三角形的相关概念（测试）

专题01三角形的相关概念专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．（2018秋•滨江区期末）已知线段a＝2cm，b＝4cm，则下列长度的线段中，能与a，b组成三角形的是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【点拨】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．【解析】解：∵a＝2cm，b＝4cm，∴2cm＜第三边＜6cm∴能与a，b能组成三角形的是4cm，故选：B．【点睛】考查了三角形三边关系，利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．2．（2019秋•萧山区期中）在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，则下列关于∠C的说法正确的是（）A．它等于40° B．它等于50° C．它是个直角 D．它是个钝角【点拨】根据三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．3．（2019秋•温州期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（）A．75° B．80° C．85° D．90°【点拨】由题意得：∠A＝30°，∠FDE＝45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF的度数，在△AMD中，利用三角形内角和为180°，可以求出∠AMD的度数．【解析】解：∵∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．4．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°【点拨】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．5．（2019春•慈溪市期末）△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是（）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠C＝2∠B C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C【点拨】根据三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝2∠B＝3∠C，∴，解得：，错误；B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝2∠B，不能得出∠C＝90°，错误；C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝75°≠90°，错误；D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，正确；故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．6．（2019春•西湖区校级月考）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交，则有（）A．∠1+∠2﹣∠3＝180° B．∠1﹣∠2+∠3＝180° C．∠3+∠2﹣∠1＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°【点拨】先根据平行线的性质得出∠3＝∠4，根据∠4+∠5＝180°可得出∠3+∠5＝180°，由三角形内角与外角的关系即可得出结论．【解析】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，∵∠4+∠5＝180°，∴∠3+∠5＝180°…①，∵∠1+∠5＝∠2…②，∴∠5＝∠2﹣∠1…③，把③代入①得，∠3+∠2﹣∠1＝180°．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形内角与外角的关系及平行线的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：①两直线平行，同位角相等；②三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和．7．（2019•玉环市一模）如图，将一副三角板如图放置．若AE∥BC，则∠AFD＝（）A．90° B．85° C．75° D．65°【点拨】根据平行线的性质求出∠EDC，根据三角形的外角的性质计算即可．【解析】解：∵AE∥BC，∴∠EDC＝∠E＝45°，∴∠AFD＝∠FDC+∠C＝75°，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．8．（2018秋•江干区期末）若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（）A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ【点拨】根据垂线段最短即可判断．【解析】解：如图，∵PA⊥BC，∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，故选：D．【点睛】本题考查三角形的高，中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2019秋•永嘉县期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【点拨】三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即可求出答案．【解析】解：∵S△ABC＝16cm2，D为BC中点，∴S△ADB＝S△ADC＝＝8cm2，∵E为AD的中点，∴S△BED＝＝4cm2，S△CED＝S△ADC＝4cm2，∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，∵F为CE的中点，∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，能灵活运用等底等高的三角形的面积相等进行求解是解此题的关键．10．（2019春•西湖区校级月考）四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（）A．组成的三角形中周长最小为9 B．组成的三角形中周长最小为10 C．组成的三角形中周长最大为19 D．组成的三角形中周长最大为16【点拨】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解析】解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四种情况，由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7，即x＝4或5或6．①当三边为3、4、6时，其周长为3+4+6＝13；②当x＝4时，周长最小为3+4+4＝11，周长最大为4+6+4＝14；③当x＝5时，周长最小为3+4+5＝12，周长最大为4+6+5＝15；④若x＝6时，周长最小为3+4+6＝13，周长最大为4+6+6＝16；综上所述，三角形周长最小为11，最大为16，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形三边关系，利用了分类讨论的思想．掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答本题的关键11．（2017秋•杭州期中）如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（）A．∠1﹣∠A＝2∠2 B．∠2+∠1＝2∠A C．∠1﹣∠2＝2∠A D．2∠2+2∠A＝∠1【点拨】先根据图形翻折变换的性质得出∠A＝∠A′，再根据三角形外角的性质进行解答即可．【解析】解：∵△A′ED是△AED翻折变换而成，∴∠A＝∠A′，∵∠AFD是△A′EF的外角，∴∠AFD＝∠A′+∠2，∵∠1是△ADF的外角，∴∠1＝∠A+∠AFD，即∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A′+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A，故选：C．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形外角的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．二、填空题12．（2017秋•兖州区期末）三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为4．【点拨】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．【解析】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．即2＜a＜6，由周长为偶数，则a为4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．13．（2019•温州一模）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝50°，∠B＝35°，则∠ECD等于42.5°．【点拨】利用三角形的外角的性质求出∠ACD即可．【解析】解：∵∠ACD＝∠A+∠B＝50°+35°＝85°，又∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD°，故答案为42.5．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2019秋•温岭市期中）如图，AD是△ABC的中线，若AB：AC＝3：4，则S△ABD：S△ACD＝1：1．【点拨】根据三角形的中线的性质即可解决问题．【解析】解：在△ABC中，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，∴S△ABD：S△ACD＝1：1．故答案为1：1【点睛】本题考查三角形的中线的性质，解题时注意不要与角平分线的性质定理混淆．15．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，且相交于点P．已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，则∠B为45度．【点拨】根据∠AEP＝∠B+∠ECB，只要求出∠ECB即可解决问题．【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°，∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°﹣55°＝35°，∵∠AEP＝∠B+∠ECB，∴∠B＝80°﹣35°＝45°，故答案为45．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2019秋•新昌县期中）在△ABC中，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC＝48，AB＝28．【点拨】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可．【解析】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，则4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，则4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC＝48，AB＝28．故答案为：48；28．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．17．（2018秋•江干区期末）一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x的取值范围是≤x＜．【点拨】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论．【解析】解：设三角形的其他两边为：y，z，∵x+y+z＝l，y+z＞x∴可得x＜，又因为x为最长边大于等于，∴≤x＜；故答案为：≤x＜．【点睛】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且最长边不能小于周长．18．（2018秋•嘉善县期末）若△ABC三边a、b、c的长都是偶数，且a＜b≤c，若b＝2k（k是正整数），则这样的三角形共有个．【点拨】由三角形的三边关系与a＜b≤c，即可得a+b＞c，继而可得b≤c＜a+b，又由c﹣b＜a＜b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，即可得a＝2，k，然后分别从a＝2，4，6，8去分析求解即可求得答案．【解析】解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．∵b≤c，∴b≤c＜a+b，又∵c﹣b＜a＜b，三角形的三边a，b，c的长都是偶数，∴0＜a＜2k，∴当a＝2时，2k≤c＜2k+2，此时，c＝2k．①当a＝4时，2k≤c＜2k+4，此时，c＝2k，2k+2．②当a＝6时，2k≤c＜2k+6，此时，c＝2k，2k+2，2k+4；③当a＝8时，2k≤c＜2k+8，此时，c＝2k，2k+2，2k+4，2k+6；④当a＝2k﹣2时，2k≤c＜4k﹣2，此时，c＝2k，2k+2，2k+4，2k+6…4k﹣4．根据以上结论可以得到：b＝2k（k是正整数），则这样的三角形共有＝个．故答案为：．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．此题难度较大，解题的关键是根据三角形的三边关系与a，b，c的长都是整数，且a＜b≤c，b＝2k去分析求解，得到a＝2，4，6，8．三、解答题19．（2018秋•西湖区校级月考）如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，求AD的长．【点拨】利用三角形的面积列式计算即可得解．【解析】解：S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，∵AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，∴×4×6＝×8•AD，解得AD＝3cm．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的面积列出等式是解题的关键．20．（2019春•西湖区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，DE∥AC．（1）求∠DEB的度数；（2）求∠BDC的度数．【点拨】（1）由三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，再由平行线的性质可得∠DEB＝∠ACB，可得出∠DEB的度数；（2）由CD为∠ACB的平分线，根据角平分线定义求出∠ECD的度数，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】解：（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣30°＝70°，又∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝70°；（2）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠ACD＝∠ECD＝∠ACB＝35°，∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠ECD＝180°﹣30°﹣35°＝115°．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21．（2019秋•新昌县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）【点拨】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；