初中数学专题：折叠问题

专题八折叠问题证【学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质一 折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形：在矩形ABCD中，将4ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论？结论：（1）全等；（2）垂直。L J（1）基本图形练习：如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD,展开纸片；再次折叠，使得A和D点重合，折痕为EF，展开纸片后得到44£巳则AAEF是等腰三角形，对吗？叠，使点0落在BE边上的点D’，折痕为叠，使点0落在BE边上的点D’，折痕为EG（图2），EA1- / ID 4 再展开纸片，求图（3）中角a的大小。E nA Ex\:/'\c?（2）折叠中角的考法与做法：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）；再沿过点E的直线折〖九年级第8讲专题精讲〗使得顶点B落在CD使得顶点B落在CD边上的P点处.（3）折叠中边的考法与做法：如图,将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处折痕为FH,点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则4EBG的周长是多少？★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。J*模块精讲例1。（2014扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA.①求证：△OCPs^PDA；②若△OCP与^PDA的面积比为1：4,求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求NOAB的度数；（3）如图2,在〔1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连结MN交PB于点尸，作ME±BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变求出线段EF的长度.〖九年级第8讲专题精讲〗例2.（2013•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若当"，则祟 用含k的代数式表示）.UhkHbDECA B例3、（2013•苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s,^F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1。5cm/s,当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程由△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F.设点E、F、G运动的时间为t（单位:s）.（1）当t=s时，四边形EBFB,为正方形;（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似，求t的值;（3）是否存在实数t,使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.〖九年级第8讲专题精讲〗

例4、如图，已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;点N是线段BC的中点;(2)如图2,当4AED的外接圆与点N是线段BC的中点;(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.图1 图1 图?例5、已知例5、已知AD〃BC,ABLAD,点£,点F分别在射线AD,关于BD对称，AC与BD相交于点6,则（ ）A.1+tanNADB=，'2 B.2BC=5CFC.ZAEB+220=NDEF D.4cosNAGB="6射线BC上.若点E与点B关于AC对称，点E与点F〖九年级第8讲专题精讲〗课堂练习1、2、（2014连云港）如图1,将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N,则tan/ANE=.电E DA 5 DR图3 图43、（2014•徐州）如图3,在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC,NA=50°,折叠该纸片，使点A落在点B处,折痕为DE,贝INCBE=°.4、（2014•扬州）如图4,△ABC的中位线口£=5©:m把4ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm,则△ABC的面积为cm2.5、（2013•扬州）如图1,在梯形ABCD中,AB〃CD,NB=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA,过P作PE±PA交CD所在直线于E.设BP=x,CE=y.（1）求y与x的函数关系式；（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；〖九年级第8讲专题精讲〗

■课后巩固习题1、（2014•淮安）如图,在三角形纸片ABC中，AD平分NBAC7^ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形.2、（2013•宿迁）如图,在梯形ABCD中,AB〃DC,NB=90°,且AB=10,BC=6,CD=2.点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF〃AD交边AB于点F.将^BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF,直线FG、EG分别交AD于点M、2当EG过点D时，点E即停止运动.设BE=x,△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y.（1）证明△AMF是等腰三角形；（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；DC（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值.DC〖九年级第8讲专题精讲〗3、如图，在矩形ABCD中"8=6508,把ABCD沿着对角线B