2021年人教版八年级数学上册教学生（全册）

11.1与三角形有关的线段

教学目标：

1.理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、角，会数三角形的个数.（重点）

2.能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形.（重点）

3.三角形在实际生活中的应用.（难点）

教学过程：

一、情境导入

出示金字塔、战机、大桥等图片，让学生感受生活中的三角形，体会生活中处处有数学.

教师利用多媒体演示三角形的形成过程，让学生观察.

问：你能不能给三角形下一个完整的定义？

二、合作探究

探究点一：三角形的概念

硒1图中的锐角三角形有（)

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

解析：（1）以/为顶点的锐角三角形有共2个；（2）以£为顶点的锐角三角

形有△曲。共1个.所以图中锐角三角形的个数有2+1=3（个）.故选B.

方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有〃个点，那

么就有乙誓D-条线段，也可以与线段外的一点组成f112-个三角形.

乙乙

探究点二：三角形的三边关系

［类型一］判定三条线段能否组成三角形

加以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.2cm,3cm,5cm

B.5cm,6cm,10cm

C.1cm,1cm,3cm

D.3cm,4cm,9cm

解析：选项A中2+3=5,不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5+6>10,能组成

三角形，故此选项正确；选项C中1+1V3,不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3+4

<9,不能组成三角形，故此选项错误.故选B.

方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条

线段的长度即可.

［类型二］判断三角形边的取值范围

加一个三角形的三边长分别为4,7,x,那么x的取值范围是（）

A.3<^<11B.4<x<7

C.-3<%<11D.%>3

解析：1•三角形的三边长分别为4,7,x,...7—4Vx<7+4,即3<xVlL故选A.

方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三

边.有时还要结合不等式的知识进行解决.

［类型三］等腰三角形的三边关系

»已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9,求这个三角形的周长.

解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于

第三边来判断能否构成三角形，从而求解.

解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4,4,9或4,9,9,：4+4<9,故4,4,9

不能构成三角形，应舍去；4+9>9,故4,9,9能构成三角形，，它的周长是4+9+9=22.

方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组

成三角形.

［类型四］三角形三边关系与绝对值的综合

（例❺若a,b,c是。的三边长，化简—b—c\+b—c—a+|c+a—b\.

解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值

里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可.

解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a-b­c<0,b—c—a<0,c+a

-b>Q.a—b-c+）b—c-a\+c+a-6=6+c—a+c+a-b+c+a-Z7=3c+a-b.

方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性

质将绝对值的符号去掉，最后进行化简.此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符

号里面式子的正负，然后进行化简.

三、板书设计

三角形的边

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

教学目标:

i.掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用.（重点）

2.能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线.（难点）

教学过程：

一、情境导入

这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来

解决这个问题.一

［类型一］三角形高的画法

颐1画△4%的边上的高，下列画法中，正确的是（）

AC

C

解析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段.根据概念可知.

解：过点。作边4?的垂线段，即画4?边上的高必，所以画法正确的是D.故选D.

方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：（1）过该边所对的顶点；（2）垂足必须在该边

或在该边的延长线上.

［类型二］根据三角形的面积求高

BDC

m如图所示，在△/比中，AB=AC=5,BC=6,ADLBC于点D,且47=4,若点〃在边

ZC上移动，则郎的最小值为

解析：根据垂线段最短，可知当出让力。时，彼有最小值.由的面积公式可知•比

乙

124

=-BP-AC,解得价=工.

zo

方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁（但不求面积）求三角形的高，这种解题方法通

常称为“面积法

探究点二：三角形的中线

［类型_］应用三角形的中线求线段的长

m在△466'中，47=5cm,49是的中线，若的周长比的周长大2cm,

贝|]BA=

解析：如图，:49是△力aI的中线，.•.加=修，，△生队的周长一△四C的周长=（%+如

+AD)-(AC+A/)+CD)=BA~AC,二的一5=2,二为=7cm.

方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△/如与△4%的

周长之差转化为边长的差.

［类型二］利用中线解决三角形的面积问题

m如图，在△力比中，£是加上的一点，纪=2%点〃是”的中点，设△/EC,XADF

和的面积分别为S2ABC,五力〃”和啊•，且见彼=12,则5kd〃尸一S&BEF=

解析：•・•点〃是力。的中点，・・・/〃=%CV5k^=12,A5k^=^,^；=1xi2=6.\EC=2BEy

==

S/\ABC12,••124..S^ABO—S^AB£=（乂阴■+SAAB）—（8腑+S&BQ=5kw—S^BEFI

即S&ADF—S&BEF=S&ABD-S&ABE=6—4=2.故答案为2.

方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边

的比；底相等时，面积的比等于高的比.

探究点三：三角形的角平分线

就3如图，已知：49是△49C的角平分线，6F是△45C的高，ZBAC=60°,/BCE=40°,

求//庞的度数.

解析：根据/〃是△力比的角平分线，乙以"60°,得出/物/7=30°,再利用CE是丛ABC

的高，/BCE=40°,得出N8的度数，进而得出NZ如的度数.

解：是加1的角平分线，/物。=60°，:・/DAC=/BAD=3G°.'：CE是AABC的高,

N66F=40°,：.Z5=50°,：.ZADB=18Q°—N3—/胡〃=180°-50°-30°=100°.

方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角

形的高综合考查.

三、板书设计

三角形的高、中线与角平分线

1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角

形的高.

2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.

3.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶

点与交点的线段叫做三角形的角平分线.

11.1.3三角形的稳定性1

教学目标：

1.通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.（重点）

2.三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用.（难点）

教学过程：

一、情境导入

一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳定性好？”先听

它们是怎么说的.

三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边

形，你没有坚定的立场！”

四边形：''灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的

形式不知有多优越！”

三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，

我的用途大！”

四边形：“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多

彩！”

假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？

二、合作探究

探究点：三角形的稳定性

［类型一］三角形稳定性的应用

颐1要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边

形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…,

那么要使一个〃边形木架不变形，至少需要几根木条固定？

解析：由于多边形（三边以上的）不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变

了.根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律.

解：过〃边形的一个顶点可以作5—3）条对角线，把多边形分成（〃一2）个三角形，所以，

要使一个A边形木架不变形，至少需要（〃一3）根木条固定.

方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律,

然后验证求解.

［类型二］四边形的不稳定性

大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门，它常常做成四边形的形状,

你知道这是为什么吗？

解析：从四边形特性的角度考虑.

解：伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形易变形这一特性.

方法总结：四边形具有不稳定性，容易变形，我们生活中的很多实例都利用了这一性质,

注意在日常生活中积累这方面的经验.

三、板书设计

三角形的稳定性

1.三角形具有稳定性

2.四边形没有稳定性

3.三角形的稳定性的应用

4.四边形的不稳定性的应用

11.2.1三角形的内角

教学目标:

i.理解三角形内角和定理及其证明方法.（难点）

2.能用三角形的内角和定理解决一些简单问题.（重点）

教学过程：

一、情境导入

多媒体展示：（三兄弟之争）在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非常团结，

有一天，老三不高兴了，对老大说：''凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这

是不可能的，否则我们这个家就要被拆散，围不起来了！为什么呢？“老二、老三纳闷起来……

同学们，你们知道其中的道理吗？

二、合作探究

探究点一：三角形的内角和

［类型一］求三角形内角的度数

颓I已知，如图，。是△力比1中/边延长线上一点，DFLAB交AB于F,交4C于其若N

4=46°,=50。.求的度数.

解析：在Rt△力乃中，根据三角形内角和定理，求得N8的度数，再在中求

的度数即可.

解：在△板中，'：DFVAB,：.ADFB=^°.VZZ?=50°,/板+N〃+N6=180°,

.♦.N6=40°.在中，：/4=46°,Z5=40°,/.Z/JC^=180°—N4—N8=94°.

方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，

在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解.

［类型二］判断三角形的形状

阿a一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3,这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.无法判定

解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x,2x,3x,根据三角形的内角和为180°,

得x+2x+3x=180°,解得x=30°,.♦.这个三角形的三个内角的度数分别是30°,60°,

90°,即这个三角形是直角三角形.故选A.

方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解.

［类型三］三角形的内角与角平分线、高的综合运用

M在中，切是△?!%的高，支是乙4%的角平分线，求/

乙O

必方的度数.

解析：根据已知条件用N4表示出N6和N4”,利用三角形的内角和求出N4再求出/

ACB,ZACD,最后根据角平分线的定义求出/力位即可求得/〃龙的度数.

解：力=；/6=：/力"，设，N6=2x,NO=3x.•.•/4+/6+//%=180°,

乙O

，x+2x+3x=180°,解得x=30°,力=30°,Nd%=90°.•切是△/%的高，/.Z

ADC=90°,：.ZACD=180°—90°-30°=60°.*"是的角平分线，.•.乙亿F=：X90°

乙

=45°,?.ADCE=AACD-ZACE=6Q0-45°=15°.

方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线

的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答.

探究点二：直角三角形的性质

［类型一］直角三角形性质的运用

AHC

画U如图，CELAF,垂足为£,B与郎相交于点。，ZF=40°,ZC=30°,东4EDF、

N版的度数.

解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出/反况再根据三角形的内角和定理

束出NC+4DBC=/F+4DEF,然后求解即可.

解：,:CELAF,：./DEF=9G°,：.AEDF=^°~ZF=90°-40°=50°.由三角形的内

角和定理得NC+N〃?C+N切?=/尸+/加尸+/呼二30°+/DBC=4G°+90°,：.ZDBC

=100°.

方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性

质并准确识图是解题的关键.

三、板书设计

三角形的内角

1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°

2.三角形内角和定理的证明

3.直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余

三角形的外角第1课时

教学目标：

1.掌握三角形外角的定义和三角形内角和定理的两个推论.（重点）

2.能运用三角形内角和定理的两个推论进行相关的几何计算和证明，并体会几何图形中的不

等关系.（难点）

教学过程

一、情境导入

足球比赛中的数学知识

在绿茵场上，某球员在/处受到阻挡需要传球，请帮助他做出选择，应传给在8处的球员

还是。处的球员，使其射门不易射偏.（不考虑其他因素）

请同学们帮助他做出选择.

二、合作探究

探究点：三角形的外角

［类型_］应用三角形的外角求角的度数

颐I如图所示，P为4ABC内一点、,2BPC=150：N4昭=20°,,求//

的度数.

A

解析：延长社交火「于£或连接力尸并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可

求出NZ的度数.

解：延长〃7交力。于点£,则/郎aN&f分别为△川瓦4ABE的外角，：.4BPC=/PEC

+APCE,4PEC=NABE+/A,：2PEC=4BPC—4PCE=\3c-30°=120°.：./A=/PEC

—NA8E=T20°-20°=100°.

方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法.

【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和

m已知：如图为一五角星，求证：ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

解析：根据三角形外角性质得出N"%=N8+N〃，ZEGF=ZA+ZC,根据三角形内角和

定理得出尸+N£FG=180°,代入即可得证.

证明：,?/EFG、4EGF分别是丛BDF、AACG的外角，,4EFG=N6+乙D,4EGF=//

+NC又：在△如。中，AE+ZEGF+AEFG=\^°,：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集

中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决.

［类型三］三角形外角的性质和角平分线的综合应用

m如图①，/力切是△45C的外角，BE平分/ABC,CE平分/ACD,且应1、以交于点2

(1)如果N4=60。，ZABC=5Q°,求/£'的度数；

(2)猜想：与N/有什么数量关系(写出结论即可)；

(3)如图②，点后是△/比两外角平分线应'、CE的交点、,探索N£与//之间的数量关系，

并说明理由.

解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平

分线概念解决.

解：（1）根据外角的性质得N47?=NZ+N4?C=60°+50°=110°,,:BE平分/ABC,

CE平分4ACD,.,.Zl=1z^CZ?=55°,N2=）N43C=25°.VZ£,+Z2=Z1,，N£=N1一

乙CJ

Z2=30°；

(2)猜想：N£=g/小

(3)'：BE,*是两外角的平分线，二/2：1/。切，N4=，BCF,而NCBD=NA+NACB,

乙乙

ABCF=Z.A+Z.ABC,.*.Z2=1(Z^+Z/1C^,Z4=1(Z/J+ZJ^6).VZ£'+Z2+Z4=180°,

乙乙

：.ZE+^(ZA+ZAC&+|(Z^+Z^6)=180°,即N£+，4+；(N4+NZ%+N480=

乙乙乙乙

180°.ZA+ZACB+ZABC=18Q°,，/£+：/力=90°.

乙

方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，ZE=^ZA；图②中，N«=90。-

乙

三、板书设计

三角形的外角

1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角.

2.三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角

大于与它不相邻的任何一个内角.

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

目标

1.掌握多边形的定义及其有关概念，理解正多边形及其相关概念.（重点）

2.正确区分凹多边形和凸多边形.（重点）

3.理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线.（难点）

一、情境导入

利用多媒体展示生活、建筑方面等的图片（包含一个或多个明显的多边形）.

问题：请学生观察图片，在图中能找出哪些多边形？

长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、工

农业生产中都有应用，引出本节课课题：多边形.

二、合作探究

探究点一：多边形的概念

［类型—］多边形及其概念

项I下列图形不是凸多边形的是（

解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边

形即是凸多边形，否则即是凹多边形.由此可得选项D的图形不是凸多边形.故选D.

方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：（1）画多边

形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；（2）每个内角的度数均小于180。.

通常所说的多边形指凸多边形.

［类型二］确定多边形的边数

例烟若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（）

A.14或15或16B.15或16

C.14或16D.15或16或17

解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一

条，则多边形的边数是14,15或16.故选A.

方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少

了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下.

探究点二：多边形的对角线

［类型—］确定多边形的对角线的条数

»从四边形的一个顶点出发可画条对角线，从五边形的一个顶点出发可画

条对角线，从六边形的一个顶点出发可画条对角线，请猜想从七边形的一个

顶点出发有条对角线，从〃边形的一个顶点出发有条对角线，从而推导出〃

边形共有条对角线.

解析：根据〃边形从一个顶点出发可引出5—3）条对角线.从A个顶点出发引出〃（/r-3）

条对角线，而每条重复一次，可得答案.

解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，

从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从〃边形

的一个顶点出发有（n-3）条对角线，从而推导出〃边形共有“条对角线.

方法总结：（1）多边形有〃条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有5—3）条；（2）多边

形有A条边，对角线的条数为""J'.

【类型二】根据对角线条数确定多边形的边数

画I!从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）

A.6B.7

C.8D.9

解析：设这个多边形是〃边形.依题意，得77—3=5,解得〃=8.故这个多边形的边数是

8.故选C.

［类型三］根据分成三角形的个数，确定多边形的边数

M连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多

边形是（）

A.五边形B.六边形

C.七边形D.八边形

解析：设原多边形是〃边形，则2=6,解得A=8.故选D.

方法总结：从〃边形的一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，这（〃一3）条对角线把〃边形

分成（〃一2）个三角形.

探究点三：正多边形的有关概念

阿。下列图形中，是正多边形的是（）

A.等腰三角形

B.长方形

C.正方形

D.五边都相等的五边形

解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解

答.正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.

方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的

多边形是正多边形，这两个条件缺一不可.

三、板书设计

多边形

1.定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.

2.相关概念：顶点、边、内角、对角线.

3.多边形的对角线：A边形从一个顶点出发的对角线条数为5—3）条；〃边形共有对角线

n(7?—3)

条(〃23).

2

4.正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形.

11.3.2多边形的内角和

教第

1.理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式.（重点）

2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.（难点）

一、情境导入

多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.

提出问题:

(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？

(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？

(3)你会求这个多边形的内角和吗？

导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？

你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂.

二、合作探究

探究点一：多边形的内角和

［类型—］利用内角和求边数

硒I一个多边形的内角和为540。，则它是()

A.四边形B.五边形

C.六边形D.七边形

解析：熟记多边形的内角和公式(〃-2)•180°.设它是〃边形，根据题意得(A—2)•180

=540,解得〃=5.故选B.

方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

［类型二］求多边形的内角和

而一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后，得到的多边形的内角和为()

A.1620°B.1800°

C.1980°D.以上答案都有可能

解析：1800・180=10,...原多边形边数为10+2=12...•一个多边形截去一个内角后，边

数可能减1,可能不变，也可能加1,...新多边形的边数可能是11,12,13,...新多边形的内

角和可能是1620°,1800°,1980°.故选D.

方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1,可能不变，也可能加1.根据多边

形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键.

［类型三］复杂图形中的角度计算

M如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=()

A.450°B.540°

C.630°D.720°

I

解析：如图，：N3+N4=N8+N9,Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=Z1+Z

2+/8+/9+/5+/6+/7=五边形的内角和=540°,故选B.

方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系.根据图形特点,

将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性.

［类型四］利用方程和不等式确定多边形的边数

硒！一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°,当他发现错了以后，

重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？

解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可

确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数.

解：设此多边形的内角和为X,则有1125°<x<1125°+180°,即180°X6+45°Vx

<180°X7+45°,因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x=180°X7=

1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此，漏加的这个内角是135°,这个多边形

是九边形.

方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数.

探究点二：多边形的外角和

［类型—］已知各相等外角的度数，求多边形的边数

碉正多边形的一个外角等于36。，则该多边形是正（）

A.八边形B.九边形

C.十边形D.十一边形

解析：正多边形的边数为360。+36°=10,则这个多边形是正十边形.故选C.

方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可.

［类型二］多边形内角和与外角和的综合运用

砸I一个多边形的内角和与外角和的和为540。，则它是（）

A.五边形B.四边形

C.三角形D.不能确定

解析：设这个多边形的边数为n,则依题意可得(〃-2)X180°+360°=540°,解得n

=3,...这个多边形是三角形.故选C.

方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列

出方程从而解决问题.

三、板书设计

多边形的内角和与外角和

1.性质：多边形的内角和等于(A—2)•180°；多边形的外角和等于360°.

2.多边形的边数与内角和、外角和的关系：

(1)〃边形的内角和等于(A—2)•180°(〃23,〃是正整数)，可见多边形内角和与边数〃

有关，每增加1条边，内角和增加180°.

(2)多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关.

(3).正〃边形：正〃边形的内角的度数为一(“二2)一•18°二,外角的度数为幽-

nn

12.1全等三角形

教学目标：

i.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素.(重点)

2.理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等.(重点)

3.能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边.(难点)

教学过程：

一、情境导入

在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊

的意义.观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形.

你能再举出一些例子吗？

二、合作探究

探究点一：全等形和全等三角形的概念及对应元素

［类型一］全等形的认识

项12013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形

的是()

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)B.(2)(3)

C.(1)(3)D.(1)(4)

解析：根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断.由此可以判断选项D是正确的.

方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形

叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较.

［类型二］全等三角形的对应元素

IW1如图，若△%且△4%,/B=/C,指出这两个全等三角形的对应边；茏XAD哈X

AEO,指出这两个三角形的对应角.

解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可.

解：如与△砒'的对应边为：B0与CO,0D与OE,BD与CE；△490与△/以9的对应角

为：/DAO与/EAO,/ADO与/AEO,/AOD与/AOE.

方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应

顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了.

探究点二：全等三角形的性质

［类型—］应用全等三角形的性质求三角形的角或边

m如图，△颂，ZA=70°,Z2?=50°,BF=4,EF=1,求/颂的度数和

鹤的长.

解析：根据全等三角形对应边、对应角相等求N/F的度数和成的长.

解：'：/\ABC^/\DEF,ZA=70°,Z5=50°,BF=\,EF=1,:./DEF=NB=5G,BC

=EF=7,:.CF=BC—BF=L4=3.

方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关

键是准确识别图形.

［类型二］全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用

m如图，AABC^AADE,/勿〃=10°,N8=N〃=25°,Z£4^=120°,求/4%的

度数.

D

Ah

解析：根据全等三角形的对应角相等可知/用8=/£4〃+/勿什/。6=2/勿6+10°=

120°,即NC48=55°.然后在中利用三角形内角和定理来求N4⑪的度数.

解：•:XABC会XADE,：.ACAB=AEAD.'：AEAB=120°,ZCAD=10a,:./EAB=/EAD

+ZCAD+ZCAB=2ZCAB+10°=120°，,NO3=55°.：N6=NZ?=25°,，N4==180°

-ZCAB-ZB=18Q°-55°-25°=100°,即的度数是100°.

方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角

与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来.

三、板书设计

全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

全等三角形的对应角、对应边相等.

12.2三角形全等的判定

第1课时“边边边”

教学目标：

i.了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等.（重点）

2.经历探索“边边边'’判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.（重

点）

3.在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索.（难点）

教学过程：

一、情境导入

问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪些

测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流.

学生活动：观察，思考，回答教师的问题.

方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完

整的三角形.如图②，剪下模板就可去割玻璃了.

如果AU庭△/B'C,那么它们的对应边相等，对应角相等.反之，如果△力比1与△

A'B'C'满足三条边对应相等，三个角对应相等，即4?=/B',BC=B'C,CA=CA',

ZA=ZA',/B=NB',这六个条件，就能保证/B'C'.从刚才的

实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等.这种说

法对吗？

二、合作探究

探究点：三角形全等的判定方法一一“边边边”

【类型一】利用“SSS”判定两个三角形全等

颐1如图，AB=DE,AC=DF,点、E、。在直线跖上，且比'=*求证：△ABgXDEF.

解析：已知△力比与△〃须有两边对应相等，通过E£=CF可得外=即即可判定隹

△DEF,

BC=EF,

证明：'：BE=CF,：.BE+EC=EC+CF,即优=牙:在△/EC和△颂中，：AB=DE,二△

AC=DF,

彦△/©利SSS).

方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据

三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.

［类型二］“SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算

而如图所示，△/优1是一个风筝架，AB=AC,49是连接点力与优1中点。的支架，求证:

ADLBC.

解析：要证4ase根据垂直定义，需证N1=N2,N1=N2可由44%径△〃力证得.

（AB=AC,

证明：•"是a'的中点，，9=必在△相〃和△/切中，BD=CD,「.△/应/△/切（SSS）,

VAD=AD,

：.N1=N2（全等三角形的对应角相等）.：/1+/2=180°,.\Z1=Z2=9O°,。（垂

直定义）.

方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的

间接应用.

［类型三］利用“边边边”进行尺规作图

»已知：如图，线段a、b、c.求作：XABC,使得6S=a,AC=b,16=c.（保留作图痕

迹，不写作法）

h

解析：首先画Z6=c,再以8为圆心，a为半径画弧，以/为圆心，6为半径画弧，两弧

交于一点G连接6C,AC,即可得到△力笈

解：如图所示，△/回就是所求的三角形.

方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本

作图，逐步操作.

［类型四］利用“SSS”解决探究性问题

如图，AD=CB,E、夕是4C上两动点，且有。£=筋

⑴若反尸运动至图①所示的位置，且有"、=应，求证：△力比丝△烟：

⑵若反夕运动至图②所示的位置，仍有AF=CE,那么△在回△戚还成立吗？为什么？

（3）若£/不重合，49和⑦平行吗？说明理由.

解析：⑴因为"^阳可推出力£=5所以可利用SSS来证明三角形全等；⑵同样利

用三边来证明三角形全等；（3）因为全等，所以对应角相等，可推出4。〃%.

（AD=CB,

解：⑴•.•44龙，：.AF+EF=CE+EF,.,.〃=）在△/庞和△斯中，,:、DE=BF,：.

VAE=CF,

△ADE^XCBF.

(AD=CB,

(2)成立.,:AF=CE,：.AF-EF=CE-EF,:.AE=CF.在AADE和ACBF中,VSDE=BF,

VAE=CF,

:■△ADE^XCBF.

⑶平行.二△ADE^XCBF,：.AA=AC,：.AD//BC.

方法总结：解决本题要明确无论旦夕如何运动，总有两个三角形全等，这个在图形中要

分清.

三、板书设计

边边边

1.三边分别相等的两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”.

2.“边边边”判定方法可用几何语言表示为:

(AB=A^,

在XABC和△48G中，V5BC=BC,二XABM△ABC(SSS).

第2课时“边角边”

教学目标：

1.理解并掌握三角形全等的判定方法一一“边角边（重点）

2.能运用“边角边”判定方法解决有关问题.（重点）

3.“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找.（难点）

教学过程：

一、情境导入

小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么

办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由.

想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？

只知道一个条件（一角或一边）行吗？两个条件呢？三个条件呢？

让我们一起来探索三角形全等的条件吧！

二、合作探究

探究点一：应用“边角边”判定两三角形全等

［类型—］利用“SAS”判定三角形全等

的II如图，4〃、F、8在同一直线上，AD=BF,AE=BC,且4«〃比:求证：XAEF^XBCD.

E

c

解析：也AE〃BC,根据平行线的性质，可得N4=N6,由AO=BF可得AF=BO,又AE=

BC,根据SAS,即可证得△/牙丝△比〃

（AE=BC,

证明：・：AE〃BC,：./A=/B「：AD=BF,：.AF=BD在AAEF和ABCD中，•:

VAF=BD,

.,.△/£壮△版(SAS).

方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

［类型二］“边边角”不能证明三角形全等

m下列条件中，不能证明隹△外尸的是()

A.AB=DE,/8=4E,BC=EF

B.AB=DE,乙4=N〃，AC=DF

C.BC=EF,4B=4E,AC=DF

D.BC=EF,AC=AF,AC=DF

解析：要判断能不能使△4?陛△颇；应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只

有选项C的条件不符合，故选C.

方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全

等.解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的.

探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用

［类型—］利用全等三角形进行证明或计算

睡I已知：如图，BC//EF,BC=BE,AB=FB,Z1=Z2,若/1=45°,求NC的度数.

解析：利用已知条件易证N4?C=/领再根据全等三角形的判定方法可证明比丝△

FBE,由全等三角形的性质即可得到NUN颇再根据平行，可得出/颇的度数，从而可知

NC的度数.

'BC=BE,

解：VZ1=Z2,:./ABC=/FBE.在4ABe和AFBE中,VSAABC=AFBE,:.XABg

.AB=FB,

△加(SAS),:./C=2BEF”又•：BC〃EF,二/"/^=/1=45°.

方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具.

［类型二］全等三角形与其他图形的综合

睡1如图，四边形力犯久比尸G都是正方形，连接/£、CG.求证：(1