圆方程；

(2)设，由直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出解出，由弦长公式计算得解.

21．函数，．

（1）当时，证明：；

（2）若是的一个极大值点，求实数的取值范围．

【答案】（1）解：当时，则，

所以当时，当时，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以在处取得极小值即最小值，即，

所以恒成立.

（2）解：函数定义域为，且，

当，即时恒成立，

当时，当时，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以在处取得极小值，即是的一个极小值点，不符合题意；

当，即时恒成立，所以在上单调递增，无极值，不符合题意；

当，即时，

令，解得或，令，解得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，即是的一个极小值点，不符合题意；

当，即时，

令，解得或，令，解得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，即是的一个极大值点，符合题意；

综上可得实数的取值范围为.

【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】(1)当a=0时，求出函数解析式及其导函数，根据导数分析函数单调性即可得到函数的最小值；

(2)求出函数的导函数，根据导函数的正负及ln2a与1的关系将a分成四个取值区间，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点，确定a的范围.

22．已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的倾斜角为，且过点．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角．

【答案】（1）解：由曲线的参数方程为（为参数），得，

，，即.

因为直线l的倾斜角为，且过点，所以直线l的参数方程（为参数），

（2）解：将直线的参数方程代入，

可得，即，

设，两点所对的参数为，，

一正一负，

，而，，

，，，

解得，为直线的倾斜角，，

，或，

直线的倾斜角为或.

【知识点】直线的倾斜角；参数的意义；参数方程化成普通方程；直线的参数方程

【解析】【分析】(1)将曲线C利用参数方程转化为普通方程即，根据直线的倾角与过定点写出参数方程；

(2)将直线l的参数方程代入，设A、B两点所对应的参参数为，利用韦达定理求出和积关系：，代入，化简即可求解.

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四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．已知i为虚数单位，则（）

A．B．C．D．

3．已知函数，若，则x＝（）

A．－3B．－2C．3D．3或－2

4．已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）

A．-4B．-2C．-1D．1

5．在区间上随机地抽取一个实数x，则x满足的概率为（）

A．B．C．D．

6．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）

A．或B．

C．D．

7．设，为不同的平面，，为不同的直线，，，则“”是“”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

8．函数在上是（）

A．偶函数、增函数B．奇函数、减函数

C．偶函数、减函数D．奇函数、增函数

9．已知，，，则（）

A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a

10．一次数学考试中，某班平均分为分，方差为，后来发现甲乙两名同学的成绩统计有误，甲同学的成绩统计为分，而实际成绩应该是分；乙同学的成绩统计为分，而实际成绩为分，现重新统计计算，得到方差为，则与的大小关系为（）

A．B．C．D．不能确定

11．在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．B．C．D．

二、多选题

12．若方程恰有一个实数根，则实数a的值为（）

A．eB．－eC．1D．－1

三、填空题

13．已知，，，则实数k＝．

14．曲线所围成平面区域的面积为．

15．已知过原点的直线与曲线相切，则直线的斜率为．

16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为．

四、解答题

17．已知函数．

（1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）当时，求函数的单调区间．

18．现在的高一年级学生将会是四川省首届参加新高考的学生，高考招生计划按历史科目组合与物理科目组合分别编制．为了了解某校高一学生的物理学习情况，在一次全年级物理测试后随机抽取了100名学生的物理成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数低于60分为不及格．

（1）求直方图中a的值，并估计本次物理测试的及格率；

（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩不及格的学生中抽取6名作试卷分析，再从这6名学生中随机抽取2名做面对面交流，求2名面对面交流学生的成绩均来自的概率．

19．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积．

20．已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．

21．函数，．

（1）当时，证明：；

（2）若是的一个极大值点，求实数的取值范围．

22．已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的倾斜角为，且过点．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】交集及其运算

【解析】【解答】

故选C

【分析】根据集合的交集运算求解。

2．【答案】B

【知识点】复数的基本概念

【解析】【解答】，

故选：B.

【分析】根据复数的代数形式的综合运算，分子分母同乘以分母的共轭复数求解.

3．【答案】C

【知识点】函数的值

【解析】【解答】x时f(x)=x30时f(x)=2x=8，解得x=2；

故选：C.

【分析】根据分段函数分两段讨论的可能性和取值.

4．【答案】B

【知识点】简单线性规划的应用

【解析】【解答】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分

将z=-2x+y化为y=2x+z，观察图形可得，当直线y=2x+z过点B时z最小。可得B(1，0)，则zmin=-2x1+0=-2.

故选：B

【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.

5．【答案】C

【知识点】一元二次不等式的解法；几何概型

【解析】【解答】因为x2>，

选择：C.

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.

10．【答案】B

【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差

【解析】【解答】因为102+110=107+105，所以更正后的平均分不变，

又(102-100)2+(110-100)2>(107-100)2+(105-100)2

所以M>N

故选：B.

【分析】根据已知条件可知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小即可.

11．【答案】B

【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体

【解析】【解答】根据条件，在正三棱柱ABC-ABC中AB=BC=AC=AA=2，得到△ABC和△ABC为正三角形.

设点M，N分别为△ABC，△ABC的中心，连接MN，则MN=2，MN平面ABC；连接CM并延长交于AB于点D，则AD=BD=1.设点O为MN中点，连接CO，则点O为正三棱柱ABC-ABC外接球的球心.因为点M为正△ABC的中心，所以CM=CD=.

因为CM平面ABC，所以MN⊥CM，则正三棱柱外接球半径，

R=CO==，

所以该球的表面积为：4πR=4π×=.

故选：B.

【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心MN，则MN的中点O就是外接球的球心。CO就是外接球的半径，根据球面积公式S=4πR可以计算的外接球的面积。

12．【答案】B,C,D

【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】令f(x)=xlnx，x∈(0，+)，则f'(x)=lnx+1，1当x∈（0，）时，f'(x)0，f(x)单调递增，当x=1时，f(x)=0，

当x趋向正无穷大时，f(x)趋向正无穷，故作出y=f(x)的大致图象，如图所示：

由题意，方程xnx=a(x-1)恰有一个实数根，

即函数y=f(x)的图象与直线y=a(x-1)的图象有一个公共点，

易知点(1，0)为函数y=f(x)的图象与直线y=a(x-1)的公共点，又曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=x-1，所以a=1，显然a≤0也成立，故实数a的值为a=1或a≤0，

故选：BCD

【分析】把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解.

13．【答案】3

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】【解答】因为，所以有，解得k=3.

【分析】根据向量平行的坐标表示解题.

14．【答案】10π

【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程

【解析】【解答】曲线即为(x-1)2+(y-3)2=10，该曲线为圆，半径为，所以曲线所围成平面区域的面积为10π.

【分析】化简曲线得到圆的方程，根据圆的面积公式解答.

15．【答案】e

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】由题意可得f'(x)=ex，设该切线方程y=kx，且与f(x)=ex相切于点(x0，y0)则：

y0=kx0y0=ex0>0k=f(x0)=ex0

整理得x0=1，

∴k=e，

故答案为：e.

【分析】根据题意，设出切点，然后求导，根据切线的斜率为切点处导数值即可得到结果.

16．【答案】2

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质

【解析】【解答】设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线方程为：，

令y=0，可得M(，0)令x=0，可得N(0，)，所以△OMN面积；

又点B在椭圆上，所以x1，y1满足，因此：，当且仅当·，即x1=，y1=时等号成立，所以△OCD面积的最小值为2.

故填：2

【分析】设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，求出过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，得到△OMN面积S的表达式，利用B(x1，y1)在椭圆上的约束条件，根据基本不等式求得答案.

17．【答案】（1）解：因为，所以，

因为在点处的切线与直线平行，所以，

即，解得.

（2）解：当时，则，

令，解得或，所以的单调递增区间为，，

令，解得，所以的单调递减区间为.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）函数的导函数，依题意可得，代入计算可得解；

（2）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.

18．【答案】（1）解：因为，

所以，

由频率分布直方图可知，成绩不少于60分的频率为，

即及格率为.

（2）解：由分层抽样可知，成绩在，分别抽取的人数为，

不妨设成绩在的2人为，成绩在的4人为，

则任取2人的所有基本事件为，，共15个，其中2人成绩都在的有6个，

所以由古典概型知.

【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式

【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图直接计算即可得解.

(2)由分层抽样得出成绩在两个区间的人数，列出基本事件，由古典概型求解即可.

19．【答案】（1）解：连接交于点，

因为，

所以与共面，

所以平面，

因为四边形为正方形，

所以，

又因为平面，平面，

所以，

又因为平面，平面，，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）解：连接、，由（1）得平面，

因为平面，平面，

所以，，

因为平面，，平面，

所以，，

易得，，

在中，，

在中，，

因为，

所以，

又因为平面，平面，，

所以平面，

所以．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】【分析】(1)连接BD交AC于点O，首先证明EF平面BDEF，根据正方形性质得出ACBD，由DE平面ABCD得出DEAC，进一步推出平面，又平面，得证．

(2)连接OF、OE，由（1）得平面，可证OF平面AEC，得出三棱锥F-AEC以AEC