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精品文档-下载后可编辑数学归纳法在高考数列题中的应用【摘要】高考中用到的数学归纳法形式主要是第一数学归纳法，虽然在一些高考数列题中除了用数学归纳法来解之外还可以用其他方法，但是作为一种解题的方法，数学归纳法在解这些高考题时起到了比较有效的作用.相对于其他方法，解某些数列题用数学归纳法来解，可能思路要顺畅一些.因此，在用其他方法受到阻碍的时候，数学归纳法不失为一种有效的解决问题的好方法.

【关键词】第一数学归纳法；数列；证明

第一数学归纳法主要用来证明与整数有关的命题，它的步骤如下：

1.设p（n）是与整数n有关的命题，d为一给定的整数，p（d）成立.

2.对任一k，k∈Zd，Zd={n|n≥d，n∈Z}.

由1，2可知对一切n（n∈Zd），命题p（n）成立.

一、先猜想，后用数学归纳法证明的数列题

例1（2022年广东卷理科19题）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N.

（1）求a2的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有11a1+11a2+…+11an

简解（1）令n=1代入2Sn1n=an+1-113n2-n-213即可得a2=4.

（2）根据a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N，就可算出a2=4，a3=9，a4=16，a5=25，…，猜想：an=n2.

下面用数学归纳法证明：

1）当n=1时，a1=12=1，命题成立.

2）假设n=k（k≥1）时，ak=k2成立，则当n=k+1时有

ak+1=2Sk1k+k213+k+213=2（a1+a2+…+ak）1k+k213+k+213=2（12+22+…+k2）1k+k213+k+213=21k×k（k+1）（2k+1）16+k213+k+213=k2+2k+1=（k+1）2，所以当n=k+1时，命题也成立.由1）及2）可知，当n∈N时，an=n2.

（3）此不等式仍然可以用数学归纳法证明，但是先要加强结论，使得不等式的右边也是关于n的式子，即证：对一切正整数n，有11a1+11a2+…+11an

二、加强命题后再用数学归纳法证明的题

例2（2022年辽宁卷第21题）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N）.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn

分析第（1）问采用了第一数学归纳法，第（2）问采用了放缩法，没有用数学归纳法.由于第（2）问右边的式子与n无关，因此不能直接用数学归纳法，不过可以加强结论之后再用数学归纳法证明.

证明（1）略.

（2）n=1时，11a1+b1=112+4

1）当n≥2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）.当n=2时，命题成立.

2）假设n=k时，命题成立，则n=k+1时，由归纳假设11a1+b1

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