第七章窄带随机过程

第七章窄带随机过程第1页，课件共69页，创作于2023年2月目录窄带随机过程的一般概念与预备知识希尔伯特变换窄带随机过程的性质窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布第2页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page3

一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限带过程。在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同，分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功率谱密度具有以下特点则称X(t)为低通过程。第3页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page4若X(t)的功率谱密度满足则称X(t)为带通过程。第4页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page5若在上式中，则称X(t)为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程。第5页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page6一、正弦型信号的复数表示方法简单的正弦型信号可以表示为很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。第6页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page7对于式的正弦信号来说，一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数函数为或式中称之为复包络。比较以上两式可得，第7页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page8

将复指数函数展开，可得式中，s(t)是原来的实信号，是另一个实信号。第8页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page9设s(t)是任意实信号，具有频谱，根据前面的讨论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分析，我们想寻找一种复信号，它同时满足式中，是该复信号的频谱。二、任意信号的复数表示方法第9页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page10利用令则第10页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page11

现在假定我们已经找到一个复信号，它的频谱满足又从而第11页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page12解析信号进一步得出上式给出了解析信号的虚部和它的实部（即原来的实信号）s(t)之间的关系式，把它称为希尔伯特（Hilbert）变换，记作第12页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page13归纳以上的讨论，可以得出几点结论：（1）对应于任何实信号s(t)，都可以找到一个同时两个条件的复信号。（2）可将此复信号表示成解析表达式其虚部是s(t)的希尔伯特变换，即（3）式给出的是一种非常重要的复信号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包络。第13页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page14三、高频窄带信号的复数表示方法所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱限制在载波频率附近的一个频率范围内，而且此频带范围远小于载波频率。常将窄带信号表示为展开可以得到其中由于、都是低频限带信号。可见，和也都是低频限带信号，且与彼此正交。第14页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page151.窄带信号的复解析表示

若s(t)为窄带信号，其振幅频谱如下图所示，定义窄带信号的解析信号为式中，。从而的振幅频谱如下页图所示。窄带信号频谱举例第15页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page16解析信号的振幅频谱第16页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page172.窄带信号的复指数表示定义s(t)的复指数函数为

式中

通常，将称为的复包络；将称为复载频。可见，复包络也是低频限带信号。即，复指数函数的实部就是窄带信号s(t)。第17页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page18下面再来求的频谱。

对下式两端作傅里叶变换，并利用傅里叶变换的相乘性质及可得可见，具有单边带频谱。第18页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page19下面我们再来求复指数函数的频谱与原来实信号s(t)的频谱之间的关系:

或上式说明，用复指数信号表示实窄带信号s(t)时，虽然它的实部仍为原来的实信号s(t)，但是，它的频谱不满足即。这是复指数信号与解析信号的差别。第19页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机过程的一般概念与预备知识Page20下图画出了窄带信号条件下，、和之间的关系。第20页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page21

定义：在区间内给定实值函数x(t)，它的希尔伯特变换记作（或者记作）用代入上式，进行变量置换，可得到上式的等效形式为

第21页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page22下面给出希尔伯特变换的两个重要性质：（1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。

希尔伯特变换等效为90°移相的线性滤波器第22页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page23

推广：若是低频带限的平稳信号（功率谱的最高非零频率限制在以下），则有：并且有：H[奇函数]=偶函数，H[偶函数]=奇函数第23页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page24（2）希尔伯特逆变换为第24页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换希尔伯特变换的性质（1）两次变换等于反相第25页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换第26页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page27（4）对于平稳随机信号，它的希尔伯特变换也是平稳的，并且有：证明：第27页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换第28页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page29（5）希尔伯特变换是正交变换。当输入是平稳信号时，有：这表明：与功率相等且彼此正交。证明：由性质（3）可得：因为是偶函数，所以是奇函数，即希尔伯特变换前、后信号的功率相等。于是可得：因此，在同一时刻上与彼此正交。第29页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page30第30页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page31第31页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page32第32页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page33第33页，课件共69页，创作于2023年2月希尔伯特变换Page34第34页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机信号的性质Page35分析条件X(t)是任意的宽平稳、数学期望为零的实窄带随机过程。已知窄带过程的包络和相位相对于ω0都是慢变化过程，则很明显Ac(t),As(t)相对于ω0为慢变部分。第35页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机信号的性质Page36性质1：X(t)是均值为0的平稳过程，则Ac(t),As(t)也是均值为0的平稳过程，且联合平稳性质2：自相关函数相同：平均功率相同：方差相同：性质3：功率谱密度相同

第36页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机信号的性质Page37第37页，课件共69页，创作于2023年2月窄带随机信号的性质Page38性质4：互相关函数：互相关函数为奇函数：在同一时刻两者正交：性质5：互功率谱密度

第38页，课件共69页，创作于2023年2月Page39窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布假定窄带高斯过程X(t)的均值为零,方差为σ2宽带噪声N(t)高频窄带系统包络检波相位检波窄带高斯过程X(t)平方律检波第39页，课件共69页，创作于2023年2月Page40窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布若X(t)为高斯过程，则Ac(t),As(t)也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差σ2

由于Ac(t),As(t)在同一时刻是互不相关的，且二者都是高斯过程，所以，它们在同一时刻也是互相独立的。

第40页，课件共69页，创作于2023年2月Page41窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布又由于A(t)和Φ(t)的联合概率密度为即可得第41页，课件共69页，创作于2023年2月Page42窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布包络的一维概率密度为瑞利分布相位的一维概率密度为均匀分布在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随机变量第42页，课件共69页，创作于2023年2月Page43窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布包络和相位的二维概率分布求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：先求出四维概率密度

然后转换为

最后再推导出,

第43页，课件共69页，创作于2023年2月Page44窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布两过程独立四维的联合分布可以用二维分布来表示：

（1）求第44页，课件共69页，创作于2023年2月Page45窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布第45页，课件共69页，创作于2023年2月Page46窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布（2）求第46页，课件共69页，创作于2023年2月Page47窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布其它第47页，课件共69页，创作于2023年2月Page48窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布（3）求的二维分布第一类零阶修正贝塞尔（Bessel）函数包络的二维分布第48页，课件共69页，创作于2023年2月Page49窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布相位的二维分布窄带随机过程的包络和相位的二维分布彼此是不独立的第49页，课件共69页，创作于2023年2月Page50余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布随机余弦信号为已知常数，在上均匀分布。均值为零，方差为的平稳随机过程。关于偶对称。（均为高斯分布）高斯窄带噪声理解分析过程第50页，课件共69页，创作于2023年2月Page51余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布合成信号合成信号的包络合成信号的相位第51页，课件共69页，创作于2023年2月Page52窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布（1）求在给定条件下的方差二维条件概率密度均值高斯过程第52页，课件共69页，创作于2023年2月Page53余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布（2）求在给定条件下的由于：包络与相位的二维条件概率密度第53页，课件共69页，创作于2023年2月Page54余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布（3）求包络的一维概率密度包络的一维概率密度n=2的莱斯分布a=0时，变为瑞利分布，即前面窄带过程的包络分布第54页，课件共69页，创作于2023年2月Page55余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布当r<<1时，（小信噪比时）（瑞利分布）当r>>1时，（大信噪比时）讨论：第55页，课件共69页，创作于2023年2月Page56余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布(高斯分布)包络的概率密度函数第56页，课件共69页，创作于2023年2月Page57余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布（4）求相位的一维概率密度当r0时，（小信噪比时）（均匀分布）概率积分函数第57页，课件共69页，创作于2023年2月Page58余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布其均值为

，方差为高斯分布当r→∞时，（无噪声）当r>>1时，（大信噪比时）第58页，课件共69页，创作于2023年2月Page59余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布相位的概率密度函数信噪比r极小时，接近均匀分布信噪比r较大时，在θ附近接近高斯分布信噪比趋于r→∞时，趋于在上的一个冲激相位的一维概率密度总结第59页，课件共69页，创作于2023年2月Page60窄带高斯过程包络平方的概率分布若窄带高斯过程通过平方律检波器，其输出是包络的平方，即为窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即已知，则Ut的概率密度为窄带高斯过程的包络平方为指数分布窄带高斯噪声包络平方的分布第60页，课件共69页，创作于2023年2月Page61窄带高斯过程包络平方的概率分布包络平方因为包络服从莱斯分布包络平方的概率密度余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的概率分布第61页，课件共69页，创作于2023年2月Page62窄带高斯过程包络平方的概率分布

分布

定义：若n个互相独立的高斯变量X1,X2,…,Xn的数学期望都为零，方差为

，则的分布是具有n个自由度的中心

分布（1）中心

分布

第62页，课件共69页，创作于2023年2月Page63窄带高斯过程包络平方的概率分布概率密度为

性质：两个互相独立的具有分布的随机变量之和仍为分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n=n1+n2。