必修一3幂函数专题强化训练

幂函数专题强化训练(一)基础巩固一、选择题1.设a=0.6o.6,b=0.6i.5,c=1.5o.6,则a、b、c的大小关系是（ ）A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<cD.b<c<a2.下列幂函数在(一8,0)上为减函数的是()1A.y=x3 B.y=X2 C.y=x333.使(3—2*—*2)-4有意义，x的取值范围是()A.R B.xW1且x#3 C.—3<x<11D.y=x2D.x<—3或x>14.下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是()A.y=x3 B.y=x21C.y=x2 D.y=x—21.函数y=xa与y=ax(Q£{—1,2,2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )D.c<a<b.已知幂函数f(x)=xmA(m£Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数仪0的解析式是..下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是.1 2 1①y=x2；②y=x4； ③y=x-3；④y=—x3.1/23三、解答题.已知函数f(x)=(m2—m—1)X-5m-3,m为何值时，f(x)：⑷是二次函数.⑴是幂函数; (2)是正比例函数； (3)是反比例函数;⑷是二次函数., 2 7.已知函数f(x)=xm—x且f(4)=2.⑴求m的值；⑵判定f(x)的奇偶性；⑶判断f(x)在(0,+8)上的单调性，并给予证明.2/23能力提升一、选择题.函数f(x)=(m2—m+1)xm牙2m-3是幂函数，且在(0,+8)上是减函数，则实数m=()A.0 B.1 C.2 D.0或1TOC\o"1-5"\h\z1 1 1.a=1.22,b=0.9-2,c=1.12的大小关系是( )A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a.如图所示，曲线q与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()仃1 2 XA.nVmV0 B.mVnV0 C.n>m>0 D.m>n>0.当x£(1,+8)时，幂函数y=xa的图象在直线y=x的下方，则a的取值范围是()A.(0,1)B.(一8,0) C.(一8,0)U(0,1) D.(一8,0)u(1,+8)二、填空题1.已知幂函数f(x)=x-4,若f(a+1)Vf(10-2a),则a的取值范围是..若a=(2)3,b=(5)3,c=(L)3,则a、b、c的大小关系是 .三、解答题.幂函数f(x)的图象经过点(，2),点(一2,4)在幂函数g(x)的图象上.⑴求f(x),g(x)的解析式；(2)x为何值时f(x)>g(x)?x为何值时f(x)Vg(x)?3/23.已知幂函数f(x)=x-呀2m+3(m£Z)为偶函数，且在区间(0,+8)上是单调增函数.⑴求函数仪0的解析式；⑵设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x£R恒成立，求实数c的取值范围.幂函数专题强化训练(二)一、A组.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则( )A?n>0,0<m<1' B.n<0,0<m<1 C.n>0,m>1 D.n<0,m>1.函数y=3xa-2的图象过定点()A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-1,-1).在下列幂函数礼既是奇函数又在区间(0,+8)上是增函数的是()4/23f(x)f(x)=x-if(x)=x-2f(x)=x3D.f(x)=，t三.已知a=1.二三,b=0.9-三,c=11,则(A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<bA.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b.已知当xe(1,+8)时，函数y=xa的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是( )A.0<a<1 B,a<0 C.a<1 D.a>1.函数y=x-2在区间停闾上的最大值为..已知函数y=(m2-9m+19)x2m-9是幂函数，且图象不过原点，则m=..为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xa(a为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是 ..已知函数y=3-3a+2)前>"(a为常数)，问:⑴当a为何值时，此函数为幂函数？(2)当a为何值时，此函数为正比例函数?⑶当a为何值时，此函数为反比例函数?.已知函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数.⑴求m的值；⑵求函数g(x)=h(x)+.IF(色在区间］D,£上的值域.5/23.已知幂函数f(x)=kxa(k£R,a£R)的图象经过点\"则k+a=()A.t B.1 C.4 D.2.已知幂函数f(x)=dm(m£Z)为偶函数，且在(0,+8)上是减函数，则m的值可能为()A.0,1,2 B.0,2 C.1,2 D.1.下列函数中，既是偶函数又在区间(-8,0)上单调递增的是()A.f(x)=：T B.f(x)=X2+1 C.f(x)=x3 D.f(x)=2-x.已知点(二,2)在幂函数f(x)的图象上,点7.Y.在幂函数g(x)的图象上,则当x=时,有f(x)>g(x)..若(a+1；=<(2a-2；：则实数a的取值范围是..若函数f(x)=ax(a>0,aW1)在区间［-1,2］上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)•不在区间［0,+8)上是增函数，则a=..已知f(x)="7",g(x)="：(其中a>0,且aW1).(1)由5=2+3,请你探究g(5)能否用f(2),g(2),f(3),g(3)来表示；(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广.6/23.已知幂函数f(x)=，g；-“k£N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0,+8)上是减函数.⑴求函数仪电的解析式；⑵若a>k,比较(lna)0.7与(5a)o.6的大小.幂函数专题强化训练(三)时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)21.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,2),则f(4)的值为()1A.16 B.16 C.2 D.2.幂函数的图象过点(2,；),则它的单调递增区间是()A.(0,+8) B.[0,+8) C.(—8,+8) D.(—8,0)111.设a£{—2,—1,—2,3,2,1,2,3},则使函数f(x)=x。为奇函数，且在(0,+8)上单调递增的a的值的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4.幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：11①②③④⑤⑥⑦⑧(如图1所示)，那么幂函数y=x22的图象经过的“卦限”是()7/23

图1TOC\o"1-5"\h\zA.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤122 122 111.若a=(2)33,b=(5)33,c=(2)33,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c{x|x{x|x<8}{x|x<16}{x|0Wx<8}{x|0Wx<16}6.幂函数六*)=*。的部分取值如下表:x127f(x)13则f(x)<2的解集是( )二、填空题(每小题8分，共计24分).设f(x)=(m—1)xm2-2,如果仪唠是正比例函数，则m=，如果仪0是反比例函数，则m=，如果f(x)是幂函数，则m=..已知幂函数f(x)=x&,若f(a+1)<f(10—2a),则a的取值范围是.1 1已知n£{—2,—1,0,1,2,3},若(一2)n>(—3)n,则n=.三、解答题(共计40分)2(10分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性.8/23(15分)若(a+1)-i<(3—2a)-i,试求a的取值范围.（15分）已知幂函数y=xrn2-2m.3（m£Z）在（0,+8）上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性.9/23

幂函数专题强化训练(一)答案

基础巩固一、选择题.设a=0.6o.6,b=0.6i.5,c=1.5o.6,则a、b、c的大小关系是( )a<b<a<b<ca<c<bb<a<cb<c<a［答案］C［解析］•••0.6£(0,1),，y=0.6x是减函数，・・・0.6。.6>0.61.5,又y=X0.6在(0,+8)是增函数，.・..6>0.60.6,,・3柏油，故选C..下列幂函数在(一8,0)上为减函数的是()1 1A.y=x3 B.y=X2 C.y=X3 D.y=x2［答案］B1 1［解析］函数y=x3,y=X3,y=x2在各自定义域上均是增函数，y=X2在(-8,0)上是减函数.33.使(3—2*—*2)-4有意义，x的取值范围是()A.R B.xW1且xW3 C.-3<x<1 D,x<-3或x>1［答案］C3 4［解析］(3-2x-X2)-4=(3-2x-x2.••・要使上式有意义，需3-2x-X2>0.解之得一3<x<1.4.下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是()A.y=A.y=x3B.y=x21C.y=x2 D.y=x-2［答案］D［解析］y=X3为R上的奇函数，排除A.y=X2在(0,1)上单调递增，排除B.1y=x2在(0,1)上单调递增，排除^故选D.15,函数y=xa与y=ax(Q£{-1,2,2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )10/23

［解析］直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x-i,1W—1.故A错；直线对应函数为y=2x,曲线i对应函数为y=x2,2W2.故B错；直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=X2*=2.故C对；直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,-1W3.故D错.TOC\o"1-5"\h\z4 2 16.已知a=23,b=33,c=253则( )A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b［答案］A4 2 1 2 2［解析］a=23=43,c=253=53,又函数y=x3在［0,+8)上是增函数，所以b<a<c.故选A.二、填空题.已知幂函数f(x)=x%1(m£Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数仪乂)的解析式是.［答案］f(x)=x-1［解析］•••函数的图象与x轴，y轴都无交点，.•・m2-1<0,解得一1<mW1；•••图象关于原点对称，且m£Z,.\m=0,Af(x)=x-1..下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是.1 2 1①y=x2；②y=x4；③y=x-3；④y=—x3.［答案］③［解析］①中函数y=x2不具有奇偶性:②中函数y=x4是偶函数，但在［0,+8)上为增函数；③中11/232 1函数y=x-3是偶函数，且在(0,+8)上为减函数；④中函数y=-x3是奇函数.故填③.三、解答题9.已知函数f(x)=(m2—m—1)X-5m—3,m为何值时，f(x)：⑴是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数.［解析］(1)・・・£(©是幂函数，故m2—m—1=1,即m2—m—2=0,解得m=2或m=—1.⑵若仪电是正比例函数，4则一5m—3=1,解得m=—5.4此时m2—m一1±0,故m=—5.⑶若f(x)是反比例函数，则一5m—3=-1,2则m=—5,此时m2—m—1W0,2故m=—5.⑷若f(x)是二次函数，则一5m—3=2,即m=-1,此时m2—m一1±0,故m=—1.2 710.已知函数f(x)=xm—x且f(4)=2.⑴求m的值；⑵判定f(x)的奇偶性；⑶判断f(x)在(0,+8)上的单调性，并给予证明.7 27［解析］(1)因为f(4)=2,所以4m—4=2,所以m=1.2⑵由⑴知f(x)=x—x,因为f(x)的定义域为{x|xW0},2 2又f(—x)=—x x=—(x—x)=—f(x).所以f(x)是奇函数.2 2(3)f(x)在(0,+8)上单调递增，设">*2>0,则f(x1)—f(x2)=x1—x1—(x2—x2)=(x1—x2)(1+12/232x1x2),因为X1>X2>0,2所以xi-x2>0,1+x1x2>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+8)上为单调递增函数.能力提升一、选择题.函数f(x)=(m2-m+1)x啥2m-3是幂函数，且在(0,+8)上是减函数，则实数m=()A.0 B.1 C.2 D.0或1［答案］A［解析］由m2—m+1=1,得m=0或m=1,再把m=0和m=1分别代入m?+2m—3V0检验，得m=0,故选A.1 1 1.a=1.22,b=0.9-2,c=1.12的大小关系是( )A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a［答案］D1［解析］.・，=*2是增函数，1 11 1，1.22>(0.9)2>1.12,即a>b>c..如图所示，曲线q与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()A.nVmV0 B.mVnV0 C.n>m>0 D.m>n>0［答案］A［解析］由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以mV0,nV0..当x£(1,+8)时，幂函数y=xa的图象在直线y=x的下方，则a的取值范围是()A.(0,1)B.(—8,0) C.(—8,0)u(0,1) D.(—8,0)U(1,+8)［答案］C13/23［解析］幂函数y=x2,y=x-i在(1,+8)上时图象在直线y=x的下面，即QV0或0VaV1,故选C.二、填空题.已知幂函数f(x)=x-4若f(a+1)Vf(10-2a),则a的取值范围是.［答案］(3,5)14TOC\o"1-5"\h\z廨析］宣0=*-4=*00),易知f(x)在(0,+8)上为减函数，又f(a+1)Vf(10-2a),10-2a>0, a<5,.•.a+1>10-2a解得a>3..•・3VaV5.12 12 11.若a=(2)3,b=(5)3,c=(2)3,则a、b、c的大小关系是.［答案］bVaVc2 11 1［解析］设fjx)=x3,则fjx)在(0,+8)上为增函数，・.・2>5,・・.a>b.又f2(x)=(2)x在(一8,+8)上为减函数，.・a<c.三、解答题1.幂函数f(x)的图象经过点(，2),点(—2,4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x),8(0的解析式；(2)x为何值时f(x)>g(x)?x为何值时f(x)Vg(x)?［解析］(1)设f(x)=xa,则()a=2,.,.Q=2,.・f(x)=x2,设g(x)=x%则(一2)p=4,・・8=—2,・g(x)=x-2(xW0).(2)从图象可知，当x>1或xV—1时，f(x)>g(x)；当一1VxV0或0VxV1时，f(x)Vg(x).8.已知幂函数f(x)=x-啥2m+3(m£Z)为偶函数，且在区间(0,+8)上是单调增函数.14/23

(1)求函数仪0的解析式；(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x£R恒成立，求实数c的取值范围.［解析］(1)；f(x)在区间(0,+8)上是单调增函数，...—mz+2m+3>0,即m2—2m—3<0,解得一1<m<3.又m£Z,「.m=0,1,2,而m=0,2时，f(x)=x3不是偶函数，m=1时，f(x)=x4是偶函数.，f(x)=x4.(2)由⑴知f(x)=x4,则g(x)=x2+2x+c=(x+1”+(c—1).Vg(x)>2对任意的x£R恒成立，，g(x)min>2,且x£R,则c—1>2,解得c>3.故实数c的取值范围是(3,+8).幂函数专题强化训练(二)答案.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则( )A?n>0,0<m<1'B.n<0,0<m<1 C.n>0,m>1 D.n<0,m>1答案:B.函数y=3xa-2的图象过定点()A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-1,-1)答案:AD..在下列幂函数礼既是奇函数又在区间(0,+8)上是增函数的是()D.A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2 C.f(x)=x3答案:C.已知a=1.工二,b=0.9二,c=L1,则( )A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b解析:b=0.9-三二看二=T=,c=-11=1.1=,15/23

・・.1.三二：4.二>i.即a>b>c.答案海.已知当xe（1,+8）时，函数y=xa的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是（ ）A.0<a<1A.0<a<1a<0a<1a>1解析：由幂函数的图象特征知a<1.答案4.函数y=x-2在区间［上的最大值为.解析：:函数y=x-2在区间L工:上是减函数，故该函数在区间［上的最大值为71-=4.答案:4.已知函数y=（m2-9m+19）x2m-9是幂函数，且图象不过原点，则m=.解析:令m2-9m+19=1，得m=3或m=6.当m=6时，原函数为y=x3过原点，不合题意，舍去.故m=3.答案:3.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文（加密）,接收方由密文到明文（解密）.现在加密密钥为y=xa（a为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是 .解析：由题目可知加密密钥y=xa（a是常数）是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出&的值.由题意，得2=4。,解得&三，则y=二.由工•二=3,得x=9，即明文是9.答案:9.已知函数y=3-3a+2）产一三一（a为常数），问:（1）当a为何值时，此函数为幂函数？（2）当a为何值时，此函数为正比例函数？（3）当a为何值时，此函数为反比例函数？16/23分析:根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.解：(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,解得a".⑵由题意知《2;3;解得a=4.⑶由题意知；二二/解得a=3..已知函数h(x)=(m2-5m+1)xm+i为幂函数，且为奇函数.(1)求m的值；⑵求函数g(x)=h(x)+. 在区间L£上的值域.解：(1);函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数，...m2-5m+1=1,解得m=0或m=5.：h(x)为奇函数，Am=0.⑵由⑴可知,g(x)=x+1一行,令-.1--A=t,则Ux=-^.Vxe[».1],Ate[0,1]..g(t)=-jt2+t+^=-1(t-1)2+1,易知其值域为悖-1].二、B组.已知幂函数f(x)=kxa(keR,aeR)的图象经过点gT.,则k+a=()A.3 B.1 C.4 D.2解析：•・•幂函数f(x)=kxa(keR,aeR)的图象经过点+，-M,Ak=1,3.='I,Aa=-T.Ak+a=1，==故选A.答案:A17/23.已知幂函数f(x)，dm(m£Z)为偶函数，且在(0,+8)上是减函数，则m的值可能为()A.0,1,2 B.0,2 C.1,2 D.1解析：当m=0或m=2时,f(x)=x-3为奇函数，排除A,B,C选项.故选D.答案:D.下列函数中，既是偶函数又在区间(-8,0)上单调递增的是()A.f(x)=：T B.f(x)=X2+1 C.f(x)=x3 D.f(x)=2-x解析：由偶函数的定义知,A,B为偶函数，易知f(x)=4在区间(-8,0)上单调递增,f(x)=x2+1在区间(-8,0)上单调递减，故选A.答案海.已知点(二,2)在幂函数f(x)的图象上,点7.Y.在幂函数g(x)的图象上,则当x=时,有f(x)>g(x).解析:设f(x)=xa,g(x)=xs,由题意，得2=(W)a,即a=2;-g=(-2)B,即B=-1.作出f(x)与g(x)的图象如图所示.从图中可看出当x<0或x>1时,f(x)>g(x).答案：(-8,0)U(1,+8).若(a+1；=<(2a-2；：则实数a的取值范围是.111解析：•・•幂函数y=在£R上为增函数，(2+1”；T；*・・・a+1<2a-2,・">3.答案：(3,+8).若函数f(x)=ax(a>0,a¥1)在区间［-1,2］上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m).工在区间［0,+8)上是增函数,则a=.解析：当a>1时，有a2=4,a-1=m，此时a=2,m=f,此时g(x)=一牙在区间［0,+8)上为减函数，不合题意；18/23若0<a<1,贝ij@-1=4,32刊,故a3，m=^,检验知符合题意.答案:二.已知f(x)="；,g(x)='"?(其中a>0,且aW1).(1)由5=2+3,请你探究g(5)能否用f(2),g(2),f(3),g(3)来表示;(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广.解：(1):飞⑸士^二而f(2)g(3)+g(2)f⑶<(a5+a-a-1-a-5+a5-a+a-1-a-5)=t(a5-a-5),・・・g(5)=f(2)g(3)+g(2)f(3).⑵由⑴可得g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:f(x)g(y)+g(x)f(y)=:(ax+y+ay-x—ax-y—a-y-x+ax+y—ay-x+ax-y—a-x-y)=T(ax+y-a-x-y)=g(x+y)..已知幂函数f(x)，rTL“k£N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0,+8)上是减函数.⑴求函数f(x)的解析式；⑵若a>k,比较(lna)0.7与(lna)0.6的大小.解：(1)因为幂函数f(x)=MYL“k£N*)在区间(0,+8)上是减函数，所以卜2-2卜3<0,解得-1。<3.因为k£N*,所以k=1,2.又因为幂函数f(x)，；jL=k£N*)的图象关于y轴对称，所以k=1,函数的解析式为f(x)=x-4.⑵由⑴知,a>1.当1<a<e时,0<lna<1,(lna)0.7<(lna)0.6;当a=e时，lna=1,(lna)0.7=(lna)0.6;当a>e时,lna>1,(lna)0.7>(lna)0.6.故当1<a<e时，(lna)0.7<(lna)0.6;19/23

当a=e时，(lna)o.7=(lna)0.6；当a>e时，(lna)o.7>(lna)o.6.幂函数专题强化训练(三)时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,2),则f(4)的值为()1 1A.1 1A.16 B.16 C.2D.22 1 1解析：设y=x、A2=2«.Aa=-2.A解析：设y=x、1Af⑷=2.答案：C.幂函数的图象过点(2,；),则它的单调递增区间是()A.(0,+8) B.[0,+8) C.(—8,+8) D.(—8,0)1解析：设f(x)=xa.由2a=4,得a=-2,故f(x)=x-2,其单调递增区间是(一8,0).答案：D111.设a£{—2,—1,—2,3,2,1,2,3},则使函数f(x)=x。为奇函数，且在(0,+8)上单调递增的a的值的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析：由幂函数的性质知a=1，1,3时满足题意.故选C.答案：C5.幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:11①②③④⑤⑥⑦⑧(如图1所示)，那么幂函数y=x22的图象经过的“卦限”是()20/23A.④⑦B.④⑧C.A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤解析:对幂函数y=xa，当aw(0,1)时，其图象在x£(0,1)部分在直线y=x上方,且图象过点(1,1),当x当x>1时其图象在直线y=x下方,故经过第①⑤两个卦限.答案：D1225答案：D1225.若a=(2)33122b=(5)33111c=(2)33,则a,b,c的大小关系是( )a<b<a<b<cc<a<bC.b<c<aD.b<a<c22解析：y=x33在［0,+8)上单调递增,122122 111122・二(2)33>(5)33.二(2)33>(2)33,，c>a>b.答案：D{x|x{x|x<8}{x|x<16}{x|0<x<8}{x|0Wx<16}6.幂函数六*)=*。的部分取值如下表:x127f(x)13则f(x)<2的解集是( )11#a=3,解析：把(1,1)、(27,3)代入f(x)=x:.f(x)=乂3再由x3<2得x<8.答案：A21/23

二、