专题4-2同角三角函数的基本关系式及诱导公式5大考点（原卷版）

专题4-1同角三角函数的基本关系式及诱导公式5大考点知识点一同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2、商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3、同角三角函数的基本关系式的几种变形（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．（2）(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.（3）sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).知识点二三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。一、对sinα，cosα，tanα的知一求二问题1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意tanα＝eq\f(sinα,cosα)的灵活应用3、知切求弦：先利用商数关系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝eq\f(sinα,tanα)，然后利用平方关系求解二、已知tanα求sinα，cosα齐次式中“切弦互化”的技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：（1）sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；（2）sinα，cosα的齐次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．2、切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．三、sinα±cosα与sinαcosα关系的应用对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，则sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．四、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤eq\x(\a\al(任意负角,的三角函,数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式)),\s\do8(三或一))eq\x(\a\al(任意正角,的三角函,数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式一)))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三角,函数))eq\o(→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式二)),\s\do8(或四或五))eq\x(\a\al(锐角三,角函数))也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．五、明确三角函数式化简的原则和方向（1）切化弦，统一名．（2）用诱导公式，统一角．（3）用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．六、常见的互余和互补的角互余的角与，与，与互补的角与，与对给定的式子进行化简求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化，特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错。考点一sina、cosa、tana知一求二【例1】（2023春·湖南永州·高三统考阶段练习）已知，，则等于（）A．B．C．D．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若sinα＝－，则tanα＝.【变式1-2】（2023·四川凉山·统考一模）若，，则．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）若，，则（）A．B．C．D．【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）若，则．考点二sina与cosa齐次式化弦为切【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则【变式2-1】（2023·高三课时练习）若，则的值为.【变式2-2】（2023·广西·校联考模拟预测）已知，则（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023·江西赣州·统考二模）已知为锐角，满足，则．【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（）A．B．C．D．【变式2-5】（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边落在直线上．求（1）的值；（2）的值．考点三sina±cosa、sinacosa知一求二【例3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（）A．B．C．D．【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（）A．B．C．D．【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知是三角形的一个内角，且满足，则（）A．2B．1C．3D．【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则．【变式3-4】（2023·全国·高三对口高考）已知，求值：（1）；（2）；（3）.考点四利用诱导公式化简求值【例4】（2023·全国·高三专题练习）求值：=（

）A．B．C．D．【变式4-1】（2022秋·河南南阳·高三统考期中）已知函数，则.【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则＝.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为．【变式4-4】（2020秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知是第四象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【变式4-5】（2023秋·吉林长春·高三长春市第十七中学校考开学考试）已知，，（1）化简；（2）若为第三象限角，且，求的值.考点五利用角之间的关系求值【例5】（2023·全国·高三对口高考）已知，则.【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值等于（）A．