一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪新模型

一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪新模型

0tv全变分去噪图像噪声去除是数字图像处理领域的一个重要课题之一。首先,它能抑制噪声,为后续处理提供更精确地信息,如图像分割、图像压缩等;其次,图像去噪方法的研究也有助于促进其他图像处理问题的解决,如图像增强、边缘检测等。偏微分方程(PartialDifferentialEquation,PDE)方法作为近年来图像去噪的重要方法之一,已经引起了研究者们的广泛关注,因为它不但能较好地抑制噪声,而且能保持图像的边缘纹理特征,较好地克服了保持图像细节和抑制噪声的矛盾。研究者们对此也进行了大量研究,提出了很多图像去噪方法。1992年,Rudin等人提出了一种著名的图像去噪方法:全变分(TotalVariation,TV)方法。TV方法是一种确定性的方法,通过引入能量函数,将图像去噪问题转化为一个泛函求极值的问题,即变分问题。Rudin认为,有噪声图像的全变分比无噪声图像的全变分明显大,最小化全变分可以消除噪声,达到图像去噪的目的。实验结果表明,TV方法能够有效地去除噪声和保持图像边缘特征,是目前比较成功的图像去噪方法。随后,TV模型得到了一定的改进和推广。一方面,文献中对TV模型进行了推广,将一阶全变分去噪模型推广到高阶,得到了高阶偏微分方程图像去噪新模型。实验结果表明,该模型既能克服经典图像去噪方法的不足,又能在保持图像的边缘和过度平滑之间取得很好的平衡。另一方面,文献中对TV模型进行了改进,将对数图像处理数学模型与全变分去噪模型相结合,得到了基于对数图像处理的偏微分方程图像去噪新模型。结果表明,该模型减小了图像在去噪处理迭代过程中产生的误差,是一种比较有效的图像去噪方法。但无论是TV方法,还是与它相关的一些改进方法,研究者们几乎是用整数阶偏微分对图像去噪模型进行了推广和改进。而分数阶微分作为整数阶微分理论的一种推广,已经迅速在数学、医学和系统科学等许多研究领域得到广泛应用,所以采用分数阶微分理论进行数字图像处理也逐渐成为一个新的研究热点。近年来,不少学者将分数阶微分理论成功应用于解决许多诸如图像信号处理、边缘检测、图像增强等问题。蒲亦非等人将分数阶微分引入数字图像处理,提出了数字图像分数阶微分掩模及其数值运算规则。结果表明,对于纹理细节信息丰富的图像而言,分数阶微分对灰度变化不大的平滑区域中的纹理细节信息的提取效果明显优于整数阶微分运算。杨柱中等人通过分析信号的微分特性得出分数阶微分算子较整数阶微分算子具有更高的信噪比。实验表明,基于分数阶微分的边缘提取算子提取的边缘信息能避免产生较大的噪声,从而提高了信噪比。艾比刚等人利用分数阶微积分的定义,推导出分数阶微分梯度算子的频率滤波器。与其他方法相比,该滤波器对图像增强的效果更好,在增强细节的同时,能够有效地消除噪声。不仅如此,将分数阶微分理论应用于医学领域,在文献中,应用分数阶微分可以更准确地检测医学图像的边缘,较好地抑制噪声,以便提高医生诊断的速度和准确性。同样地,将分数阶微分理论应用于混沌系统领域,孙克辉等人提出了分数阶微分混沌系统的动态仿真模型,可以动态地观察系统变量的演化规律,并利用仿真过程的输出数据分析分数阶混沌系统的动力学特性。然而,研究者用分数阶微分理论对图像去噪的研究并不多,并且几乎未见到基于分数阶微分与全变分方法对图像去噪的研究。受上述文献的启发,为了在去噪的同时更好地保持边缘纹理特征等细节信息,将分数阶微分理论与TV模型相结合应用于图像去噪,利用分数阶微分能保留图像平滑区域中灰度相对变化不太剧烈的纹理细节信息的优点,同时结合TV方法保持边缘特征效果较好的性质,提出了一种分数阶微分的全变分图像去噪新模型。仿真实验表明,本文模型不仅具有较强的抑制噪声能力,而且具有较好的边缘特征保持能力,对于纹理细节丰富的图像而言,该模型在图像去噪同时保留了图像更多的纹理细节信息,优于常用的整数阶偏微分方法。1采用离散度分析和微分析成像新模型1.1tv图像去噪模型令u(x,y)为原始的清晰图像,u0(x,y)为受到噪声污染的图像。即u0(x,y)=u(x,y)+n(x,y),n(x,y)为具有零均值、方差为σ2的随机噪声,则TV去噪模型可表示为:其中:右边第一项为图像的正则项,它在极小化过程中可以起到抑制噪声的作用;第二项为保真项,它主要起保持图像边缘特征和降低图像失真度的作用。=(x,y)为梯度算子;Ψ为图像的定义域,像素点(x,y)∈Ψ。该模型对应的欧拉-拉格朗日方程为:从式(2)可以看出,扩散系数为1/u。在图像边缘处,u较大,扩散系数较小,沿着边缘方向扩散较弱,从而可以保留边缘;在图像平滑区域,u较小,扩散系数较大,在图像平滑区域扩散能力较强,具备一定的去噪能力。所以采用TV方法进行图像去噪可以在抑制噪声的同时较好地保持图像边缘。但该模型存在不足:一方面,由于该模型中正则项仅包含|▽u|,很多研究结果表明该模型本身存在固有缺陷,即在处理平滑区域时,有可能将噪声当成边缘,从而容易产生“阶梯”效应;另一方面,虽然TV图像去噪方法进行图像去噪有利于保持图像边缘信息,但对于图像的纹理细节的刻画却不够理想。因此有必要在此模型进行改进。1.2阶微分对高频、低频成分的提升和削弱效果分数阶微分的幅频特性曲线与整数阶微分进行比较,结果如图1所示。从图1中可以看出,微分运算都有提升高频的作用,且随微分阶数的增加呈非线性增长,同时对低频也有削弱作用。二阶微分对高频的提升和对低频的削弱效果明显强于一阶微分;对于分数阶微分而言,高频被提升程度虽小于一、二阶微分,但也获得了足够的提升;同时,中频也有所加强;低频却没有进行大幅衰减,而是呈非线性保留。由此可见,分数阶微分在加强图像高中频成分的同时,也对低频成分做了非线性保留。总之,分数阶微分可以大幅提升高频成分,增强中频成分,非线性保留低频成分。所以采用分数阶微分进行图像去噪时,不仅能较好地保持图像边缘特征,还能较好地保留图像平滑区域内灰度变化不大的纹理细节信息。1.3tv去噪优化模型受分数阶微分理论和TV模型的启发,本文将整数阶微分▽运算用v阶微分▽v来替换,如式(3)所示:这样替换有两个好处:1)全变分模型去噪效果好与保持图像边缘细节特征的优点得到了很好地继承;2)分数阶微分可以大幅提升图像高频成分、增强图像中频成分、非线性保留图像低频成分的特性,较好地保留了更多图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息。这样一来,本文建立的新模型较好地解决在去除噪声的同时,保持图像边缘特征这一矛盾,并且还能保留了图像更多的纹理细节信息。TV去噪模型已经由文献给出,推导出了相应的PDE,并选取了适当参数进行仿真实验,效果较好;而对于本文新模型,得到相应的PDE、数值实现、参数λ的选取都是不同的,即得到如下定理。定理1设原始清晰图像和噪声是相互独立的,噪声具有零均值,方差为σ2,则模型的最小化问题等价于:证明由于噪声具有零均值,方差为σ2,则TVv最小化的约束条件为:因此模型(3)~(5)定义了约束最优问题。由于TV范数的平移不变性:TV[u+c]=TV[u],c为任意常数,那么式(4)实际上是自满足的。因此问题转化为式(3)在式(5)的约束下的最小值问题。本文引入拉格朗日乘子λ,定义一个新的能量函数:该类泛函求极值的必要条件,即欧拉-拉格朗日方程为:整理得:结论得证,其中。不难看出,λ与σ2成反比。特别地,当v=1时该型退化为TV模型。此定理表明新模型也有与之等价的DE。1.4分数阶偏微分的生成由于u0(x,y)已知,λ对平滑图像与保持边缘纹理特征起重要作用,可以适当选取,下面只需对所涉及到的分数阶偏微分运算进行处理,数字图像u(x,y)的分数阶偏微分定义如下:可以看出函数u(x,y)在两坐标轴方向上分数阶偏微分的近似值中每一对应求和项的系数是相同的,因此,为了使误差不太大,根据式(10)可以选取分数阶偏微分定义的前三项:构造分数阶偏微分掩模算子分别作用在图像的两坐标轴方向上,这样在两坐标轴方向上就有了4个掩模算子分别对图像u(x,y)进行分数阶微分;再考虑对角方向上像素的影响,需要加上左右对角方向上的掩模算子,所以有8个掩模算子来自不同方向,相加得到分数阶微分掩模如图2所示。2tv模型去噪效果实验为了验证本文模型的有效性,进行了大量的计算机仿真实验。采用峰值信噪比(PeakSignaltoNoiseRatio,PSNR)作为去噪性能的客观评价尺度。定义如下:PSNR=10lg(M·N/MSE)第一组实验是对Circuit图像进行的去噪处理,如图3所示。其中图3(a)为原始图像,图3(b)~(e)是本文模型选取不同分数阶微分的阶数v得到的去噪结果。当0<v≤0.6时,实验效果随参数v的增加而逐渐变好;当v>0.6时,效果随v的增加而逐渐变差。不难看出,当v=0.6时,实验效果最好,如图3(f)所示。接下来,对不同的图像,本文选取较好的微分阶数v,与其他去噪方法进行对比实验。第二、三组是对Lena图像和Girl图像作去噪处理,对其加入均值为0,不同噪声方差(σ2分别为0.01、0.02、0.04、0.08)的高斯噪声,分别与其他去噪方法进行实验对比。从图4、5可以看出,传统的线性滤波和中值滤波处理后,噪声得到了一定的抑制,但图像边缘有不同程度的模糊,整体效果较差;与前两种方法相比,TV模型在去噪效果和保持图像边缘细节方面表现较好,但在背景等灰度变化平坦区域的纹理细节引起了一定程度的模糊;而用本模型去噪后的图像既可以抑制了大量噪声,又保护了帽檐、窗帘等边缘纹理细节。那是因为:一方面本文模型继承了TV去噪模型的优点,在去噪过程中保持了图像的边缘细节特征;另一方面针对整数阶偏微分的图像去噪方法不能较好地保留图像纹理细节问题,本文模型利用分数阶微分可以大幅提升图像高频成分、增强图像中频成分、非线性保留图像低频成分的特性,较好地保留了更多图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息。此外,从表1中PSNR值的比较结果同样可以看出,在噪声强度相同的条件下,本文模型得到的PSNR值均高于其他算法,也从客观角度说明了本文模型的有效性和优越性。3图像纹理图像去噪本文从全变分去噪模型和分数阶微分理论出发,推导出了一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪新模型。该模型不仅继承了TV模型去噪模型优点,保持了图像的边缘细节特征,而且很大限度上保留了图像的纹理细节信息。实验结果表明,与现有的去噪方法相比,新模型具有更优的噪声抑制性和边缘保护能力。特别地,对于整数阶偏微分的图像去噪方法不能较好地保留图像纹理细节问题,该模型对图像平滑