2022-2023学年高一数学人教A版2019题型讲义第19讲空间几何体概念-1

第19讲基本立体图形【考点分析】考点一：多面体与旋转体①多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．②旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．考点二：几种常见的多面体①棱柱1.棱柱的定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱2.棱柱的有关概念：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如三棱柱分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……按棱柱的性质分类：(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(4)平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体．5.棱柱的简单性质：(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．②棱锥1.棱锥的定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥2.棱锥的有关概念：多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱表示法：用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如四棱锥S－ABCD分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体按棱锥的性质分类：(1)正棱锥：底面为正多边形，且顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥．(2)正四面体：每个面均为正三角形的三棱锥．5.棱锥的性质：(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形．(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形．③棱台1.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台2.棱台的有关概念：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台，如四棱台ABCD－A′B′C′D分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……5.棱台的性质：(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形．考点三：几种常见的旋转体①圆柱1.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱2.圆柱的有关概念：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线表示法：用表示它的轴的字母，即表示两底面圆心的字母表示，可记作圆柱O′O4.圆柱的简单性质：(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形．(4)过任意两条母线的截面是矩形．②圆锥1.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥2.圆锥的有关概念：如上图所示，轴为SO，底面为⊙O，SA为母线．另外，S叫做圆锥的顶点，OA(或OB)叫做底面⊙O的半径表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥SO4.圆锥的简单性质：(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆．(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形．③圆台1.圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台2.圆台的有关概念：原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、侧面、母线，如上图所示，轴为OO′，AA′为母线表示法：用表示轴的字母表示，上图中的圆台可记作圆台OO′4.圆台的简单性质：(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形．④球1.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球2.球的有关概念：半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径表示法：球常用表示球心的字母表示，如上图中的球记作球O【题型目录】题型一：简单几何体的识别题型二：平面图形旋转形成的几何体题型三：空间想象能力与几何体的侧面展开【典型例题】题型一：简单几何体的识别【例1】下列几何体不属于棱柱的是（）A．B．C．D．【例2】若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【例3】下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【题型专练】1.关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（）A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱2．下面的几何体中棱柱有（）A．个B．个C．个D．个3．观察四个选项中的几何体，其中判断正确的是（）A．几何体是棱台B．几何体是圆台C．几何体是棱锥D．几何体不是棱柱4．下列说法正确的是A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形5．（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是()A．所有的棱柱两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行C．棱柱至少有五个面D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱题型二：平面图形旋转形成的几何体【例1】给出下列说法：（1）圆柱的底面是圆面；（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；（3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交；（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是．【例2】给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【例3】下列说法正确的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台【题型专练】1．下列命题中，正确的个数是（）①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面.A．0B．1C．2D．32．下列结论中正确的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台C．以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱D．圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（）A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤4．下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（）A．B．C．D．题型三：空间想象能力与几何体的侧面展开【例1】如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（）A．B．C．D．【例2】如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（）A．12B．13C．D．15【例3】如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．B．C．D．【例4】如图所示，正方体的棱长为2，是上的一个动点，则的最小值是________.【例5】在长方体中,,,.(1)一只蚂蚁从长方体表面上一点A出发,沿表面爬行到另外一点,求蚂蚁爬行的最短路程;(2)一只蚂蚁从长方体表面上一点A出发,沿表面经过线段上一点爬行到另外一点,求蚂蚁爬行的最短路程;(3)一只蚂蚁从点A出发,沿表面爬行到点,求蚂蚁爬行的最短路程.【例6】已知直三棱柱中，，，为线段上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【题型专练】1.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为．2.如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）和的长.3．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为_______．4．如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知，，且当规定正视方向垂直平面时，该几何体的侧视图的面积为.若，分别