对称式与轮换对称式

.竞赛专题------- 对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个n元代数式 f(x1，x2，，xn)，如果交换任意两个字母的位置后， 代数式不变，即对于任意的 i，j（1 i j n），都有f(x1，，xi，，xj，，xn) f(x1，，xj，，xi，，xn)那么，就称这个代数式为 n元对称式，简称对称式。例如，xxy2y22zx都是对称式。y，xy，xy，xz，xyyz如果n元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n元对称多项式。由定义 1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式f(x，y，z)中，若有ax3项，则必有ay3，az3项；若有bx2y项，则必有bx2z，by2z，by2x，bz2x，bz2y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义， 可以写出含 n个字母的对称多项式的一般形式， 例如，含有三个字母x，y，z的二次对称多项式的般形式是：a(x2 y2 z2) b(xy yz zx) c(x y z) d【定义2】如果一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r，那么称这个多项式为n元r次齐次多项式。由定义2知，n元多项式f(x1，x2，，xn)是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有f(tx1，tx2，，txn)trf(x1，x2，，xn)。例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：3332222yz22a(xyz)b(xyxzyxzx)zy。cxyz【定义3】一个n元代数式 f(x1，x2，，xn)，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i，j1ijn，都有f(x1，，xi，，xj，，xn)f(x1，，xj，，xi，，xn)那么就称这个代数式为n元交代式。，y)(yz)(zxy均是交代式。，yx专业资料【定义4】如果一个n交代数式f(x1，x2，，xn)，如果将字母x1，x2，，xn以x2代x1，x3代x2，，xn代xn1，x1代xn后代数式不变，即f(x1，x2，，xn) f(x2，x3，，xn，x1)那么称这个代数式为 n元轮换对称式，简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如， a(x2 y2 z2)是对称式也是轮换式； b(x2y y2z z2x)是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面n个对称多项式称为 n元基本对称多项式。n1(x1，x2，，xn)xii1n2(x1，x2，，xn)xixj1ijnnk(x1，x2，，xn)xi1xi2xik1i1i2iknn ( x1， x2， ， x n ) x1x2 xn例如，二元基本对称多项式是指 x y，xy，2.三元基本对称式是指 x y z，xy yz zx，xyz当你学完了高等代数的时候就会知道， 任何一个n元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要， 我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形， 对于多元的情形，只需作类似的处理即可。下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若f(x，y，z)是对称式，则在解题中可设 x y z。（为什么？）（2）若f(x，y，z)是对称式，则当x，y满足性质 p时，x，z；y，z也满足性质 p。（3）若f(x，y，z)是轮换式，则在解题中可设 x最大（小），但不能设x y z。（为什么？）（4）若f(x，y，z)是轮换式，且，满足性质p，则，；，也满足性质p。xyyzzx（5）若f(x，y，z)是交代多项式，则xy，yz，zx是f(x，y，z)的因式，即其中g(x，y，z)是对称式。f(x，，y z) (x y)(y z)(z x)，g(，x y z其中g(x，y，z)是对称式。在利用对称式作因式分解时， 齐次对称多项式， 齐次轮换对称多项式， 齐次交代多项式是常用的。齐次对称多项式的一般形式：1）二元齐次对称多项式一次：a(xy)，二次：a(x2y2)bxy三次：a(x3y3)bxy(xy)（2）三元齐次对称多项式一次：a(x y z)二次：a(x2 y2 z2) b(xy yz zx)专业资料三次：a(x3 y3 z3) bx2(y z) y2(z x) z2(x y) cxyz判定mx ny rz是否为多项式 f(x,y,z)，的因式的方法是：令 mx ny rz 0，计算f(x，y，z)，如果f(x，y，z)=0，那么mx ny rz就是f(x，y，z)的因式，在实际操作时，可首先考虑 mx ny rz的如下特殊情形：x，x y，x y，x y z，x y z【例1】：已知多项式 f(x，y，z) xy(x2 y2) yz(y2 z2) zx(z2 x2)1）求证：f(x，y，z)是齐次式；（2）求证：f(x，y，z)是轮换式；3）求证：f(x，y，z)是交代式；（4）分解因式f(x，y，z)。(4)∵f(x，y，z)是交代多项式，∴xyyzzx是它的因式。又因为f(x，y，z)是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式xyz。于是，f(x，y，z)可表示为【例2】：分解因式 f(x，y，z) x3 y3 z3 3xyz。4.【例3】：分解因式 f(x，y，z) 2(x2y2 y2z2 z2x2) (x4 y4 z4)。【例4】：分解因式 f(x，y，z) (x y z)5 x5 y5 z5专业资料【例5】：分解因式 f(x,y) x4 y4 (x y)4。6.【例6】：分解因式(y2 z2)(1 xy)(1 xz) (z2 x2)(1 yz)(1 yx) (x2 y2)(1 zx)(1 zy)。故f x，y，z x y y z z x xyz x y z对称式与轮换对称式练习题：1．已知f(x，y，z)(xy)5(yz)5(zx)5（1）求证：f为5次齐次式；（2）求证：f为轮换式；（3）求证：f为交代式；（4）分解因式f。2．分解因式（1）f(x，y) (x2 xy y2)2 4xy(x2 y2)专业资料（2）f(x，y，z) (x y z)4 x4 y4 z4 (y z)4 (z x)4 (x y)43）4）5）

f(x，y，z)(xy)333yzzxf(x，y，z) xy yz zx x y z xyzf(x，y，z) x4y z y4z x z4x y（6）f(x，y，z)3x3y3z3xyz（7）f(x，y，z)x3y3z3xy2z2yz2x2zx2y22xyz（8）f(x，y，z)x2yxy2x2zxz2y2zyz23xyz（9）f(x，y，z)x2yzy2zxz2xyx3y3z32xyz（10）f(a，b，c，d)bcdcdadababc2bcadcdabdbac练习答案与提示：1．5(xy)(yz)(zx)(x2y2z2xyyzzx)2．（1）可设fk(x2Axyy2)(x2Bxyy2)，可求得k1，AB18.（2）可设fkxyz(xyz)，可求出k12（3）可设fk(xy)(yz)(zx)，可求出k3（4）可设fk(xy)(yz)(zx)，可求出k1（5）f(xy)(yz)(zx)A(x2y2z2)B(xyyzzx