浙江省台州市中门中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析

浙江省台州市中门中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)对任意不相等的实数x1，x2都满足(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，若a＝f(21.2)，，则a，b，c的大小关系为A.c<a<b

B.c<b<a

C.b<a<c

D.b<c<a参考答案：B2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．26参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．【点评】本题考查了正方体的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设，函数的图象如图2，则有

A．

B．C．

D．参考答案：答案：A4.△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为()(A)4sin(B+)+3 (B)4sin(B+)+3

(C)6sin(B+)+3

(D)6sin(B+)+3参考答案：D略5.已知圆（x－1）2＋（y－3）2＝r2（r>0）的一条切线y＝kx＋与直线x＝5的夹角为，则半径r的值为

A．

B．

C．

或

D．或参考答案：C6.复数的共轭复数是

A． B．— C．i

D．—i参考答案：D由，∴的共轭复数为-i,选D.7.已知集合，，则（

）A．{(－1,1)}

B．[0,+∞)

C．(－1,1)

D．参考答案：B8.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（）A．小赵 B．小李 C．小孙 D．小钱参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用3人说真话，1人说假话，验证即可．【解答】解：如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意；故选：D．9.在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是

(A)20

(B)22

(C)24

(D)36参考答案：C10.已知集合，，若，则a，b之间的关系是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝?即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z＝x+yi，,则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，若A∩B＝?，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，，即a2+b2＜1故选：C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，则

.参考答案：考点：集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．12.双曲线的焦距为渐近线方程为.参考答案：2;y=±x本题考查双曲线的基本量.由题知故,焦距:,渐近线:.13.设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.则=

．参考答案：解析:由,解得.由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,,所以,即(),当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.

略14.已知，则函数z=3x﹣y的最小值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣，1）．化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值﹣．故答案为：﹣．15.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为．参考答案：【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】在等差数列中，下标数成等差数列的项也成等差数列，所以s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，．【解答】解：∵{an}是等差数列，∴s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，又S5=3（a2+a8），∴5a3=3×2a5，∴故答案为16.已知双曲线，圆.若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最大值时，C的实轴长为__________．参考答案：【分析】首先利用直线与圆相切确定a,b的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，据此可知：，则，故，令，则，由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值时，此时的实轴长为.【点睛】本题主要考查双曲线的性质，导函数研究函数的单调性与最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.曲线上任意一点到直线的距离的最小值是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设实数a，b满足2a+b=9．（1）若|9﹣b|+|a|＜3，求a的取值范围；（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值．参考答案：【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）由条件可得3|a|＜3，利用绝对值不等式的解法，求得a的范围．（2）要求的式子即|5a﹣9|+|5a﹣18|，再利用绝对值三角不等式求得它的最小值．【解答】解：实数a，b满足2a+b=9．（1）∵|9﹣b|+|a|=|2a|+|a|=3|a|＜3，∴|a|＜1，∴﹣1＜a＜1，故要求的a的取值范围为（﹣1，1）．（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|=|3a﹣（9﹣2a）|+|a﹣2（9﹣2a）|=|5a﹣9|+|5a﹣18|≥|（5a﹣9）﹣（5a﹣18）|=9，故|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值为9．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于基础题．19.（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为(为参数，)，

(Ⅰ)求C1的直角坐标方程；

(Ⅱ)当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)曲线的极坐标方程为,

即，

∴曲线的直角坐标方程为.

(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,为半圆弧，如下图所示，曲线为一组平行于直线的直线，当直线与相切时，由得，舍去，则，当直线过点、两点时，，∴由图可知，当时，曲线与曲线有两个公共点.20.（本题满分12分）已知函数，且周期为.（I）求的值；（II）当[]时，求的最大值及取得最大值时的值.参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．C3C7（I）;（II），取得最大值为解析：（I）∵.....（2分）

=..................................................................（4分）∵且，

故......................................................................（6分）（II）

由(1)知∵

∴................................................................................（7分）∴.∴.......................................................................................（9分）∴当时，即，取得最大值为............................................（12分）【思路点拨】（I）化简解析式可得，由且，即可求的值;（II）由已知先求得，可求得，从而可求最大值及取得最大值时的值．21.某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．

组号分组频数频率第一组[90，100）

50.05第二组[100，110）

a0.35第三组[110，120）300.30第四组[120，130）20

b第五组[130，140）100.10合计n1.00（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率和频数的关系，依题意，得a，b，n的方程，解得即可，（2）根据分层抽样，求出第三，四，五组抽取的学生的人数，然后一一列举取所有满足条件的基本事件，利用概率之和为1，求满足条件的概率．【解答】解：（1）依题意，得，解得，n=100，a=35，b=0.2（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取名，名，名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c1}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，c1}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，c1}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为．【点评】本题考查了频率与频数的关系以及分层抽样和古典概型的概率的求法，属于基础题．22.若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.（1）求数列{an},{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.

参考答案：解：(1)∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.又数列{an}是公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

∴2nbn＝nbn＋1，化