2022-2023学年高一数学人教A版2019题型讲义第4讲平面向量万能建系法5种常见题型

第4讲平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为的等边三角形正方形已知夹角的任意三角形矩形直角梯形平行四边形等腰梯形圆【题型目录】【题型目录】题型一：建坐标系求向量值题型二：三角形建坐标系求向量最值问题题型三：四边形建坐标系求向量最值问题题型四：多边形建坐标系求向量最值问题题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一：建坐标系求向量值【例1】如图在中，，为中点，，，，则（）A．-15B．-13C．13D．14【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，得到各点坐标，利用向量坐标运算法则求出，，从而求出数量积.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，又，，，则，即，即，则，，则，；故选：C．【例2】已知正方形的边长为2，以为边作正三角形，使得位于直线的两侧，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以为坐标原点，以为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，由正三角形及正方形的边长为2可知，，所以.故选：D【例3】，其中，则以下结论错误的是（）A．B．C．D．在方向上的投影向量为【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：在正八边形中，由过作因为，所以，所以对A选项：，故A正确，对B选项：，故B正确，对C选项：所以所以，故C不正确，对D选项：所以在方向上的投影向量为：，故D正确故选：C.【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池丈见方（即丈尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则（）．A．平方尺B．平方尺C．平方尺D．平方尺【答案】C【分析】设（尺），利用勾股定理可构造方程求得，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设（尺），则（尺），（尺），，解得：．以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则，，，，，，（平方尺）．故选：C.【例5】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.【题型专练】1．已知矩形中，，，，，则（）A．6B．10C．14D．38【答案】C【分析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，由条件得出点的坐标，进而得出向量的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系.则,由，则,由，则所以,所以故选：C2．（多选题）已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，下列结论正确的是（）A．B．C．D．在方向上的投影为【答案】BD【分析】以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出各点坐标，用向量的线性运算、数量积、向量的模坐标运算以及数量积的几何意义判断各选项．【详解】因为是边长为2的等边三角形，，所以E为的中点，且，以E为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，，,由得，则，取的中点G，连接，易得且，所以，所以，则.对于A，，故A错误；对于B，由可得，故B正确；对于C，，，，，所以，所以，故C错误；对于D，，，所以在方向上的投影为，故D正确.故选：BD.3．已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，，．则______．【答案】0【分析】建立平面直角坐标系，求得点坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得结果.【详解】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：则，设点的坐标为，则，因为，，故可得，上述两式相减可得：；则.故答案为：.4．如图，四边形是边长为8的正方形，若，且为的中点，则___________.【答案】20【分析】建立平面直角坐标系，表示出来，的坐标，然后利用坐标求数量积即可.【详解】以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，则，，所以.故答案为：20.5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为，则___________.【答案】【分析】根据向量的坐标运算求解即可【详解】由图可得，故故答案为：题型二：三角形建坐标系求向量最值问题【例1】已知在边长为的正三角形中，､分别为边､上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立直角坐标系由数量积坐标运算公式可得答案.【详解】如图建系，则､､，则，，设()，则()，则，，∴，，∴，当时取最大值，故选：B.【例2】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为A．B．1C．D．【答案】C【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，∵为边长为的正三角形，，∴，，∴.故选C．【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（）A．－B．0C．4D．－1【答案】A【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果.【详解】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选：A.【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题.【例4】已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出各个点的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得；利用平方为非负数的特性求得最小值．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系设，则所以所以最小值为所以选B【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题．【例5】在直角△中，,为边上的点且，若，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【详解】分析：把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围．详解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），，∵=λ，∴λ∈[0，1]，，．•≥•，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选D．点睛：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想．【例6】已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点，，，所以==13（当且仅当，即时取等号），所以的最大值为13．故选A．【题型专练】1．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．2．在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知可得为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得最值.【详解】由，，为等腰直角三角形，以为原点，，为轴和轴建立直角坐标系，如图所示，，，，是的中点，，是线段上任意一点，可设，，，，，，，故当时，的最小值为，故选：C．3．在中，P在边的中线上，则的值可以为（）A．B．0C．5D．【答案】AB【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的性质，可求得·的最值得选项.【详解】解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，当时，·取得最大值4.故选：AB.4．在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．【答案】【解析】以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案.【详解】以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：因为，，，所以，设，则，所以=，当时，有最小值，且为，故答案为：【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.5．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．【答案】7【分析】根据余弦定理求得，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求得点坐标，向量坐标，运用向量的数量积的坐标运算法则计算，再利用二次函数的最值，求得答案.【详解】由余弦定理得，，所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，当时，的最大值，最大值是7.故答案为：7.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量数量积的最值，属于较难题.6．已知，是的中点(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；(2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）建立直角坐标系，设出数据，写出向量与向量的坐标，代入夹角公式，计算得答案；（2）设动点的坐标，写出各个向量的坐标，代入计算得关于的目标函数，结合的取值范围，求得最小值.（1）因为，所以，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．令，则，所以,设向量与向量的夹角为，所以；（2）因为，所以，设，所以，当且仅当时，取得最小值．题型三：四边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】(1).(2).【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.【例2】如图，四边形ABCD满足：．若点M为线段BD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题设有、，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，则，设，利用向量数量积的坐标表示、结合二次函数的性质求最小值.【详解】由题意知：，有且，即，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，设点，且满足，点，∴，其中，当时，的最小值为，故选：B．【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设且在上，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最值.【例3】已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则.设，则，故，即的取值范围是.故选：A【例4】如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0B．C．1D．﹣1【答案】A【分析】以B为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出、、点坐标，然后分类讨论在线段DA，AB，BC时，并结合数量积的坐标公式求的最大值即可求解.【详解】以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图:可得，，，，①当E在DA上，设，其中，此时，，故；②当E在AB上，设，，此时，此时最大值为0；③当E在BC上，设，其中，，，此时，综上所述，的最大值是0.故选：A．【例5】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，因为且，则，所以，设，则，所以，所以的最小值为.故答案为：B.【题型专练】1．正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为__________．【答案】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，求出各点及的坐标，代入所求表达式，化简后可求得取值范围.【详解】以，为，轴建立直角坐标系则，，，，，设，则，，，，当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.2．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】5【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.【详解】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当取得最小值.故答案为：5【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求：(1)的值；(2)的最大值．【答案】(1)1，(2)1【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解.(1)解：建立如图所示平面直角坐标系：则，设，所以，所以；(2)因为，所以，因为，所以的最大值是1.4．如图，分别是矩形的边和上的动点，且.（1）若都是中点，求.（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.（3）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求.（2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值.（3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值.【详解】（1）以点A为原点建系，得,,，∴.（2）由（1）知，设，∴，，∴当时，最大值.（3）设，则，∴，当且仅当时，等号成立，故最小值是.5．如图，在梯形中，，，，，，（1）________．（2）P是上的动点，则的最小值为___________．【答案】

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11【分析】（1）根据图形，应用数量积的定义求即可.（2）令且，将转化为，结合数量积的运算律得到关于的函数，即可求最小值.【详解】（1）由题设知：.（2）若且，∵，，∴，∴，故当时，的最小值为11.故答案为：4，11.题型四：多边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，正八边形中，若，则的值为________．【答案】【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据的坐标运算可得答案.【详解】如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，，所以，，所以，即轴，为等腰直角三角形，设，则，，所以，所以，，与关于轴对称，所以，，，，由得，即，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【例2】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．【答案】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．【题型专练】1.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题【例1】（多选题）如图，直角的斜边BC长为2，，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方则（）A．有最大值也有最小值B．有最大值无最小值C．有最小值无最大值D．无最大值也无最小值【答案】BD【分析】设，则，所以，，.由化简为根据的范围可判断A；由化简为根据的范围可判断B；由化简为根据的范围可判断C；由化简为根据的范围可判断D.【详解】由题意，，所以，设，则的补角即与x轴正半轴的夹角，所以，，，所以，，由于，所以，当得时，取最大值为1，无最小值，有最大值为，无最小值，故有最大值无最小值，即A错误；所以，由于，所以，当得时，取最大值为1，无最小值，的最大值为，无最小值，故有最大值无最小值，故B正确；，由于，所以，当得时，取最大值1，无最小值，此时有最大值，无最小值，即有最大值无最小值，故C错误；，由于，所以，所以，既无最大值也无最小值，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.【例2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．3B．C．D．【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，圆的方程为，可设，所以．故．所以的最大值为故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.【例3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角的斜边，直角边，．若，，E为半圆弧的中点，F为半圆弧上的任一点，则的最大值为（）A．B．C．D．4【答案】B【分析】如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，，求出点坐标，写出半圆弧的方程，设出点坐标，用坐标法计算，利用三角函数性质求得最大值．【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，则，，，，，半圆弧的方程为，设（），，，，则，时取得最小值是，所