2020年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(一)数学(理)试题(解析版)

2020年普通高等学校招生伯乐马模拟考试（一）数学（理）试题一、单选题1．复数z满足z(2i)36i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）D．3A．3C．3iB．i3【答案】D【解析】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】36i2i115i由题意可得：z36i13i，2i2i2i553据此可知，复数z的虚部为.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2x20，B1,0,1,2,3，则，已知集合Axx|2．设全集URAB（）UA．1,0,1C．1,11,2D．1,0,1,2B．【答案】B【解析】先求出集合A以及集合A的补集A，再根据集合的交集运算即可求出．U【详解】Ax|1x2，因为Ax(x1)x20xx2或x1，所以U即有AB1,0,1,2．U故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题．a3a6,则9等于S3．已知数列a为等差数列，S其前n项和，且n24nA．25B．27C．50D．54【答案】Ba【解析】根据条件得，再根据等差数列和项公式求结果5【详解】因为a3a6ad3a9d6,a4d3a3241115所以S9(aa)9a27.29195【点睛】本题考查等差数列性质以及等差数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.4．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关扶植政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量比上年同期增长比上年同期增长产量（万辆）销量（万辆）%（）%（）2018年3月6.81056.8117.4138.4125.642.947.749.554.8514月8.19.68.69117.785.631.753.6398.25月10.28.46月7月8.48月9.912.714.617.312710.112.113.816.9125.69.69月64.458.136.959.911310月11月1-12月37.661.71382019年1月9.12月5.950.95.353.62019年2月份新能源汽车销量结构图根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2018年4月份我国新能源汽车的销量高于产量B．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆C．2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量低于1万辆D．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆【答案】C【解析】本题首先需要明确题目所给出的信息，能够看懂题目所给出的表格包含的意思，5.3然后通过“2019年2月份我国新能源汽车的销量万辆”以及插电式混合动力汽车所占的【详解】C项：2019年2月份我国新能源汽车的销量为比例即可算出插电式混合动力汽车的销量，通过比较即可得出结果．5.3为万辆，其中插电式混合动力汽车所占的比例为250，故插电式混合动力汽车的销量为5.30.251.3251，故C项错误，0故选C．【点睛】本题是一道信息题，考查了能否从题目中找出所需要的信息，在计算本题的过程中，首先要明确题意，看懂题目给出的信息所包含的意思，然后根据题目给出的选项与题目中的信息进行计算以及对比，即可得出结果．f(x)xcosx(a1)x是奇函数，则曲线yf(x)在点(0,f(0))处的5．已知函数2切线方程是（）A．2xy0B．xy0D．x2y0C．20xy【答案】B定义或性质求出a，然后【解析】根据奇函数的可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程【详解】∵f(x)是奇函数，∴f(x)xcos(x)(a1)(x)2xcosx(a1)x2xcosx(a1)x2，∴(a1)x20f(x)xcosx，1，af'(x)cosxxsinx，f'(0)1，f(0)0，是奇函数，yx0为，即xy．切线方程故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般．D,E6．在ABC中，分别为BC,AB的中点，为FADABAC1，的中点，若·AB2AC2，则·的值为（）CEAF3A．41C．8143B．D．8【答案】BAF12AD14(ABAC)，CEAEAC12ABAC，所以【解析】因为CEAF14(ABAC)(12ABAC)AB1ABAC14AC111134(1)24828888，应选答案B．7．已知三棱锥SABC为正三棱锥，且AB6，SA215，点M、N是线段AC、SB的中点，平面与平面SBC没有公共点，且A平面，若l是平面与平面ABC的交线，则直线l与直线MN所成角的正切值为（）106155153A．B．C．D．44【答案】D由题意可知平面//平面SBC，利用面面平行的性质定理可得出l//BC，然【解析】段AB的中点D，连接DM、DN，可得出DM//BC，由此可得出直线l与直后取线线MN所成的角为DMN或其补角，在RtDMN中计算出tanDMN，即可得解.【详解】//平面SBC，平面因为平面平面ABCl，平面SBC平面ABCBC，所以l//BC，取AB中点D，连接DM，DN，D、M分别为AB、AC的中点，则DM//BC，所以l//DM，同理DN//SA，l和MN所成角即为DMN或其补角所以异面直线.O，则SOBC，AOBC，又SOAOO，所以BC⊥平面，取BC中点SOA又SA平面，所以，所以DMDN.SOABCSADMBC3，DN12SA15，所以1在RtDMN中，2153tanDMNDNDM.15l和MN所成角的正切值为，3所以直线故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查了面面平行性质定理的应用，考查计算能力，属于中等题.8．已知A,B为抛物线C:y4x上的不同两点，AB5FB，F为抛物线C的焦点，若2|AB|则（）25A．2B．1025C．4D．6【答案】C【解析】设A(x,y),B(x,y)，根据AB5FB，可求得这些坐标间的关系，再结合1122ABxx2，由此可得结论．A,B两点在抛物线上，可求得,，而xx1212【详解】，ABxx,yy1A(x,y),B(x,y)，则设1122212FBx1,y，∴xx5x5yy5y，2F(1,0)，∴又，2221221x54xy4x21，得x，4，x1，由22∴12y4y42454x2422y12254.∴|AB|xx212故选C．【点睛】本题考查向量的数乘的意义，考查抛物线的焦点弦问题．掌握焦点弦长公式是解题基础：即对抛物线y22px(p0)而言，A(x,y),B(x,y)，AB是抛物线的过焦点的弦，1122则ABxxp．12x2x,x039．已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)xa有3个零点，则实数的alnx,x0取值范围是（）A．[0，2)B．[0，1)C．(，2]D．(，1]【答案】Afx【解析】本道题先绘制图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a的范围，即可．【详解】fxxa3hxxafxfx绘制出的图像，有个零点，令与有三个交点，hx则介于号和号之间，号过原点，则122f'x3x221,x1y1，，代入中，计算出A．“勾股容方”问题的图形，图中ABCBC2，AC4，在ABC四边形为它的内接正方形，已知DEFC1A．94C．95D．92B．9【答案】CADDE4xx=2，【解析】由图形，结合已知条件，得DE∥BC，则，设CDx，即ACCB44解得x＝，由几何概型中的面积比可得．3【详解】由图形得，ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC2，AC4，4，即，解得x＝，42342＝242S3149由几何概型中的面积比得：P（A）＝正方体.S故选C．【点睛】本题考查了相似比及几何概型中的面积型，属于中档题．x2y21的左，右焦点，11．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F，F2是双曲线E：1a2b21x点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为MFF2313A．2C．3B．2D．2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故选A.【考点】1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.在正四棱台ABCDABCD中，上底面边长为4，下底面边长为12．如图，8，高为AMDN1.过点的面平与此四棱台11交线所围成图形的面积的最大值为1111M,N5，点分别在AB,DCM,N上，且1111的下底面会相交，则面平与四棱台的面的A．187B．302C．661D．363【答案】B【解析】由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积．【详解】当斜面α经过点BCNM时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8此时作正四棱台ABCDABCD俯视图如下：1111则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5因为正四棱台ABCDABCD的高为5，所以截面等腰梯形的高为52552211111S4852302所以截面面积的最大值为2所以选B【点睛】本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题，关键是分析出截面的位置，再根据条件求得各数据，需要很好的空间想象能力，属于难题．二、填空题xy0zxy，则2的最大值为_______．13【答案】1数可得最值.作出可行域如图，平移目标函数可知z2xy在点处取到最大值，Axy0得A(1,1)，代入得最大值为1.zxy2联立xy20【点睛】本题主要考查线性规划求解线性目标函数的最值，一般步骤是先作出可行域，平移目标函数，得出最值点，求出最值.an．设数列的前项和为，若，Sa1a2S(nN*)na__________.6，则14n1n1n【答案】162aSna【解析】根据与的关系，求得，再求出a.6nn【详解】a2S，所以a2S(n2)，因为n1nnn1a3(n2)，aa2a，所以n1两式相减，得：n1nnana2S2a2aaa3所以数列，，……构成以2为首项，公比为的3等比数列，4211aa34162.所以62故答案为：162.【点睛】aSn本题考查了数列与的关系，特别注意的起始值，从第几项起有递推关系，容易nn出错，属于基础题.．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不15超过2个，则该外商不同的投资方案有种．____【答案】60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有2个有CACCC3343种，有一个城市投资212423CA33C2C1C2243660种.43种，投资方案共423【考点】排列组合.．若函数f(x)x1sin2xasinx在R上单调递增，则a的取值范围是163__________.11,【答案】33450在R上恒成立,设cosxt，[－tcos2xacosxf(x)【解析】由题意331，1],转为二次不等式在区间上恒成立问题.【详解】由题意知，f(x)12cos2xacosx4cos2xacosx50在R上恒成立.333cosxtt设，[－，11]，则g(t)t2at50在[－1，1]上恒成立，4334所以只需1，解得a，33133g(1)a5043311,故答案为：33【点睛】利用单调性求参数范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，fx0确定函数的单调区间，利用子集的概念确定范围.②利用导数转化为不等式或fx0恒成立求参数范围.17．如图，在四边形ABCD中，A60，ABC90BD，已知AD3，6.（1）求sinABD的值；（2）若CD2，且CDBC，求的长.BC61）（2）1BC4【答案】（sinABD【解析】（1）由正弦定理可得；cosDBCBC，然后利用余弦定理求解．（2）由（1）求得【详解】ADBD，sinABDsinA（1）在△ABD中，由正弦定理，得因为A603，BD6，，AD1364；所以sinABDADsinABD226，因为ABC90，sinABD（2）由（1）可知，46所以cosCBDcos90ABDsinABD，4在BCD中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，因为CD2，6，BD6所以4BC262BC64，BC2，即BC23BC20，解得1或BC又CDBC，则BC1.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．点，且EFCD.BFCAED将和分别沿DE、CF折起到A、B两点重合，记为点．P6【答案】（1）见解析；（2）4【解析】推导出四边形CDEF是平行四边形，AEDAFC，PEED，1PFFC由CF//DE，得PEFC，从而FC面PEF，由此能证明平面PCF平面PEF．2在平面PEF内作POEF，垂足为O，取CD的中点M，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出PD与平面PFC所成角的正弦值．【详解】1AB//CD四边形CDEF是平行四边形，AEDAFC，，EFCD，≌BFC，AEDBFC，AFCBFC90，AED，PFFC，CF//DE，PEFC，PEEDFCPEPFP，面PEF，FC面PFC，平面PCF平面PEF．2在平面PEF内作POEF，垂足为O，取CD的中点M，由知FC平面PEF，故FCPO，PO平面CDEF，POOM，1POOF，PFPE，OEOF，OM//FC，OFOMOP，，OF，OM两两垂直，空间直角坐标系Oxyz，设PFFC2，是等边三角形，PEF以O为坐标原点，建立如图所示的P(0,0)D(1,0)3)0，，0，，2，，2，，PF(1,0，，3)PC(1,2，，3)PD(1,2，，3)设n(x,y，z)是平面PFC的法向量，nPFx3z01)0，，z1，得n(3,则，取nPCx2y3z0设PD与平面PFC所成角为，nPD6sin则，nPD46PD与平面所成角的正弦值为．PFC4【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角和正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．3xy．椭圆E:21(ab0)的离心率为，设2A，分别为E的左，右顶点，19B2a2b2C，分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4.D（1）求椭圆E的方程；（2）过点（1，0）的直线l与椭圆E交于两点，Q（不与A，重合），若直线PBPB与直线x4相交于点N，求证：三点A，Q，N共线.x2y21；（2）证明见解析.【答案】（1）4c3ea21【解析】（1）根据题意S2a2b4，解方程组即可求解.2ACBDabc222L:x1或当直线l的斜率不存在时（2）分类讨论：当直线l的斜率存在时，设l:ykx1k，将直线与椭圆方程联立，；利用韦达定理，证明即可求解k.AQAN【详解】c3ea212a2b4，解得，a21，（1）由题意得Sb2ACBDabc222x为42y21.E的方程∴椭圆L:x1，（2）①当直线l的斜率不存在时332P1,Q1,不妨设，，2∴直线PB的方程为y23x2，3令x4得，∴N4,3kk，6AQAN∴点A，Q，N共线.l:ykx1l的斜率存在时，设②当直线，P(x,y)Q(x,y)设，，1122yk(x1)由y由消去得，x2y21414kx28k2x4k240，24k2414k28k2，xx12xx由题意知恒成立，故14k212y1y所以直线PB的方程为x2(x2)，1x22y令x4得N4,1，12yyx22x12∴kk216AQANyx23(x2)1y1213(x2)y(x2)y1，1223(x2)(x2)12上式中的分子3(x2)y(x+2)y；11223k(x2)x1k(x2)(x1)12212kxx5k(xx)8k12122k4k245k8k28k0，14k214k2∴kkQN﹐∴点A，，共线.AQAN综上可知，点A，Q，N共线.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，此题对考生的计算求解能力较高，属于难题.20．《山东省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B,B,C,C,D,D,E八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70][51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.20171000某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下成绩93人数1919088287486385384838271432（1）从物理成绩获得等级2名同学的等级分数不小于A的学生中任取3名，求恰好有95的概率;（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名1000同学的物理高考成绩等级为或(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，A结束0.91.71046).B求随机变量的数学期望(注:1000【答案】(1)0.29(2)见解析y1）设物理成绩获得等级x【解析】（由原始成A的学生原始成绩为，其等级成绩为，y95公式得到关于的关系式，即可计算出等级分数不小于的人2名同学的等级分数不小于的概率．x绩与等级成绩的转换95数，利用古典概型即可计算出恰好有1（2）由题意得，随机抽取人，等级成绩为或0.1A的概率为，然后列出学生个数B的分布列，即可计算数学期望．【详解】yx解：（1）设物理成绩获得等级A的学生原始成绩为，其等级成绩为.93x100yx82y919y(x82)91.，得11由转换公式9由y(x82)9195，得x86.987.11x87的同学有人，获得等级1230A的学生有人，显然原始成绩满足2970.29.1015CC2195的概率为：1218P2恰好有名同学的等级分数不小于C3301（2）由题意得，随机抽取人，其等级成绩为或3%+7%=0.1.A的概率为B1,2,3,,1000；学生个数的可能取值为P(1)0.13)0.920.1,P(2)0.90.1，P(，P(999)0.99980.1(1000)0.9999，P；其数学期望是：E()10.120.90.130.920.19990.99980.110000.999910.120.90.130.920.110000.99990.110000.910000.1120.930.9210000.999910000.91000其中：S120.930.9210000.9999①0.9S10.920.929990.999910000.91000②应用错位相减法“①式-②式”得：0.1S10.90.920.999910000.91000110.9100010000.910000.1S100(101000100)0.91000故10E()0.1100(101000100)0.9100010000.910001010.91000.【点睛】本题主要考察排列组合问题、概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求法，属于中档题f(x)1x2xalnxa0．已知函数21.2fx（）讨论的单调性；1f(x)f(x)32ln2412fxxx12（）若存在两个极值点，，求证：2.114a114a,上单调0a10,【答案】（1）当时，在fx，242114a,114a1fx4(0,)递增，在上单调递减；当a时，在上单调22递增；（2）证明见解析.xa2xf(x)【解析】（1）先求定义域，再求导，gxxxa，再分，设2xg(x)fx类讨论得到的符号，得到的单调性；（2）由（1）得到存在两个极值点，时的取值范围，再得到应满足fxxxa,12xx12f(x)f(x)，再由导数求最小值，证明不等式的关系式，用a表示出.12【详解】xa，xax1()x2(0,)（1）的定义域为，fxxfxgxx2xa，则，14a设gx01a时，，40若，即∴fx0(0,)，所以在上单调递增fx.1若，即时，令0，0afx4114a114a则xx，2212114a114afx0x0,,当时，.，22114a,114a0xfx当时，，22114a114a0,，fx所以在,上单调递增，22上单调递减114a,114a在.22114a114a,上单调递0a1fx时，在0,综上可得：当，242增，114a,114a1a时，在上单调递增；4(0,)fx在上单调递减；当220a11）知时存在两个极值点，fx4（2）由（xx12x+x1xxa1212则方程xxa0有两根，，所以，，xx212f(x)f(x)1x2xalnx12x2xalnx2121112221(x1x2)(xx)alnxx212121211(xx)22xx(xx)alnxx12a1alna2211121212aalna1.21令h(a)aalna1，，a0,241则h(a)11naa1na0，a1132ln2hahha0,所以在上单调递减，所以，444f(x)f(x)32ln2所以.412【点睛】本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，利用导数研究函数的极值、最值，考查了学生的分析能力，推理能力，运算能力，分类讨论思想，转化与化归思想.22．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的x长度单位πsin2，曲线C的参数方程建立极坐标系，直线l的极坐标方程为6x2cos（为参数