广东省深圳市福田区八校2023-2024学年上学期九年级开学联考数学试卷+

福田区八校2023-2024学年第一学期九年级开学联考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．的值介于（）A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．以下调查中，适宜全面调查的是（）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查春节联欢晚会的收视率 D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠25．下列命题不正确的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．负数的立方根是负数 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．五边形的外角和是360°6．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．两点之间线段最短7．2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.588．下列结论：①若ab＞0，则a＞0，b＞0，②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10﹣4，③若关于x的方程有增根，则m＝1，④不是分数，⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．以上结论正确的个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（）A．4 B．4 C．4 D．4二．填空题（每题3分，共15分）11．计算：a4·(﹣a)3＝．12．如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是_______．13．若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝．14．数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，⋯，n，⋯，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，⋯，以此类推．则a2023＝_______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝_______．三．解答题（共55分）16．（6分）计算：（1）；（2）．17．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？18．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．19．（8分）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87a9860%九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．20．（8分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．21．（8分）点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（﹣1，0）．①求直线l的解析式；②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．22．（9分）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．

参考答案与试题解析一．选择题1．的值介于（）A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间【解答】解：∵1600＜2023＜2025，∴＜＜，即40＜＜45，故选：D．2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C．＝2，和是同类二次根式，故本选项符合题意；D．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．3．以下调查中，适宜全面调查的是（）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查春节联欢晚会的收视率 D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【解答】解：A．了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故选项A符合题意；B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项B不符合题意；C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项C不符合题意；D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故选项D不符合题意；故选：A．4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故选：D．5．下列命题不正确的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．负数的立方根是负数 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．五边形的外角和是360°【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360°，故D正确；故选：C．6．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．两点之间线段最短【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：A．7．2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58【解答】解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58．故选：A．8．下列结论：①若ab＞0，则a＞0，b＞0，②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10﹣4，③若关于x的方程有增根，则m＝1，④不是分数，⑤若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4．以上结论正确的个（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①ab＞0，说明a、b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，原说法错误；②数0.00314用科学记数法表示为3.14×10﹣3，原说法错误；③去分母得：m＝1﹣x，∴x＝1﹣m，∵方程有增根，∴x＝2，∴m＝﹣1，原说法错误；④是无理数，不是分数，原说法正确；⑤∵x＜2a﹣5恰有2个正整数解，∴2＜2a﹣5≤3，∴3.5＜a≤4，∴a的最大值为4，原说法正确．正确的个数是2个，故选：C．9．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟【解答】解：由图象可得，小王的速度为米/分钟，爸爸的速度为：＝（米/分钟），设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，m＝（m﹣4）•，n+[n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，解得m＝6，n＝9，n﹣m＝9﹣6＝3，故选：C．10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（）A．4 B．4 C．4 D．4【解答】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，由题意可得：AE＝8，DE＝4，∵点N是AB的中点，∴AN＝NB＝8，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴EA＝EN，∠AEN＝∠FEG＝60°，∠ANE＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∵BN＝EN，∠BNG＝∠ENG＝60°，NG＝NG，∴△EGN≌△BGN（SAS），∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∠H＝90°，DE＝4，∠EDH＝60°，∴，∴在Rt△ECH中，＝＝，∴GB+GC≥，∴GB+GC的最小值为；故选C．二．填空题11．计算：a4·(﹣a)3＝﹣a7．【解答】解：原式＝a4·(﹣a3)＝﹣a7．故答案为：﹣a7．12．如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是_______．【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠FEG＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEG＝70°．13．若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012．【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，故答案为：﹣1012．14．数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，⋯，n，⋯，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，⋯，以此类推．则a2023＝_______．【解答】解：第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a1＝0；第2圈有8个点，即A2到A9（1，1），这时a9＝1+1＝2；第3圈有16个点，即A10到A25（2，2），这时a25＝2+2＝4；……，依次类推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），则A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB＝AC，连接CE．过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，已知AB＝6，CH＝3，则EH＝_______．【解答】如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，又∵∠EFH＝90°，∴EH＝EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH＝CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，又AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH＝AF，在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AB2．∵AB＝6，CH＝3，则EH＝3．三．解答题（共55分）16．计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝2023+1﹣6+4＝2022；（2）＝＝＝．17．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【解答】解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，解得：m≤40，∴m的最大值为40．答：该校最多可以购买甲种书40本．18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．【解答】解：（1）如图所示，对称图形正确给2分；（2）如图所示，旋转正确给2分；（3）如图所示，对称轴每一条正确给1分，共2分．19．2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八87a9860%九8786bc根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝84，b＝100，c＝80%；（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．【解答】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a＝84；九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b＝100；九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为×100%＝80%，即c＝80%；故答案为：84，100，80%；（2）500×＝200（人），答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人．20．如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF是菱形；②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，∵AB＝5，∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，解得x＝6.25，∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．21．点P（x，y）是第一象限内一个动点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M，N，已知矩形PMON的周长为8．（1）求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；（2）直线l与（1）中的函数图象交于A（1，a），与x轴交于点B（﹣1，0）．①求直线l的解析式；②已知点P不与点A重合，且△ABP的面积为，直接写出P点的坐标．【解答】解：（1）由题意可知，2（x+y）＝