2022-2023学年河北省唐山市高二下学期期末数学试题-附答案

2022-2023学年河北省唐山市高二下学期期末数学试题一、单选题1．若，，则事件A与B的关系是（

）．A．事件A与B相互独立 B．事件A与B对立C．事件A与B互斥 D．事件A与B互斥又相互独立【答案】A【分析】根据，即可判断事件关系.【详解】由题设，所以，故A与B相互独立，则A与B不可能互斥.故选：A2．甲、乙、丙、丁四人进行网球比赛，规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军，他们之间相互获胜的概率如表所示，则乙获得冠军的概率为（

）．甲乙丙丁甲获胜概率－0.30.30.8乙获胜概率0.7－0.60.3丙获胜概率0.70.4－0.5丁获胜概率0.20.70.5－A．0.8 B．0.3 C．0.5 D．0.315【答案】D【分析】就丙胜丁、丁胜丙分类讨论并结合事件的独立性可求乙获得冠军的概率.【详解】设为乙胜甲的概率，为乙胜丙的概率，为乙胜丁的概率，，分别为丙胜丁和丁胜丙的概率，为乙夺冠的概率.则.故选：D.3．关于独立性检验,下列说法正确的是()A．χ2越大,X与Y有关联的可信度越小B．χ2越小,X与Y有关联的可信度越小C．χ2越接近于0,X与Y没有关联的可信度越小D．χ2越大,X与Y没有关联的可信度越大【答案】B【分析】由题意，根据独立性检验可知，当的值越小时,X与Y有关联的可信度越小，即可得到答案.【详解】由题意，根据独立性检验可知，当的值越小时,X与Y有关联的可信度越小，故选B.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中熟记独立性检验的应用及性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．函数的极值点的个数（

）．A．无数个 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】利用导数研究函数的极值点即可.【详解】由且，令，而，故恒成立，所以在上恒，即无解，故函数没有极值点.故选：D5．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁、戊5位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（

）．A．3600 B．1440 C．720 D．480【答案】A【分析】根据题意，由“捆绑法”与“插空法”，代入计算，即可得到结果.【详解】因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中两个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外一个“冰墩墩”记为元素，先将甲、乙、丙、丁、戊5位运动员全排列，即，然后将元素插入这五位运动员所形成的空中，即，则不同的排法种数为.故选：A6．已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】把原函数在区间单调递增问题转化为导函数大于等于零恒成立，分离参数求最值即可.【详解】由可得，由条件只需，即在上恒成立，因为函数在上单调递增，所以，所以.故选：A7．今天是星期一，经过7天后还是星期一，那么经过天后是（

）．A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四【答案】C【分析】由，利用二项式定理判断除以7的余数，即可得结果.【详解】，对于的展开式通项为，，所以，时对应项均可被7整除，当时，故除以7余数为1，所以除以7余数为2，则经过天后是星期三.故选：C8．奥运吉祥物“雪容融”是根据中国传统文化中灯笼的造型创造而成，现挂有如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼，直至某一串灯笼被摘完为止，则右边灯笼先摘完的概率为（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意摘灯笼的次数可能为3、4次，分别求出对应概率，应用互斥事件加法公式求右边灯笼先摘完的概率.【详解】由题意，右边灯笼先摘完，摘灯笼的次数可能为3、4次，时，3次均摘下右边灯笼，故，时，前3次中有2次摘下右边灯笼，1次摘下左边灯笼，最后一次摘右边灯笼，故，所以右边灯笼先摘完的概率为.故选：D二、多选题9．关于的说法正确的是（

）．A．展开式中二项式系数之和为1024 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大C．展开式中只有第6项的系数最小 D．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大【答案】ABC【分析】由二项式直接求二项式系数之和及二项式系数最大的项，利用展开式通项分析并求出最小项，即可判断各项的正误.【详解】A：展开式中二项式系数之和为，正确；由题设，展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，B对，D错；C：由且，显然奇数项系数为正，偶数项系数为负，所以，第6项系数最小为，正确.故选：ABC10．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表．优秀非优秀合计甲班10b乙班c30合计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（

）．附：0.050.010.0013.8416.63510.828A．列联表中c的值为20，b的值为45B．列联表中c的值为30，b的值为35C．根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关联”D．根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关联”【答案】AC【分析】由题，先找到的值，再用独立性检验判定即可.【详解】由题，成绩优秀的学生人数是，则成绩非优秀的人数为75，故，故A选项正确，B选项错误；补全联表如下：优秀非优秀合计甲班104555乙班203050合计3075105，故按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关联”，故C选项正确，D选项错误；故选：AC.11．曲线与曲线（

）A．在点处相交 B．在点处相切C．存在相互平行的切线 D．有两个交点【答案】ACD【分析】令，，由，可判定A正确；由，，可判定B不正确；由，可判定C正确；令，求得，得出函数的单调性，结合零点的存在定理，可判定D正确.【详解】令，，由，所以两函数在点处相交，所以A正确；又由，，可得，，所以B不正确；由，，存在，故曲线与曲线存在互相平行的切线，所以C正确．令，可得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又由，，，，故有两个零点，即曲线与有两个交点，故D正确．故选：ACD12．已知甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，先从甲箱中取出一个球放入乙箱中，设事件，，分别表示由甲箱中取出红球、白球和黑球；再从乙箱中随机取出1个球．设事件表示“由乙箱中取出的球是红球”，则下列结论正确的是（

）．A． B．C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互不独立【答案】ABD【分析】根据的意义可求其概率，从而可判断B，根据全概率公式可计算，故可判断A，根据独立事件的乘法公式判断CD.【详解】依题意，，，又，，，故B正确.故，故A正确.，，故，所以事件与事件相互不独立，故C错误，D正确；故选：ABD三、填空题13．已知，且，，则．【答案】【分析】由得，故，进而根据条件概率公式计算即可.【详解】因为，故，所以，所以故答案为：14．某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、地理、体育、艺术7堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是．【答案】【分析】利用元素优先法，再结合分步乘法计数原理，进行排列计算即可.【详解】由题意可得，第一步先安排数学课与体育课，共有种，第二步再安排其他五节课，有.根据分布乘法计数原理，共有种.故答案为：四、双空题15．袋中有3个红球，m个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，即取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则，．【答案】11【分析】根据古典概型的概率计算公式以及组合数的计算公式，建立方程，可得空；根据离散型随机变量的均值计算公式，可得空2.【详解】取出的两个球都是红球的概率，取出的两个球是一红一黄的概率，由，解得，则，解得，故；由题意，红球一共有个，黄球和绿球一共有个，随机变量的所有可能取值为，，，，则.故答案为：；.16．平面内有5条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有个交点；平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有个交点．【答案】10【分析】根据题意及平面中线线位置关系知所有直线两两相交，利用等差数列前n项和公式求交点个数.【详解】由题意，5条直线两两相交，故一共有个交点，n条直线两两相交，故一共有个交点.故答案为：10，五、解答题17．某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.010.120.020.730.030.2设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志(1)在仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据全概率公式公式计算可得结果；（2）利用贝叶斯公式公式求解即可.【详解】（1）设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，则，，是样本空间的一个划分，且，，，，，.由全概率公式得，所以在仓库中随机抽取1个元件，它是次品的概率为.（2）由贝叶斯公式可知该次品出自元件制造厂3的概率为：.18．在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项．【答案】(1)(2)、【分析】（1）由二项式判断二项式系数最大的项，利用展开式通项公式求对应项；（2）利用不等式法求出系数绝对值最大的项，利用展开式通项公式求系数绝对值最大的项；【详解】（1）由题设，二项式展开式共有项，故第5项二项式系数最大，又展开式通项为，，则.（2）系数绝对值最大，只需，且，所以，则，所以，可得，故或3时系数绝对值最大，即对应展开式中的第3和4项，则，.19．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2．3…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列和数学期望．

【答案】分布列见解析，期望为【分析】由题设分析落入不同格子中向左、向右落下的次数，应用独立事件的乘法求对应概率，进而写出分布列，并求期望.【详解】由题意，小球落入0号，则下落过程10次向左落下，概率为，小球落入1号，则下落过程9次向左落下，1次向右落下，概率为，小球落入2号，则下落过程8次向左落下，2次向右落下，概率为，……,小球落入9号，则下落过程1次向左落下，9次向右落下，概率为，小球落入10号，则下落过程10次向右落下，概率为，所以，X的分布列为012345678910期望.20．《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数；(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.(3)假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析，；【分析】（1）结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值；（2）先求得，则正品概率，然后利用正态分布概率数据即可得解；（3）X所有可能值为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，.（2）由题意可知，样本方差，故，所以，该厂生产的产品为正品的概率：；（3）X所有可能值为0，1，2，3.，，，.所以的分布列为数学期望.21．已知函数.(1)若在恒成立，求a的取值范围；(2)若，求证：函数的图象在函数图象的下方.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数最小值即可求解；（2）构造，利用导数法求出函数的最小值大于零，即可得证.【详解】（1）当时，，因为在恒成立，所以在恒成立，记，则，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最小值，所以，即；（2）当时，，定义域为，令，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最小值，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以函数